<<
>>

10.3.1 Задачи

^ 466. При доказательстве неоптимальности нерегулируемого равновесия в экономике с экстерналиями условие внутренности равновесия используется для того, чтобы

^ 467. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага.

Функция полезности второго потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полезности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума. ^ 468. Для следующих трех экономик

запишите дифференциальную характеристику Парето-оптимума,

запишите дифференциальную характеристику равновесия,

предложите Парето-улучшение в дифференциалах.

[Маленво] В экономике с 2 благами, 2 потребителями и 1 фирмой потребление первого блага является престижным и вызывает зависть у другого потребителя (т. е. имеют место отрицательные экстерналии, связанные с потреблением этого блага). Таким образом, функции полезности имеют вид u(xii, xi2, xi2) и u(x2i, x22, xii). Технология фирмы позволяет производить из единицы второго блага единицу первого блага.

В экономике с двумя благами, предпочтения потребителей i = 1,..., m заданы функциями полезности

uJ xi, Е xs,yi).

^ s=i '

Имеется технология, по которой из единицы блага x можно произвести единицу блага y, и наоборот.

В экономике с двумя благами, одним потребителем и n фирмами технологии фирм описываются неявными производственными функциями: gj(yji,yj2) ^ 0. Полезность потребителя зависит от суммарного объема производства 1-го блага:

uJ xi,x2^53yiH.

j=i

10.4 Равновесие с квотами на экстерналии

Определение 69:

Назовем квотой ограничение на производство блага каким-либо производителем или потребление блага каким-либо потребителем вида x^ = x^ или yjfc = y^.

В дальнейшем будем обозначать через Qi множество благ k, таких что на величину x^ их потребления i-м потребителем установлена квота.

Аналогично будем обозначать через Qj множество благ k, таких что на величину y^ их производства j-м производителем установлена квота.

При наличии квот задача потребителя i модифицируется следующим образом:

ui(xi, x-i, y) ^ max

pxi < ei, (10.7)

xifc - xifc Vk e xi e Xi.

Соответственно при наличии квот задача производителя j имеет вид:

py,- ^ max

j yj

yjfc = yjfc Vk e Qj, (10.8)

g(yj, y-j, x) ^ 0.

Введем также обозначение x = { xifc | k e Qi } и y = { yjfc k e Qj j . Определение 70:

Назовем (p, x, y) равновесием с квотами (x, {Qi}i, y, {Qj}j) и трансфертами S (^Si = 0 ), если

? xi - решение задачи потребителя (10.7) при x- = x-, y = y, ценах p, доходах

ei = p^i + Yij pyj + Si jeJ

и квотах, определяемых x и Qi;

yj - решение задачи производителя (10.8) при x = X, y- = y-, ценах p и квотах, определяемых y и Qj;

(X, y) - допустимое состояние, т. е.

J2(Xik - ыik) = Y yjk Vk ? K. iei jeJ

Для этого равновесия верен аналог второй теоремы благосостояния, т. е. утверждение о том, что Парето-оптимум экономики с экстерналиями можно реализовать как равновесие. Теорема 109:

Пусть (X, y) - Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = R+. Предположим также, что

Xik > 0 Vi, Vk ? Ei;

функции полезности щ(х, y) дифференцируемы по переменным Xik,k ? E; производственные функции (jj (y, х) дифференцируемы по переменным yjk ,k ? Ej;

существует благо ko, для которого выполнены условия (O);

функции ui(x, y) вогнуты по переменным Xik,k ? Ei; функции jj(y, x) вогнуты по переменным yjk ,k ? Ej .

Тогда существуют цены p, множества квотируемых благ Qi и Qj, квоты x, y, и трансферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с квотами. При этом множества квотируемых благ можно выбрать так, что Qi = Ei и Qj = Ej. J

Доказательство: Ограничимся схемой доказательства. В предположениях теоремы выполнены условия регулярности, и можно воспользоваться теоремой Куна- Таккера того, чтобы охарактеризовать Парето-оптимум (x, y). В качестве цен благ возьмем множители Лагранжа для балансовых ограничений ak.

В качестве множеств Qi и Qj квотируемых благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. Квоты установим в соответствии с рассматриваемым оптимальным состоянием, т. е. Xik = Xik Vk ? Qi и yjk = yjjk Vk ? Qj.

Далее доказывается, что xii является решением задачи (10.7) при данных ценах и квотах и доходах Pi = pxi. Действительно, точка xj.i является допустимой в этой задачи и в ней выполнены условия первого порядка, что следует из выполнения условий первого порядка для оптимума Парето:

^ дщ^ y) = ak Vi yk ? Ei. OXik

Условия первого порядка в данном случае являются достаточными условиями оптимальности. Аналогичным образом доказывается, что yj является решением задачи (10.8).

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S, такие что (p, x, y, x, y, S) является равновесием с квотами. Трансферты следует подобрать так, чтобы с их учетом доходы потребителей были равны расходам, т. е. @i = pxi. Требуемыми трансфертами являются величины

Si = pxi - p^i + J2 Yij pyj.

jeJ

Несложно проверить, что сумма этих величин равна нулю. ?

Замечание: Включив в множество Qi (Qj) все блага, по которым функция полезности ui(x, y) (соответственно, производственная функция jj(y, x)) не является вогнутой, мы получим вариант доказанной теоремы для случая невыпуклой экономики. Этот прием можно использовать и для реализации Парето-оптимума как равновесия в экономике без экстерналий.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости (2)???. При этом условие (3)??? заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости по благам, которые не порождают экстерналий.

10.5 Равновесие с налогами на экстерналии

В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в деньгах. Обозначим через Pi множество благ k, потребление которых i-м потребителем облагается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k, производство которых j-м производителем облагается налогами.

Пусть tifc - ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го потребителя модифицируется следующим образом:

ui(xi, x-i, y) ^ max

53 Pk xifc + 53 (Pk + tifc )xifc ^ ei, (10.9)

k?p fcePi

xi e Xi.

Условия первого порядка для внутреннего решения xi данной задачи имеют вид

dui(xi, x-i, y)

dxifc dui(xi, x-i, y) dxifc

= ViPfc, Vk e Pi, (10.10)

= Vi(pfc + tifc), Vk e Pi, (10.11)

где Vi - множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.

Соответственно если tjk - ставка налога на производство блага k производителем j, то задача производителя j имеет вид:

53 Pk yjk + 53 (Pk - tjk )yjk ^ max (10.12)

k/Pj kePj yj

g(yj, y-j, x) ^ 0. (10.13)

Условия первого порядка для решения yj данной задачи имеют вид dg(yj, y-j, x) j j-j-

dyjk

+ Pk = 0, Vk e Pj, (10.14) dg(yj, y-j, x) ' dyjk

к

+ Pk - tjk = 0, Vk e Pj, (10.15) где К, - множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, t/ = { tik | k e Pi } и t J = j tjk k e Pj j, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

Определение 71:

Назовем (p, x, y) равновесием с налогами (t/, {Pi}i, tj, {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями, если

xi - решение задачи потребителя (10.9) при ценах p, доходах

e = p^i + 53 Yi, py, + Si,

jeJ

налогах, определяемых t/, Pi, и объемах потребления и производства других экономических субъектов x-i, y.

О У, - решение задачи производителя (10.12) при ценах p, налогах, определяемых tj, Pj и объемах производства и потребления других экономических субъектов y-, x.

О (x, у) - допустимое состояние, т. е.

53(Xik - Wifc) = 53 j Vk. ie/ jeJ

О сумма налогов равняется сумме трансфертов

53 53 tifc xifc + 53 53 tjk yjfc = 53 Si.

ie/ fcePi je J kePj ie/

Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостояния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых естественных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти цены благ и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновесием с налогами.

Теорема 110:

Пусть (x, у) - Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = R+. Предположим также, что

xik > 0 Vi Vk G Ei;

функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj (y, x) дифференцируемы;

существует благо ко, для которого выполнены условия (O);

функции ui(x, y) вогнуты по xi; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yj. Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj , налоги t/, tj, и

трансферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с налогами. При этом множества налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej. J

Доказательство: Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены к-го блага pk можно взять множитель Лагранжа для балансового ограничения. В качестве множеств Pi и Pj облагаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. В качестве ставки налога tik, k G Pi выберем

tfc = - ? Л du*(x У) _ ? р %(У, x)

s=i dxik jeJ dxik

где Л5 и pj - множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый оптимум Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего Ps, принимается равной нулю. Далее доказывается, что xi является решением задачи (10.9) при

^i = Pxi + ^ ] tikxik,

kePi

x-i = x-i, y = y, данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка xi является допустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

Лdu^M) = Pk + tik, Vk G Pi, dxik

dui (x, y) Лi-^ = Pk, Vk G Pi.

dxik

Но это и есть условия первого порядка в задаче потребителя при v, равном ^.

Аналогично в качестве ставки налога tjk, k ? Pj выберем

, _ v^ \ dui(x y) V^ dJs(y, x)

tjk = 's -

iei dyjk dyjk

а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps, примем равной нулю. Далее доказывается, что yj является решением задачи (10.8) при данных ценах и x = x и y- = y-.

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S . Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

Si = pxi + Y tik Xik - (pVi + Y Yij (pyj - Y tjk yjk)).

kePi jeJ kePj

Их сумма равна, как и требуется, величине

УЗ УЗ tikXik + 53 tjkyyjk,

iei kePi jeJ kePj

и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны

Pi = pxi + tikXjik,

kePi

то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора xii. И

Замечание: Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет иметь место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачивается дотации по соответствующей ставке.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Парето- оптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоремы благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами, (x, y), имеют вид следующего правила Пигу:

tik dus(x., y)/dXik , vi djj(y, x)/dXik

+ у " , Vi, Vk ? Pi,

Pk0 dus(x, y)/dXsko jeJ dJj(y, x)/dyjko '

j = - y, dui(x, y)/dyjk djs(y, x)/dyjk Vj Vk ? P. (T)

pko iei dui(x, y)/dXiko djs(y, x)/dySk0, , j.

Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу .

Теорема 111:

Предположим, что (p, x, y) - равновесие с налогами (ti, {Pi}i, tJ, {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями и, кроме того,

xi ? int Xi (равновесие внутреннее)

все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т. е. Ei С Pi и Ej С Pj.

функции полезности и производственные функции дифференцируемы;

существует благо ко, для которого выполнены условия (O). Тогда,

если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это равновесие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли правилу Пигу (T);

если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага к существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k G Pi (к G Pj), то налоги должны удовлетворять правилу Пигу (T ). J

Доказательство: (i) Нам нужно показать, что найдутся числа {Л^, {pj}j, {uk}k, Лi ^ 0,pj ^ 0, такие что для них выполнены соотношения (10.1)-(10.2) (дифференциальная характеристика Парето-оптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме Куна- Таккера при вогнутости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений - достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями.

Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (10.10)-(10.11) и (10.14)-(10.15). Множители Лагранжа выберем следующим образом:

Л = 1/Vi, Pj = Kj, U k = pk.

Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т. е. k G Pi и к G Pj, не порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них имеют вид:

л dui dg7-

Л^- = Uk, Vi, pj- + Uk = 0, Vj.

dxik dyjk

Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (10.10) и (10.14). Кроме того, из (10.10) и (10.14) при к = ко имеем

Л = - = pk0 > 0,

i Vi dui/dxiko ,

Pj=Kj=-я p ko > 0, j j dgj/dyjko

откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы:

dus ^ dgj

tik = _ S Л*^ j dXik'

sr x dui sr dgs

tjk = _ Ps

ie/ dyjk dyjk

Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (10.11) и (10.15), убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (10.1)-(10.2) выполнены.

(ii) Для любого к = ко существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий первого порядка задачи потребителя i следует, что

dui/dxik = _pk dui/dxiko Pko.

С другой стороны, потребление этим потребителем благ k и ko не порождает экстерналий и поэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

dui/dXik = ak dui/dXik0 ak0'

Это означает, что pk/pk0 = ak/ak0, т. е. множители Лагранжа пропорциональны ценам.

Для произвольного потребителя i и блага k, потребление которого данным потребителем облагается налогом (k ? Pi), имеем из условия первого порядка задачи потребителя

dui/dXik = 'pk + tik ()u,i/()Xiko pk0 '

С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

dui/dXik + yi dus/dXik sp dgj/dXik = ak_ dui/dXiko dus/dXsko dgj/dyjko ako

Производя соответствующие замены, получим требуемый результат:

tik = dus/dXik + yi dgj/dXik

pko dus/dXsko jeJ d(gj/dyjko.

Аналогично, для произвольного производителя j и блага k, производство которого данным производителем облагается налогом (k ? Pj), имеем

dgj/dyjk = pik - tjk dgj/dyjko pko .

и

dgj/dyjk + yi dui/dyjk yi dgs/dyjk = _ ak_ dgj/dyjko iei dui/dXiko dgs/dysko ako,

откуда следует, что

j = -y. dui/dyjk +y< dgs/dyjk Vj Vk ? P pko iei dui/dXiko dgs/dysko, , j.

Замечание: Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых облагается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии, ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi\Ei и Pj\Ej) оказываются равными нулю. Из этого, фактически, следует, что множества налогооблагаемых благ должны включать блага, порождающие экстерналии, и только их.

Замечание: Предположение о том, что для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k ? Pi (k ? Pj) фактически оказывается необходимым для справедливости второй части теоремы. В ситуациях, когда оно не выполняется, поведение потребителя i, а следовательно и равновесие, не зависят от того, какую часть цены pk + tik, с которой он сталкивается, данный потребитель выплачивает в качестве налога, а какую - в качестве рыночной цены.

Пример 45 ((продолжение Примера 44)):

Введем в экономику Примера 44 ti и t2 - налоги на выпуски 1-го и 2-го предприятия соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с налогами. Пусть

(Pi,P2,P3,xi,x2,x3,y i,y2,ai,a2,ti,t2) -

такое равновесие. Задача максимизации прибыли j -го производителя имеет следующий вид:

nj = (Pj _ tj)fj(aj, y-j) _ P3aj ^ max.

aj

Дифференцируя по aj, получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

1 Pi _ ti 1 P2 _ t2

= и = ,

d/i/dai P3 d/2/da2 P3

то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен, с которыми сталкивается производитель, т. е. цен с учетом налогов.

Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится, так как потребитель не облагается налогом

du/dxi Pi du/dx2 P2 du/dx3 P3 du/dx3 P3'

Из полученной дифференциальной характеристики равновесия имеем следующие соотношения:

du/dxi 1 ti

du/dx3 d/i/dai P3'

du/dx2 1 + t2

du/dx3 d/2/da2 P3. Для того, чтобы равновесие было Парето-оптимальным, необходимо, чтобы

du/dxi 1 d/2/dyi

du/dx3 d/i/dai d/2/da2'

du/dx2 = 1 d/i/dy2 du/dx3 d/2/da2 d/i/dai'

т. е.

ti = _ d/2/dyi = _ d/i/dy2

P3 d/2/da2, P3 d/i/dai. Заметим, что если предпочтения потребителя выпуклы, то такие ставки налогов гарантируют Парето-оптимальность равновесия с налогами. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 10.3.1 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  16. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  17. 3.1.4 Задачи
  18. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя