<<
>>

10.2.1 Задачи

^ 461. Два охотника охотятся в одном лесу. Количество дичи, добываемой i-м охотником (У. ) зависит от его усилий (x.) и общего количества дичи в лесу (z) как y. - x.z. Последнее зависит от их усилий по следующему закону: z - 6 - xi - .

Охотники стремятся добыть как можно больше дичи. Сравните результаты некоординируемого поведения и оптимум Парето. ^ 462. Месторождение нефти расположено под участками, принадлежащими двум различным нефтяным компаниям. Объем добычи компании (у.) зависит от интенсивности добычи, которую она выбирает (x.), составляя x./(1 + xi + Х2) долю от общих запасов нефти в месторождении (1000 баррелей). Рыночная цена нефти - 15 песо за баррель, издержки на добычу одного барреля равны (3 + x.) песо. Каков будет результат "эгоистичной погони за прибылью"? Покажите, что месторождение будет эксплуатироваться слишком интенсивно. ^ 463. ("Теорема о плохом колхозе") Пусть доход уЕ артели ("колхоза") есть простая сумма результатов y. ^ 0, создаваемых усилиями отдельных участников i - 1,... ,n. Доход распределяется поровну. Функция полезности и.(г., у.) каждого участника возрастает по его доходу г. - yE/n , и убывает по его усилиям у.. Показать, что если хотя бы один участник в равновесии Нэша осуществляет усилия (3i : у. > 0), то оно не Парето-оптимально. Предложите Парето-улучшение.

^ 464. [MWG] Группа состоит из m студентов. Каждый i-й студент учится по h. часов в неделю. Эти усилия уменьшают его уровень полезности на величину h /2. В то же время это дает студенту добавку к стипендии, так что его полезность увеличивается на величину 0(h./h), где h - среднее количество часов, которое посвящают учебе студенты данной группы, а ф(-) - дифференцируемая строго возрастающая вогнутая функция. Найдите характеристику внутреннего равновесия (по Нэшу). Сравните с оптимальным по Парето исходом. Дайте интерпретацию.

^ 465. Каждый год n рыбаков ловят в озере рыбу.

Ситуация начинается в году t - 1 и продолжается бесконечно. Количество рыбы на начало t-го года составляет yt. За год i-й рыбак вылавливает x.t/(^n=i x.t + 1) долю от общего количества рыбы yt, где x.t - его издержки на лов рыбы в году t. Цена на рыбу постоянна и равна p. Каждый рыбак максимизирует дисконтированную прибыль

те

п. - Е па*4-1, 0 <*< 1.

t=i

В начале года количество рыбы в два раза больше оставшегося к концу предыдущего года.

Пусть каждый рыбак выбирает постоянную стратегию xi - xit . Покажите, что вылов рыбы будет больше оптимального.

Как зависит выбор xi и динамика рыбных запасов от цены на рыбу и дисконтирующего множителя * ?

Предположим, что рыбаки остаются на озере только по одному году, и каждый год приезжают новые n рыбаков. Как это повлияет на ситуацию?

10.3 Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности

следующих m задач (io = 1,..., m):

uio (x, у) ^ max (x>y)

u-(x,= ui(x,У) Vi e I,i = io, xi e Xi Vi e I, gj (y, x)^0 Vj e J,

E(xik - Wik) = 53 yjk Vk e K. ie/ jeJ

На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его дифференциальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого io имеет вид:

- = 53 A-u^x, у) + 53 ^j gj (У' x) + 53 (53 yjk - 53 (xik - Wik)) ie/ jeJ keK jeJ ie/

Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид:

dL V^ \ dus(x'y) , V^ dgj(y'x) nw 7 ПП1А

dx-k=se/As Mj -axr- - 'k=0 V,'k- (10^1)

dL -? Aidudyxyl + ? + = 0 Vj,k. (10.2)

О / j i О / J i s <~\

dyjk ie/ dyjk seJ ^

Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо ko, обладающее следующими свойствами:

благо ko не порождает внешние влияния, т. е.

ko e е- Vi e I и ko e Ej Vj e J,

в рассматриваемом состоянии экономики (O)

du- > 0 Vi e I и ^ < 0 Vj e J.

dxiko dyjko

Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики .

Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно проверить, выполнены условия регулярности теоремы Куна- Таккера, и можно считать, что A-0 = 1 (для всех io = 1,...,m).

Это позволяет исключить из полученных соотношений множители Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах предельных норм замещения.

Из условий первого порядка для блага ko получим

Ai du-(x' y)/dx-ko Vi e I'

= CTfco

^ = dgj(y' x)/dyjko Vj 6 J.

Кроме того, для потребителя io соотношение dL/dx-oko = 0 можно записать в виде

dui o (x' y)

CTko.

dxi oko

Следовательно, > 0. (Таким образом, множители Лагранжа А. и все положительны.) Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Парето-гра- ницы в экономике с экстерналиями:

duj/dxjfc dus/dxjfc у-^ dgj/dx.k - 3)

dui/dxiko dus/dxsko j|J dgj/dyjko ako, .

Из (10.3) в частности, для каждой пары потребителей, ii и i2, и любого блага к выполнено y^dui/dxjlfc у^ dgj/dxilfc - у, dui/dxi2fc у^ dgj/dxiafc 5)

ill dui/dxiko j|J dgj/dyjko ill dui/dxiko j|J dgj/dyjko' .

Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, потребителей или производителей.

Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состояний

для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного равновесия

(p x y)

в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, будем предполагать, что существует благо ко, такое что выполнены условия (O).

Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономические субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзогенными, величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъект максимизирует свою целевую функцию только по "своим" переменным.

Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору x.. Задача потребителя имеет вид:

и.(х., x-i, y) ^ max

px. ^ в., Xi G Xi.

А j-й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj, т. е. решает следующую задачу:

РУ, ^ max

j yj gj(yj, y-j, x) ^

Как несложно показать, цена блага ко во внутреннем равновесии положительна. Дифференциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид:

dui(x, y)/dxifc pfc

- --, vi G I,

dui(x, y)/dx.ko p ko

dgj (x, y)/dyjk pk

- , Vj G J,

dgj(x, y)/dyjko P ko

где k - произвольное благо.

Отсюда следует, что для любой пары потребителей, ii и i2, выполнено

(10.6)

du-! /dx^k = du-2 /dx-2k duil /dxi1 ko dui2 /dxi2 ko Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим, что левая часть соотношения (10.6) является одним из слагаемых левой части соотношения (10.5). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать, что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти две дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных характеристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу теоремам благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики были бы неверны.

С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума несовместны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого экономического субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономического субъекта, и структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком сложной, чтобы позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись без того, чтобы предположить некоторого рода "регулярное" поведение производных по экстерналиям. Следующая теорема использует один из возможных наборов таких предположений (несомненно, эти предположения можно было бы ослабить).

Теорема 108:

Пусть (x, y) - допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что X- e int X- Vi, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,

существует благо ko, для которого выполнены условия (O);

все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j* блага k* (yj*k*), неотрицательные в том смысле, что

d!-(x'y) > 0' Vi,

dyj*k*

dgj(x' y)

) ^ 0' Vj = j*'

dyj*k*

причем хотя бы одно неравенство строгое;

o потребление хотя бы одним потребителем io блага k* (x- ok*) не порождает внешние влияния, т. е. k* e E-o.

Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно:

Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, y) - рыночное равновесие этой экономики.

Состояние (x, y) - Парето-оптимум этой экономики. J

Доказательство: Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для k = k* и j = j * выполняется соотношение (10.4). Поскольку мы предположили, что экстерналии, связанные с yj"k*, положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом ko, du-/dx-ko и dgj/dyjko положительны и отрицательны соответственно, то сумма "экстерналь- ных слагаемых" в левой части уравнения (10.4) больше нуля. Это означает, что

dgj* (y, x)/dyj*k* < CTfc^ dgj* (y' x)/dyj*ko CTko.

Кроме того, для k = k* и i = io в уравнении (10.3) по предположению нет слагаемых, связанных с экстерналиями, т. е. его можно записать в виде

дт0 (x, y)/dxi0k* = Ok*_ dui0 (x, y)/dxi0k0 ak0

'0

Окончательно получаем <

d§j* (y, x)/dyj*k* < duio(x, y)/dXiok* d9j* (У, x)/dyj*ko duio (x y)/dxioko' С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же самое соотношение должно было бы выполняться как равенство:

d§j* (У, x)/dyj*k* = duio (x, y)/dxiok* d9j* (У, x)/dyj*ko duio (x y )/dxioko'

Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно равновесием и Парето-оптимумом. ?

Замечание: В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с производством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает экстерналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрицательные экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предположить существование производителя, производство которым того же блага не создает экстерналий. Теорема при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично.

Замечание: Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее можно переформулировать двумя способами:

Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным.

Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное равновесие (ни при каких ценах и распределении доходов).

Неоптимальность равновесия (p, x, y) в условиях Теоремы 108 можно подтвердить также, подобрав Парето-улучшение - другое допустимое состояние экономики, (x, y), которое доминирует по Парето состояние (x, y). При этом Парето-улучшение (x, y) мы можем подобрать так, что в нем производство положительных экстерналий yj*k* строго больше, чем в рассматриваемом равновесии.

Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yj*k* отрицательные, то аналогичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстерналий строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утверждение для благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утверждений мы опускаем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстерналиями.

Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями./??[Маленво]/

Пример 44 (/Маленво/ (Общее равновесие; экстерналии в производстве)):

Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 производителями. Производитель j = 1, 2 производит только j -ый продукт, используя единственный производственный фактор - труд. Будем обозначать объемы производства yi и y2, а затраты труда - ai и а2 соответственно . Будем предполагать также, что технологии представимы явными производственными функциями следующего вида:

yi ^ f1(a1,У2), У2 ^ f2(a2,yi)-

то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага, что означают имеют место экстерналии.

Предпочтения потребителя заданы функцией полезности и(ж!,ж2,жэ), зависящей от объемов потребления двух производимых в данной экономике благ, xi ^ 0 и Х2 ^ 0, и досуга Хз ^ 0. Потребитель обладает только запасом и 3-го блага (времени).

Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, производные этих функций везде имеют "естественные" знаки, а именно:

f > 0,/ > 0, - > 0, - > 0, - > 0. da2 oai dxi dx2 dx3

Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид:

yi = xi, y2 = Х2, ai + a2 + Хз = и. Парето-оптимальные состояния данной экономики ,

(Xi,X2,X3,yi,y2,ai,a2), должны быть решениями следующей задачи :

u(yby2,w - ai - a2) ^ max

yi ^ fi (ai, У2), У2 ^ f2(a2, yi), yi ^ 0, У2 ^ 0, ai + a2 ^ u.

Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, так как потребитель один. Лагранжиан этой задачи имеет вид:

L(yi,y2,ai,a2,pi ,^2) =

= u(yi,y2,u - ai - a2) + Pi(/i(ai,y2) - yi) + P2(/2 (a2,yi) - y2)

Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное состояние можно охарактеризовать следующими соотношениями:

du d/2 du d/i

pi + P2^- = 0, т; + PiT; P2 = 0,

dxi dyi dx2 dy2

du d/i du d/2

- + Pi^ =0, - + P^^2 = 0.

dx3 dai dx3 da2

Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа

как

du/dx3 du/dx3

Pi = /dai, P2 = //da!

и получить следующую характеристику Парето-оптимума:

du du/dx3 ^ du/dx3 d/2 ^

dxi d/i/dai d/2/da2 dyi du du/dx3 d/i du/dx3 dx2 d/i/dai dy2 d/2/da2 .

Или, разделив на положительную предельную полезность досуга du/dx3,

du/dx1 1 df2/dy1

du/dx3 df1/da1 df2/da2 du/dx2 1 df1/dy2

du/dx3 df2/da2 df1 /da1'

Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть

(P1,P2,P3,xc1,xc2,xc3,yj1,yj2, a1, a2) -

равновесие. Выпуск yj и затраты труда aj являются решением следующей задачи (максимизации прибыли j-го производителя): nj = Pj fj (aj ,ya-j) - P3aj ^ max.

Поэтому в равновесии

Uj

1 P1 1 P2 df1/da1 p3 df2/da2 P3'

то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен.

С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L = u(x1 ,x2, x3) + \(в - (P1x1 + P2x2 + P3x;i)).

Дифференцируя ее по x1 , x2 и x3 и упрощая полученные условия первого порядка, получим обычную характеристику потребительского набора (xa1,xa2,xa3) - равенство отношения предельных полезностей отношению цен:

du/dx1 P1 du/dx2 P2

du/dx3 P3 du/dx3 P3

Поэтому в равновесии

du/dx1 1 du/dx2 1

du/dx3 df1/da/ du/dx3 df2/da2

Если хотя бы одна из производных df1/dy2 и df2/dy1, характеризующих предельный эффект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифференциальные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Парето-опти- мальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие.

Величины dfj, на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-оптиму- ма, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно "сэкономить" при производстве данного блага при увеличении на "малую единицу" производства другого блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает этот эффект.

Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:

При выполнении условия dfj/dy-j =0 в состоянии рыночного равновесия характеристика равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состояния. Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого факта нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Парето-оптимально. Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия опирается предположение о вогнутости производственных функций и функции полезности. Однако предположение о вогнутости производственных функций по "чужой" переменной (экстерналиям)

представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естественной интерпретации, как вогнутости по "своей" переменной.

Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере, указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в дифференциалах - малый допустимый сдвиг

(dxi, dx2, dx3, dyi, dy2, dai, da2).

из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя.

Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих ограничений:

dyi = dxi, dy2 = dx2, dai + da2 + dx3 = 0,

a d/i d/i d/2 d/2

dyi =--dai + dy2, dy2 = da2 + dyi.

dai dy2 da2 dyi

Отсюда получаем dx3 = -dai - da2 =

1

d/i/dai (dyi - 1dy2) - //da! (dy2 - dyr dyi, Полезность потребителя изменится на величину

du du du

du = --(x)dxi + --(x)dx2 + --(x)dx3. dxi dx2 dx3

Подставим dxfc, выраженные через dyj:

du du

du = dxi(x)dyi + dx!(x)dy2 - du (_)

dx3 \ d/i/dai

dy2 - d^! dyi ) | =

1

d/i , \ 1

dyi - ТГ" ^ + /я , dy2 I d/2/da2 1 + /?УМ dyi +

du/dxi

du/dx3 d/i/dai ' d/2/da2

1 + dy2

+

/ du/dx2

\du/dx3 d/2/da2 ' d/i/dai Учитывая дифференциальную характеристику равновесия, получим, что

du /d/2/dyi d/i/dy2 \

du = du (.d/Tda!dyi + /dyidy2J .

Если хотя бы одна из производных d/i/dy2 и d/2/dyi не равна нулю, то можно подобрать изменения объемов производства dyi и dy2 так, что полезность потребителя увеличится (du > 0). Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет Парето-улуч- шение. Так, если, например, d/i/dy2 = 0 (случай одностороннего внешнего влияния), то если d/2/dyi > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dyi > 0, т. е. локальное Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызывающего положительные

экстерналии в производстве другого блага. Это можно интерпретировать как локально недостаточное производство положительных экстерналий.

Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесии недостаточным по сравнению также и с Парето-оптимальным состоянием экономики, т. е. верно ли y1 < yj1 ? Ответить на этот вопрос можно только при дополнительных предположениях относительно рассматриваемой экономики.

Покажем, что предположение о том, что равновесие внутреннее, существенно для истинности утверждения Теоремы 108.

Пусть в равновесии Хз = 0. Тогда в равновесии выполнено следующее соотношение

du/dx1 df2/da2 du/dx2 df1/da1'

В оптимальном состоянии

" ," 1 _ 9f2/dyi

ди/дХ1 = dfi/dai df2/da2

du/dx2 = 1 9fi/dV2 '

' 2 df2/da2 dfi/dai

Эти две характеристики совпадут, если

f f\2 f = f f \2 f \da1J dy1 \da2J dy2'

Нетрудно придумать конкретные функции, для которых данная характеристика будет достаточным условием Парето-оптимальности, так что равновесие окажется Парето-оптималь- ным.

Подчеркнем, что и условие дифференцируемости функций полезности и производственных функций существенны для справедливости Теоремы 108.

Существуют также и опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналий, когда часть экстерналий, связанных с некоторой переменной, положительные, а часть - отрицательные.

Возможная неэффективность рыночного равновесия в экономике с экстерналиями часто служит обоснованием государственного регулирования экономики. Существуют два основных способа такого регулирования: прямое - количественные ограничения на производство и потребление благ, вызывающих экстерналии, и непрямое - налогообложение таких благ. Рассмотрим эти способы подробнее.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 10.2.1 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  16. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос