<<
>>

. КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ С МНОЖЕСТВОМ РАВНОВЕСИЙ В СОСТАВНОЙ ИГРЕ

Выше мы видели, что даже при длительном горизонте сговор не может поддерживаться в ценовой игре Бертрана, повторяемой конечное число раз («Дилемма заключенного»). Однако если в составной игре имеется несколько равновесий Нэша, то возможно продолжать игру с различными равновесиями Нэша и получать качественно отличные (от Нэша) равновесия в повторяемой версии игры.

Это иллюстрирует для составной игры (игры координации) табл. 6.3.

В этой игре имеются два равновесия Нэша с чистыми стратегиями:

(!’,?) и (Я, Я).

Предположим, что игра повторяется три раза. При этом не происходит дисконтирования. Тогда (?>, /,), приносящая нулевой выигрыш обоим игрокам в первом периоде, может поддерживаться в этом периоде обещанием координирования (?/, Ь) в двух последующих периодах, если оба игрока подчиняются правилам, а также путем угрозы координирования (?), Я) в двух последующих периодах, если кто-либо из игроков уклоняется в первом периоде. Поскольку 5

+ 1 + 1 <0 + 5 + 5,

(/), I) может поддерживаться в первом периоде.

Бенуа и Кришна [20] доказали, что при определенных условиях набор равновесий повторяемой игры с множеством равновесий в составной игре приближается к набору индивидуально рациональных и возможных исходов.

6.7.З.З. КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Здесь мы проведем обобщение модели, представленной в разделе 6.5.1. Рассмотрим конечно повторяемую игру, в которой игрок г с вероятностью 1 — а разумный, А{ — его пространство действий, выигрыш П1(а1,..., ап) в каждом периоде, а с вероятностью а игрок г безумен. (Выбор предпочтений или стратегий игрока оставлен на усмотрение моделирующего. См. ниже).

Фьюденберг и Мэскин [42] доказали, что если условия не строгие, то применяется народная теорема — в том смысле, что любой индивидуально рациональный и возможный вектор выигрыша составной игры (для разумных игроков) может поддерживаться как состояние совершенного Байесова равновесия конечно повторяемой игры для произвольно выбранной малой вероятности а до тех пор, пока горизонт игры довольно велик, а дисконтирующий множитель достаточно близок к 1.

Доказательство того, что любой выигрыш, превышающий выигрыш Нэша, может поддерживаться, как обычно, просто (см. также раздел 6.5.1).

Наметим его. Пусть а^ = (а^,...,а^) обозначает равновесие Нэша составной игры, где игроки разумны с вероятностью 1. Пусть обозначает соответствующие выигрыши, пусть

V* = п\аи...,ап) > {Iм

и пусть безумный игрок г придерживается стратегии а, так долго, как все игроки придерживались этой стратегии в прошлом, и а^, если кто-либо отклонился в прошлом. Выигрыш от уклонения в одном периоде для разумного игрока ограничен сверху. В то же время потери от сотрудничества в будущем с безумными игроками а”-1 (у1 — Пг^)Т, если Т — горизонт времени и если (для простоты) не существует дисконтирования (6 = 1). Эти потери стремятся к бесконечности, так как Т стремится к бесконечности. Отсюда при Т > То это не может быть оптимальным для игрока г, если он отклоняется от а;, даже если он разумный. Обобщенно — сговор при а поддерживается по крайней мере Т — То периодов, а это означает, что средняя величина выигрыша для разумного игрока г стремится к V*, если Т стремится к бесконечности.

Как обычно, это доказательство дает полную народную теорему для игры Бертрана. Для более общих игр доказательство народной теоремы более сложно, см. [42].

<< | >>
Источник: Тироль Ж.. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности / Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа.. 1996

Еще по теме . КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ С МНОЖЕСТВОМ РАВНОВЕСИЙ В СОСТАВНОЙ ИГРЕ:

  1. НАРОДНЫЕ ТЕОРЕМЫ
  2. КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ С МНОЖЕСТВОМ РАВНОВЕСИЙ В СОСТАВНОЙ ИГРЕ