Региональная и национальная экономика / Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия / Арендные отношения / Аудит / Бизнес-планирование / Бухгалтерский учет и контроль / Бюджетная система / Инвестирование / Инновационная деятельность / Институциональная экономика / Информационные системы в экономике / Кризисная экономика / Лизинг / Логистика / Математические методы и и моделирование в экономике / Организация производства / Оценка и оценочная деятельность / Политическая экономия / Потребительская кооперация / Страховое дело / Теория управления экономическими системами / Теория экономики / Управление финансами на предприятии / Экономика горной промышленности / Экономика городского и сельского хозяйства / Экономика недвижимости / Экономика нефтегазовых отраслей промышленности / Экономика общественного сектора / Экономика природопользования и природоохранной деятельности / Экономика, организация и управление предприятиями / Экономическая безопасность / Экономическая статистики / Экономическая теория / Экономический анализ / Экономическое прогнозирование
<< Предыдушая Следующая >>

2.2. Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация

Как отмечено выше, среди широкого класса задач оптимального программирования имеются важные подклассы задач, для которых разработаны эффективные методы решения. Наиболее изученным подклассом задач являются задачи линейного программирования.

В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции фс):

max(min) /(х) = Сіхг + с2х2 + ... + спхп (2.9)

при ограничениях (условиях):

«11*1 + «12*2 + •?•+ ainXn {<,=,>} &1,

«21*1 + «22*2 + •••+ «2Л*л{-'='-}Ь2. (2.10)

«ml* 1 + «т2*2 + •••+ атпХп {<, =, >} Ьт,

(2.11)

где ац, bt, Cj(i=l,m;j—l,n) — заданные постоянные величины.

Так записывается общая задача линейного программирования в развернутой форме; знак {<,=,>} означает, что в кон- кретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или иную сторону).

Систему ограничений (2.10) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (2.11) — прямыми.

Вектор X = • •?» удовлетворяющий системе ог

раничений (2.10), (2.11), называется допустимым решением, или планом ЗЛП, т.е. ограничения (2.10), (2.11) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (2.9), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Канонической формой записи задачи линейного программирования (КЗЛП) называют задачу вида (запись с использованием знаков суммирования):

п

Найти шах f(x) = ? сjXj (2.12)

;=1

п

при ограничениях ^ aijxj ~ ^і, і =1,т, (2.13)

/=1

х} > 0, Ьі > 0, і =1, т,; j =1, п . (2.14)

Векторная форма записи КЗЛП имеет вид:

Найти шах f(x) = СХ

при ограничениях А\Х\ + А2х2 + ... + Апхп = В, х > 0,

где С = (сь с2, ..., сп), X = (хь х2, ..., хп),

СХ — скалярное произведение векторов С,Х; А; и В — вектор-столбцы: ґ \ ап ґ \ а12 ( L \ а2\ ,А2 = а22 Um2J , ... ,Ап а2п \amnJ ,В = Ь2

\brnJ Матричная форма записи КЗЛП:

max СХ

при условиях АХ = В, X > 0.

Здесь С = (ci, C2,.--, сп) — вектор-строка; А = (аф — матрица размерности тхп, столбцами которой являются вектор- столбцы Af,

f h ^ X =

вектор-столбец.

вектор-столбец, В тУ

U Иногда используется стандартная форма записи ЗЛП: max(min) f(x) = СХ,

АХ < (>)В, Х>0.

При этом запись X > 0 понимают как вектор (или вектор-столбец в зависимости от контекста), у которого все компоненты (элементы) неотрицательны.

Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (2.

10) k-й дополнительной переменной xn+h >0 со знаком - в случае ограничения типа > и знаком + в случае ограничения типа <.

Если на некоторую переменную хг не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменных хг = х'г - х", х'г > 0, х" > 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные. Переход к задаче на максимум достигается изменением в случае необходимости знака у целевой функции.

К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно- хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о раскрое, смесях, диете и т.д.).

кь. Пример 1 (задача о смесях). Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем — не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице

Характеристика

Компонент автомобильного бензина № 1 № 2 № 3 № 4 Октановое число 68 72 80 90 Содержание серы, % 0,35 0,35 0,3 0,2 Ресурсы, т 700 600 500 300 Себестоимость, ден.ед./т 40 45 60 90 Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Решение. Для решения этой задачи сформулируем ее экономико-математическую модель, т.е. сформулируем задачу математически. Введем необходимые обозначения: пусть Xj (j = 1,2,3,4) — количество в смеси компонента с номером j. С учетом этих обозначений имеем задачу (критерий оптимальности — «минимум себестоимости»):

min /(Z) = 40*! + 45*2 + 60*3 + 90*4,

xi + х2 + х3 + х4 = 1000, (1)

68*1 + 72*2 + 80*3 + 90*4 > 76 • 1000, (2)

0,35*1 + 0,35*2 + 0,3*з + 0,2*4 < 0,3 • 1000, (3) *i < 700, х2< 600, *3 < 500, х4< 300,

xj >0,7 = 1,2,3,4.

Функциональное ограничение (1) отражает необходимость получения заданного количества смеси (1 ООО т), (2) и (3) — ограничения по октановому числу и содержанию серы в смеси, остальные — ограничения на имеющиеся объемы соответствующих ресурсов (компонентов). Прямые ограничения очевидны, но принципиально важны для выбора метода решения.

Полученная математическая задача — задача линейного программирования. Она может быть решена симплекс-методом, который рассмотрен в данной главе ниже. В результате решения получается оптимальное решение

1it . ifc ^f ^ * v ^ м и ^

X = (хг, х2, х3, х4 ) : хг = 571 т,

х*= 0, х*3= 143 т, х*= 286 т.

Подставляя найденное решение в целевую функцию, имеем

/(х*) - 40-571 + 45-0 + 60-143 + 90-286 =57 160,0 (ден. ед.).

*

Таким образом, оптимальному решению X будет отве- « чать минимальная себестоимость в 57160,0 ден. ед.

Пример 2 (использование ограниченных ресурсов).

На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20 000 м3 каменных материалов. В районе строительства имеются три карьера с запасами 8 000 м3, 9 000 м3 и 10 000 м3. Для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м3 в смену в карьерах 1 и 2 и 500 м3 в смену в карьере 3.

Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рассматриваемого участка выделен для экскаваторов общий лимит 60 машино-смен с правом использования его по усмотрению строителей.

Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются показателями: для перевозки 10 000 м3 материалов из карьера 1 требуется 1 000 автомобиле-смен, из карь- ера 2 — 1 350, из карьера 3 — 1 700 автомобиле-смен. Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

Решение. Сформулируем экономико-математическую модель задачи. Примем за единицу измерения количества материалов 10 ООО м3.

Обозначим через Х\ объем добычи материалов в карьере 1, *2 — в карьере 2, *з — в карьере 3. Необходимо минимизировать транспортные затраты:

min f(x) = 1 OOOxj + 1 350*2 + 1 700*3,

при ограничениях *i + + *з = 2,0, (1)

40*! + 40*2 + 20*з ? 60, (2)

0 < *! < 0,8, (3)

0 < *2 < 0,9, (4)

0<*3<1,0. (5)

Условие (1) отражает потребность в материалах, (2) — ограничение по наличию ресурса «фонд рабочего времени экскаваторов» (мы не можем использовать больше того, что у нас в наличии). Условия (3)-(5) отражают тот факт, что добыча материалов идет в условиях ограниченности запасов материалов в соответствующих карьерах. Полученная задача — задача ЛП; решив ее симплекс-методом (см. ниже), найдем оптимальный план (решение)

(*;,*2,*з) :*;= 0,8 (8 000м3);

**= 0,2 (2 000м3); х*я= 1,0 (10 000 м3).

Таким образом, из карьера 1 следует вывезти 8 000 м3 материалов, из карьера 2 — 2 000 м3, из карьера 3 — 10 000 м3. Это управленческое решение будет связано с минимальными транспортными затратами

f(X*) = 1 000-0,8 + 1 350-0,2 + 1 700-1,0 = 2 770 м (автомобиле-смен).

<< Предыдушая Следующая >>
= Перейти к содержанию учебника =
Информация, релевантная "2.2. Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация"
  1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
    1.1.1. Формы задачи линейного программирования. В общем виде задача линейного программирования* (в дальнейшем ЗЛП) может быть сформулирована как задача нахождения наибольшего значения линейной функции на некотором множестве D ( Rn, где х ( D удовлетворяют системе ограничений и, возможно, ограничениям х1 ?0, х2 ?0,..., хj ?0,..., хn ?0. (1.3)
  2. 1.3. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗЛП
    1.3.1. Векторная форма записи КЗЛП и ее применение. Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования Обозначим через аj столбцы матрицы А и будем рассматривать их как векторы пространства Rm. Тогда каждому допустимому плану КЗЛП — n-мерному вектору х — соответствует неотрицательная линейная комбинация столбцов аj, равная столбцу b( Rm: Такое
  3. КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ
    > Игра, игрок, стратегия. > Игры с нулевой суммой. > Матричные игры. > Антагонистические игры. > Принципы максимина и минимакcа. > Седловая точка игры. > Цена игры. > Смешанная стратегия. > Основная теорема матричных игр. > Динамическая транспортная задача. > Простейшая динамическая модель макроэкономики. > Простейшая задача оптимального управления. > Дискретный принцип
  4. 1.7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
    1.7.1. Основные идеи двойственного симплекс-метода. Непосредственное приложение теории двойственности к вычислительным алгоритмам линейного программирования позволило разработать еще один метод решения ЗЛП, получивший название двойственного симплекс-метода, или метода последовательного уточнения оценок. Впервые он был предложен Лемке в 1954 г. В процессе изложения идей, положенных в основу
  5. ПРЕДИСЛОВИЕ
    Учебное пособие подготовлено в соответствии с программой дисциплины «Экономико-математические методы и прикладные модели», утвержденной Научно-методическим советом Всероссийского заочного финансово-экономического института для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит», «Менеджмент», «Маркетинг», «Государственное и муниципальное управление», «Экономика и социология труда» на
  6. 1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗЛП И ЕЕ ПЕРВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
    1.2.1. Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования. Кратко напомним некоторые фундаментальные определения и теоремы линейной алгебры и выпуклого анализа, которые широко применяются при решении проблем как линейного, так и нелинейного программирования. Фундаментальным понятием линейной алгебры является линейное (вещественное)
  7. 3.2. Транспортная задача
    Как показано выше, многие прикладные модели в экономике сводятся к задачам линейного программирования. Практически все задачи линейного программирования можно решить, используя ту или иную модификацию симплексного метода. Однако существуют более эффективные вычислительные процедуры решения некоторых типов задач линейного программирования, основанные на специфике ограничений этих задач. Рассмотрим
  8. -Ф- Оптимизация портфеля инвестиций при ограниченном бюджете
    Решая проблему выбора инвестиционных проектов в условиях ограниченного бюджета из примера 2.4, мы использовали индекс рентабельности в качестве ранга с целью отбора вариантов, обеспечивающих максимальную рентабельность вложенных средств. Более эффективный подход к решению подобных проблем заключается в применении методов математического программирования и, в частности, линейной оптимизации.
  9. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
    Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. Багриновский К. А. Ценовые методы стимулирования новых технологий // Экономика и математические методы. 1995. № 4. С. 96 - 104. Банди Б. Основы линейного программирования / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 174 с. Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988. 128 с. Батяева А. Динамика портфеля
  10. Библиографический список 16.
    Френкель АЛ. Прогнозирование производительности труда: методы и модели.— М.: Экономика, 1989. 17. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. — М.: Финансы и статистка, 1979. 18. Эконолшко-математические методы и прикладные модели: Учебно-методическое пособие. /В.А. Половников, И.В. Орлова, А.Н. Гармаш, В.В. Федосеев. — М.: Финстатин- форм, 1997. 19. Смирнов К А. Нормирование
  11. б Задачи и упражнения
    Используя разработанные в этой главе и сохраненные на магнитном диске таблицы-шаблоны, выполните следующие упражнения: 1. Реализация проекта, предусматривающего затраты в размере 60 000 ден.ед., должна дать чистый поток наличности, имеющий следующую структуру: 10 000, 15 000, 15 000, 20 000, 15 000, 10 000, 5 000. Определите : а) NPV, PI, IRR для этого проекта при норме дисконта 10% и
  12. 2.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
    2.2.1. Понятие седловой точки. В настоящем параграфе мы кратко остановимся на некоторых фундаментальных моментах теории нелинейного программирования. Отправной точкой для них является распространение метода Лагранжа для решения ЗНП с ограничениями в форме неравенств: где X — некоторая область в пространстве Rn. По аналогии с п. 2.1.2 определим для задачи (2.28) функцию
  13. 4.3. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ
    4.3.1. Общая схема метода «ветвей и границ». Другим широко применяемым для решения задач дискретного программирования методом является метод ветвей и границ. Впервые данный метод для решения ЦЗЛП предложили в 1960 г. Лэнг и Дойг, а его «второе рождение» произошло в 1963 г. в связи с выходом работы Литтла, Мурти, Суини и Кэрел, посвященной решению задачи о коммивояжере [33]. Вообще говоря,
  14. 2.4. Методы оптимизации в инвестиционном анализе
    Методы оптимизации не получили должного распространения при решении задач финансового анализа, так как их применение требует определенной математической подготовки, а также использования высокопроизводительных ЭВМ, оснащенных соответствующими пакетами прикладных программ. Вместе с тем возросшие возможности персональных компьютеров и современные достижения в области программного обеспечения
  15. 2.B.3 Задачи
    ^ 82. Докажите Теорему 18. ^ 83. Пусть X = R+, бинарное отношение R задано следующим образом: x R y ^ Xi ^ yi Vi, а на его основе построены следующие четыре бинарных отношения: x R' y ^ 1 (y R x) и (x R y), x R'' y ^(y R x), x R''' y ^ (x R y) и (y R x), x R'''' y ^(x R y) и (y R x). Охарактеризуйте эти бинарные отношения. Как связаны между собой R' и R'' ? Дайте интерпретацию всех этих
  16. 2.5. Симплексный метод решения задачи
    Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение); оптимальность достигается
  17. 4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
    4.1.1. Основные понятия. Многие экономические задачи характеризуются тем, что объемы управляемых ресурсов (в силу тех или иных объективных свойств) могут принимать только целые значения. Математическая формализация данных ситуаций приводит к моделям дискретного программирования. В общем виде задача дискретного программирования может быть сформулирована как задача нахождения максимума (или
  18. 1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
    1.6.1. Понятие двойственной задачи ЛП. Пусть задана КЗЛП (1.7). Если целевая функция f(x) = cx достигает максимального значения на множестве D, то обоснованным представляется вопрос о том, каким образом можно построить верхнюю оценку для нее. Очевидно, что если через и обозначить некоторый m-мерный вектор, то Предположим, что и можно выбрать таким образом, чтобы иА ? с. Тогда
Портал "ЭКОНОМИСТЪ" © 2014
info@economuch.com
Рейтинг@Mail.ru