<<
>>

11.1 Экономика с общественными благами

Введем теперь модель экономики с общественными благами, которая отличается от классической модели введением общественных благ. Обозначим через K\ множество общественных благ, а через K2 - множество частных благ.

Поскольку мы не различаем доступное для потребления и потребляемое количество общественного блага, то можно считать, что в потребительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага Xk, поэтому потребительский набор i -го потребителя приобретает вид

xi = ({Xk}keKi, {Xik}keK2) = (x(1), xf^).

Будем предполагать, что множество допустимых потребительских наборов i-го потребителя Xi имеет следующую структуру:

Xi = X(1) х X(2), так что xi = (x(1), x(2)) e Xi тогда и только тогда, когда

x1) e XW и xi2) e Xf].

Состояние (x, y) экономики с общественными благами является допустимым, если выполнены следующие соотношения (напомним, что начальные запасы общественных благ мы считаем равными нулю):

xi e Xi, ii e I, Xk = Y1 Vjk, ik e K1, ii e I,

j J

YjXik = Y Vjk +Y Wik, ik e K2, i I j J i I

gj (У3) ^ 0, ij e J.

Как и в рассматриваемых ранее моделях, каждое Парето-оптимальное состояние экономики с общественными благами может быть охарактеризовано как решение m задач оптимизации. На их основе можно получить дифференциальную характеристику множества Па- рето-оптимальных состояний экономики с общественными благами в случае, когда функции полезности и производственные функции дифференцируемы.

Итак, допустимое состояние экономики (x, y), является Парето-оптимальным тогда и только тогда, когда оно является решением следующих оптимизационных задач (io = 1,... ,m):

Uio (xi0) ^ max xi e Xi, ii e I,

Ui(xi) ^ Ui(xi), ii = io,

gj (yj) ^ 0, ij e J, Xk = Y Vjk, ik e K1,

j J

YjXik = Y Vjk +Y Wik, ik e K2. i I j J i I

Последнее равенство выражает материальные балансы для общественных благ, и только оно отличает эту задачу от соответствующей задачи для классической экономики.

Соответ-

ствующий этим задачам лагранжиан (в котором пропущены константы ui(xi)) имеет вид:

L = 53 Aiui (xi) + 53 ^jgj (yj) + iei jeJ

+ 53 (53 yjk - Xk) + 53 (53 yjk + 53 Wifc ^53 Xik).

fceKi jeJ keK2 jeJ iei iei

Если функции полезности ui(-) и производственные функции gj(?) дифференцируемы, то, дифференцируя лагранжиан, получим характеристику внутреннего Парето-оптимума (т. е. при обычном предположении, что Xi ? int Xi).

Тогда для любой из указанных выше задач справедливо следующее утверждение (теорема Джона Фрица): существуют (не все равные нулю) множители Лагранжа (Ai, ^j, )такие, что Ai ^ 0 Vi, ^j ^ 0 Vj, и

dL dL

= 0 Vi e I, Vk e Ki, -- = 0 Vi e I, Vk ? K2,

dxk dxik

dL

= 0 Vj e J, Vk e K.

dyjk

Условие регулярности (линейная независимость градиентов ограничений соответствующей задачи) гарантирует, что можно найти такой набор множителей Лагранжа, что Ai0 = 1 .В рассматриваемом случае выполнение условия регулярности можно гарантировать, например, в случае, если в любом допустимом состоянии экономики для каждого потребителя i существует частное благо k ? K2, такое что dui(xi)/dxik > 0, а для каждого производителя j существует частное благо k e K2, такое что dgj (yj)/dyjk < 0.

В этом случае, исключив из необходимых условий экстремума множители Лагранжа , получим дифференциальную характеристику оптимума:

у dui(xi)/dxk = dgj(yj)/dyjk Vi e I V j e J Vk e K

iei dui(Xi)/dxiko dgj (yj )/dyjko, , , ь , Vi e I, Vj e J, Vk e K2,

dui(x i)/dxik = dgj(y j )/dyjk dui(Xi)/dxiko dgj (y j )/dyjko где ko e Ki - частное благо, такое что ^k0 = 0.

Второе из полученных соотношений называют уравнением Самуэльсона . Оно говорит, что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна предельной норме замещения общественного блага на частное в производстве.

Уравнение Самуэльсона иллюстрирует Рис. 11.1 ("диаграмма Самуэльсона") . На трех совмещенных графиках ось ординат соответствует производству и потреблению общественного блага.

Для того, чтобы найти Парето-оптимум, следует задаться некоторой кривой безразличия одного из потребителей, например, 2-го. На третьем графике кривая производственных возможностей совмещена с выбранной кривой безразличия. Расстояние по горизонтали между этими кривыми показано на первом графике в виде кривой. Точка касания с кривой безразличия 1-го потребителя соответствует набору 1-го потребителя в Парето-оптимуме. Задавшись другой кривой безразличия 2-го потребителя, мы нашли бы другой оптимум.

Рис. 11.1. Иллюстрация условий Парето-оптимальности для экономики с общественным благом

11.1.1 Задачи

^ 489. Уравнение Самуэльсона связывает ...

а) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

б) норму замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве;

в) норму замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

г) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 11.1 Экономика с общественными благами:

  1. 2.1. Теория «производства общественных благ».
  2. Общественные блага
  3. 11.1 Экономика с общественными благами
  4. 11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами
  5. 11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)
  6. РАЗДЕЛ 1. Классификация и свойства общественных благ.
  7. РАЗДЕЛ 2. Эффективный объем предоставления общественных благ
  8. Лекция № 2 Тема: Общественные блага
  9. 2. Общественные блага 2.1. Свойства общественных благ
  10. 2.2. Спрос на общественные блага
  11. 1. Изъяны рынка и необходимость государственного вмешательства в экономику. Сущность и виды общественных благ.
  12. 2. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЧИСТО ОБЩЕСТВЕННЫМИ БЛАГАМИ - ЭФФЕКТИВНОСТЬ
  13. Голосование по поводу общественных благ
  14. Местные общественные блага и аналогия с рынком
  15. 11. Понятие общественного блага и его основные свойства.
  16. 12-13. Виды общественных благ, их характеристика. Классификация общественных благ.