<<
>>

10.8 Экстерналии в квазилинейной экономике

В этом параграфе будем рассматривать квазилинейную экономику с экстерналиями. В этой экономике имеется l + 1 обычных благ. Предпочтения потребителей и технологии фирм описываются функциями следующего вида13:

ui(xi, zi, ai, а_i) = vi(xi , ai , а_i) + Zi,

где Xi ^ 0, ai ? Ai а объемы потребления (l + 1) -го (квазилинейного) блага, Zi, могут быть произвольными, и

9з (Yj, rj, aj, a_j) = rj - cj (yj, aj, a_j),

где, как обычно cj(?) - функция издержек, которая показывает затраты (l + 1)-го блага на производство обычных благ в количестве yj ^ 0 и экстерналий в количестве aj ? Aj.

Известно, что Парето-оптимальные состояния квазилинейной экономики характеризуются следующей задачей:

W(x, y, a) =53 vi(xi, a) - E cj (yj, a) ^ max iei j eJ x'y'a

Е Xi = Е yj, (We )

i i j J Xi ^ 0, ai ? Ai, yj ^ 0, aj ? Aj.

Если ((X, Z), (y,r), a) - Парето-оптимальное состояние экономики, то (X, y, a) - решение данной задачи.

Обратно, если (X, y, a) - решение данной задачи, то найдутся числа fi и fj, такие что ((X, Z), (y, r), a) - Парето-оптимум.

Функция W(X, y, a) является индикатором благосостояния данной экономики. Воспользуемся приведенной характеристикой Парето-оптимальных состояний. Пусть ((X, Z), (y, r), a) - Парето-оптимум, такой что ai ? int Ai и aaj ? int Aj, а функции полезности и издержек дифференцируемы. Дифференцируя функцию Лагранжа данной задачи,

L = Е vi(x^ a) - Е cj (yj, a) + Е Ok (Е yjk - Е xik),

iei j e J keK j e J iei

получаем следующие условия первого порядка: dvi dxik ^ Ok и dvi dxik = Ok , если Xik > 0, "ii, k, dcj dyjk ^ Ok и dcj dyjk = Ok? если yjk > 0, ij,k, dvi +V

da? ^

daie s=i dvs daie =Е

j J dcj daie' ie ? Ei. sp dvi =

^ dn ? = iei da3e dcj daje + Е

s=j dcs daje' ie ? Ej. Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p - цены первых l благ. Цену (l + 1)-го блага будем считать равной 1.

При этих ценах потребление первых l благ Xi и создание экстерналий ai потребителем i определяется на основе решения

следующей задачи, которая получается из обычной модели поведения потребителя подстановкой бюджетного ограничения с учетом вида функции полезности:

Vj(xj, a) - pxj ^ max

Xi^O, aieAi

Дифференциальная характеристика внутреннего по aj решения этой задачи имеет вид

9vj . dvj _

^ Pfc и -- = pfc, если xjfc > 0, Vk,

9xjk 9xjk

J^ = 0 Ve G Ej.

daje

С учетом формы производственной функции задача производителя приобретает вид:

py- - (y-,a) ^ yj maXeAj

Дифференциальная характеристика внутреннего по aj решения этой задачи имеет вид

дс,- 9c- _

^ Pfc и -- = pfc, если y-fc > 0, Vk,

dy-fc dy-fc

Iе- = 0 Ve G Ej.

da-e

Пусть (p, x, y, a) - внутреннее равновесие. Тогда если некоторая экстерналия одного типа для всех потребителей (только положительная или только отрицательная), то состояние экономики (x, y, a) не оптимально по Парето. Этот факт можно установить как и ранее, сравнивая дифференциальные характеристики Парето-оптимальных и равновесных состояний. Пусть, например, e* G E-* таково, что в этом равновесии

^ 0 Vi и-- > 0 Vj = j *,

da-"e" da-"e"

причем по крайней мере одно из этих неравенств строгое. Тогда

E9vj ^ 9c-

e/ daj*e* daj*e*

Поскольку рассматривается состояние равновесия, то

9c

=0.

da-" e* Таким образом,

y^ 9vj < de-

^ 9a,*e* 9a,*e*' je/ j e jeJ j e

что означает, что (x, y, a) не Парето-оптимально.

Вообще говоря, для того, чтобы сделать этот вывод, достаточно сделать более слабое предположение, что "предельный эффект" экстерналии, т. е. величина

dvj ^ 9с- д^^Т - ^

"г 9a "а*

^г^ 9a

je/ j e j=j* j e

не равна нулю. Обозначим эту величину через е.

Укажем также возможные Парето-улучшения для состояния равновесия для данного случая. Пусть ((dx, dz), (dy,dr),da) - дифференциально малое изменение для состояния равновесия, причем

dx = 0, dy = 0, daj = 0 Vi, da- = 0 Vj = j*, da-"e = 0 Ve = e*.

Тогда эффект изменения производства экстерналии a-"e" на величину da-"e" окажется равным eda-"e*.

Пусть, например, предельный эффект экстерналии a-"e" положителен (е > 0). Тогда если daj *e* > 0, то величина eda-"e* положж^ительна. Она представляет собой экономиюю блага (1 + 1) в результате указанного увеличения производства экстерналии e* производителем j*.

Изменение должно быть таким, чтобы новое состояние было допустимым. Это требование определяет соотношения, которым должны удовлетворять изменения. Так, дифференцируя баланс по (1 + 1) -му благу, получим

dzj + 53 dr- = 0.

je/ jeJ

Изменение производства экстерналии вызывают изменения затрат (1 + 1) -го блага на предприятиях:

9с- (y-, a)

dr- = ---j da-*e*,

9a-"e*

причем dr-" = 0, поскольку в равновесии 9c-" (у-, a)/9a-"e* = 0. Полезности потребителей при этом меняются на величины

9v(x- a)

duj = dvj + dzj = -^--- da-"e* + dzj.

Сумма изменений полезностей с учетом соотношений между изменениями равна eda-"e*. Действительно,

9v o (^^ o a)

53 duj = V --- da-"e* + 53 dzj = .

je: je/ 9aj"e* - je/

= j - + e)da-"e* - 53 dr- = .

jeJ 9aj*e* jeJ

= 53 dr- + eda-"e* - 53 dr- = eda-"e*. jeJ jeJ

Существуют такие {dzj}, что все duj положительны. Если, например,

9v o (^^ * a)

dzj = eda-"e*/m ^--- da-"e* Vi,

то

duj = eda-"e*/m > 0 Vi.

Понятно, что если равновесие с налогами Парето-оптимально, то величина, например, ставки налога, взимаемого с производителя j за выпуск единицы экстерналий должна быть равна предельному эффекту экстерналий, взятому со знаком минус, т. е.

_ ^ 9vj ^ 9cs

He = - > . T г

je/ 9a?e s=j 9a-e Аналогично для экстерналии, производимой потребителем,

tie = - У" - + У -9C-. ie 9aie 9aie

9vs + у^ 9с-

,. 9aje I

s=j je jeJ Это вариант правила Пигу для квазилинейной экономики.

Обратно, если ставки налогов на производство экстерналий удовлетворяют правилу Пигу, то равновесие с налогами Парето-оптимально при дополнительных предположениях о том, что функции полезности вогнуты, а функции издержек выпуклы.

Цены экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями удовлетворяют соотношениям

dvs

qise = , ii, is = i, ie ? Ei,

daie

dc'

qije = , ii, ij, ie ? Ei,

daie dvi

qjie = -d-1-, ij, ii, ie ? Ej,

daje

dcs

qjse = -q-P , ij, is = j, ie ? Ej,

то есть совпадают с соответствующим "предельным ущербом" от экстерналии.

Если равновесие в экономике с налогами и равновесие в экономике с торговлей экстерналиями соответствуют одному и тому же состоянию экономики, то налоги и цены экстерналий связаны соотношениями

tie - ^ ] qise + ^ ] qije.

s=i jeJ

tje = - 53 qjie + 53 qjse,

iei s=j

Заметим, что если функции полезности вогнуты, а функции издержек выпуклы, причем хотя бы одна из них строго, то величины налогов Пигу и цен экстерналий не зависят от состояния равновесия и рассчитываются по указанным выше формулам на решении задачи (WE).

Интерес представляет также частный случай, когда воздействие экстерналий на благосостояние потребителей и производственные возможности производителей не зависит от уровня потребления и производства обычных благ, т. е. ситуацию, когда функции полезности и функции издержек имеют следующий вид (сепарабельны):

Ui(xi, Zi, ai, a_i) = vi (xi, a_i) + zi - vix (xi) + via(a) + zi,,

cj (yj, aj, a_j) = cjy (yj) + cja(a).

В этом случае объем производства и потребления всех обычных благ (кроме квазилинейного блага) не зависит от типа равновесия (один и тот же, как в "обычном" рыночном равновесии, так и в равновесии с налогами и в равновесии с торговлей экстерналиями), хотя производство и потребление экстерналий в этих состояниях могут различаться. Более того, рынки сепара- бельных экстерналий можно анализировать независимо от рынков обычных благ.

Пример 49 ((Курильщик и некурящий)):

Модифицируем Пример 47 для квазилинейной экономики с сепарабельными экстерналия- ми. Пусть функции полезности студентов имеют вид

Ui = vix (Xi) + via(a) + Zi, i = 1,2,

где Xi - объемы потребления "обычных" благ, Zi - количество денег на остальные блага, a ^ 0 - количество выкуриваемых первым из них сигарет. Как и ранее, второй участник - некурящий, и v'2a(a) < 0, а у первого, напротив, v[a(a) > 0, если количество сигарет меньше a (a > 0) и v'1a(a) < 0, если a> a.

Как уже говорилось, можно "забыть" о существовании благ xj и сосредоточится на экстерналии a и квазилинейном благе Zj. Поскольку ситуация фактически "двумерная", то она, как и ранее, иллюстрируется с помощью Рис. 10.1 (только по горизонтальным осям откладывается Zj ).

В точке A, соответствующей абсолютному праву некурящего на чистый воздух (a = 0) имеют место неравенства г>2a(0) < 0 < v'a(0).

Если выполнено -г2a(0) < v'a(0) (т. е. предельный ущерб от экстерналий не слишком велик - не превышает предельной оценки курения для курильщика), то состояние A не оптимально. Действительно, оптимум должен характеризоваться максимумом частичного индикатора благосостояния

W (a) = via(a) + V2a(a).

В граничном Парето-оптимуме (a = 0) должно быть выполнено W'(0) ^ 0, т. е. - v2a(0) ^ viа(0).

Из этого состояния можно произвести строгое Парето-улучшение вида da > 0, dz2 > 0, dz1 = -dz2 < 0. При этом

dv1 = vi a(0)da - dz2, dv2 = v2a(0)da + dz2.

Для того, чтобы одновременно dvi > 0 и dv2 > 0, нужно выбрать dz2 так, чтобы

-г2a(0)da < dz2 < v'a(0)da.

В точке B, соответствующей праву свободно курить (a = a), выполнено via(a) = 0, v2a(a) < 0. Ясно, что при этом условие оптимальности W'(a) = 0 не выполнено. Парето-улучшение должно иметь вид da < 0, dzi > 0, dz2 = - dzi < 0. При этом

dv1 = dzi, dv2 = v2 a(a)da - dzi.

Некурящий улучшит свое благосостояние (dv2 > 0) при dzi < г2a(a)da.

Внутреннее равновесие с торговлей экстерналиями характеризуется соотношениями г2a(a) = -q и via(a) = q, где a - количество дыма в этом равновесии. При этом W'(a) = 0. Д

Пример 50 ((Экстерналии в производстве, частное равновесие)):

Рассмотрим квазилинейную экономику с 3 благами (1 = 2) и двумя производителями, производящих 1-е и 2-е блага соответственно, затрачивая 3-е благо. Их функции издержек зависят от некоторых действий первого производителя (например, действий по уменьшению загрязнений, которые (загрязнения) негативно влияют на условия деятельности второго производителя.

Будем предполагать, что объем загрязнений, произведенных первым производителем, однозначно определяется объемом выпускаемой им продукции yi ^ 0 и поэтому можем быть измерен этим объемом. Тем самым мы возвращаемся к подходу, обсужденному в первом параграфе данной главы. Будем считать также, что внешнее влияние первого предприятия на второе увеличивает издержки 2-го предприятия на одну и ту же величину, независимо от выпуска этого предприятия:

ci = Ci(yi) и С2 = C22(y2) + C2i(yi)

причем c'2i(yi) > 0.

В дальнейшем будем также предполагать выполненными стандартные предположения неоклассического анализа, а именно, предельные издержки обоих производителей положительны

Ci(yi) > 0, 42Ы > 0,

и не убывают по объемам производства. Потребительский спрос порождается репрезентативным потребителем с сепарабельной функцией полезности

U = vi(xi) + v2(X2) + Z,

такой что предельные полезности vk (x) положительны и убывают.

Проиллюстрируем на этом простом примере все рассмотренные нами инструменты корректировки фиаско рынка. Парето-оптимум.

Индикатор благосостояния для данной экономики имеет вид

W = vi(yi) + v2(y2) - ci(yi) - c22(y2) - c2i(yi).

Дифференцируя его, получаем следующую дифференциальную характеристику Парето-опти- мальных состояний:

vi Ы = ci(yi) + c2i(yi),

v2 (y2) = cc22 (У2).

Если общие издержки c'i(yi)+c2i(yi) не убывают, то при сделанных выше предположениях, эта дифференциальная характеристика однозначно определяет объемы производства первых двух благ в Парето-оптимальных состояниях. Поэтому мы можем говорить о Парето-оптимальных объемах производства yi и г/2. Рыночное равновесие.

Поскольку обратные функции спроса и обратные функции предложения имеют вид:

Pi (yi) = vi(У1), PD(yi) = v2(V2), PS (yi) = Ci(Уl), PS (yi) = c22 (y2\

то рыночное равновесие определяет следующая дифференциальная характеристика (равенство цен спроса и предложения на обоих рынках):

vi (yi) = ci(yi), v2 Ш = c2 2(y2).

Сепарабельность функции полезности приводит к независимости объемов спроса и предложения первого и второго блага от других благ и поэтому позволяет анализировать их рынки независимо друг от друга. В дальнейшем мы будем характеризовать только рынок первого блага, так как характеристики рынка второго не зависят от выбранных способов регулирования первого. Заметим также, что отсутствие внешнего влияния первого производителя на второго приводит к тому, что производство второго блага в рыночном равновесии равно его количеству в каждом Парето-оптимальном состоянии y2 = y2 (Парето-оптимальному количеству). С другой стороны, сравнивая характеристики равновесного и Парето-оптимального количества первого блага, можем заключить, что при сделанных предположениях относительно внешних влияний (отрицательные экстерналии) выполнено yi < yi. Это следует из того, что функция vi(yi) - c[(yi) убывает, равна c'2i(i/i) > 0 при yi = yi и равна 0 при yi = yi.

Рис. 10.2 показывает оптимальный yi и равновесный yi выпуски первого производителя и иллюстрирует причину фиаско рынка: первый производитель в своих расчетах издержек и дохода принимает во внимание только часть действительных предельных издержек, связанных с производством первого блага. Здесь ci(yi) - частные предельные издержки 1-го предприятия, а ci(yi) + (?2\(yi) - общественные предельные издержки. Разница, c2i(yi), соответствует предельному ущербу от экстерналии.

Рис. 10.2.

yi yi yi

Квотирование.

При количественном ограничении (квоте) на объем выпуска первого производителя в размере yi = yi равновесие с квотами на рынке 1-го блага установится при цене pi = pi(yi) и объеме производства yi.

Налог Пигу.

Ставка налога Пигу на загрязнение равна

t = c2i (yi),

поскольку при таком налоге равновесие с налогами Парето-оптимально. Действительно, решением задачи 1-го производителя,

ni(yi) = piyi - ci(yi) - tyi ^ max,

при цене первого блага pi = pD(yi) является величина yi.

Дотации за сокращение загрязнений.

Другое возможное решение проблемы экстерналий - дотации за уменьшение объема их производства ниже некоторой установленной квоты yi. Пусть s - ставка такого дотационного возмещения. Тогда прибыль от выпуска yi единиц продукции в условиях дотаций приносит прибыль в размере

П(yi) = piyi - ci(yi) + s(yi - yi),

и поэтому достигает максимального размера при объеме выпуска yi (единиц продукции), который определяется из уравнения

pi = ci(yi) + s.

Как и выше, ставка дотационных выплат в размере s = c2i(yi) при цене первого блага pi = pD(yi) обеспечивает производство оптимального объема продукции yi (и оптимального объема экстерналий). Это означает, что pi = pD(yi) - цена равновесия на рынке 1-го блага при таком выборе ставки дотаций.

Заметим, что величина квоты не влияет на равновесие на рынке первого блага. При yi =0 дотация оказывается налогом, так как в равновесии yi > yi = 0.

Торговля экстерналиями.

Напомним, что К. Эрроу видел проблему экстерналий в отсутствии рынка экстерналий. Предположим, что существует рынок экстерналий и пусть цена единицы экстерналии составляет q. Объем производства экстерналий обозначим a.

Тогда задача первого производителя имеет вид

П = pi yi - qa - ci(yi) ^ max, yi = a,

а задача второго производителя имеет вид

П2 = P2V2 + qa - c22(y2) - c2i(a) ^ max.

y2,a

Покажем, что цены pi = pD(VI) , P2 = pD(V2) и q = c>2i('yi) являются ценами равновесия на рынках первых двух благ и экстерналий, а равновесные объемы производства будут равны VI = a = yi и V2 = y2.

Предложение экстерналий (их производство первым производителем) составляет тогда величину a, определенную соотношением

Pi - q = c'i(a),

а спрос - соотношением

q = c2i(a).

Равновесие (равенство спроса и предложения) на рынке экстерналий определяет объем их производства, удовлетворяющий соотношению

Pi = c'i (a) + c2i (a).

При Pi = PD(VI) решением этого уравнения является VI .

При указанных ценах и объемах производства первых двух благ цены спроса и предложения на первые два блага равны:

PD (Vi) = ci(Vi) + c'2i(Vi) = Pf (Vi)

и

PD (V2)= C'22(V2)= PS (Vi), что означает, что соответствующие цены являются равновесными. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 10.8 Экстерналии в квазилинейной экономике:

  1. Оглавление
  2. Введение
  3. Приложение 3.D Агрегирование в потреблении
  4. 4.4.2 Функция издержек
  5. Квазилинейная экономика и частное равновесие
  6. 6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
  7. 6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках
  8. 6.3 Характеристика поведения производителей в квазилинейных экономиках
  9. 10.5.1 Задачи
  10. 10.6 Рынки экстерналий