<<
>>

11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)

Заметим предварительно, что рассматриваемому случаю однородных экстерналий соответствует рыночное равновесие, в котором, как правило, общественное благо не производится, так как в нем нет механизма возмещения производителям общественных благ их затрат на такое производство .

Альтернативная возможность - механизм финансирования общественного блага на основе добровольных вкладов (пожертвований) потребителей этого блага. Примерами служат добровольные взносы в благотворительные фонды, финансирующие какие-либо общественные блага, например, научные исследования.

Рассмотрим одну из возможных формализаций такого механизма. Обозначим добровольный взнос i-го участника на приобретение к-го общественного блага через tik^0. Будем предполагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостояние потребителя зависит от общего количества этих благ, то при определении своего взноса tik потребитель i формирует ожидания (, Vs = i) относительно взносов других участников.

Собранная сумма идет на приобретение общественного блага:

Pk Xk = Pk yk = Y tik, Vk e Ki. ieI

11.3. Равновесие с добровольным финансированием Таким образом, задача потребителя i имеет вид:

ui(xi) ^ max xi ,ti

53 Pk xik + 53 tik ^i, (11.1)

keKi keK

Pk xk = tik + E t^sk, Vk e Ki,

s=i

xi e Xi, tik^0, Vk e Ki.

Определение 75:

Равновесие без координации или, иначе, равновесие с добровольным финансированием общественных благ есть набор (p, t, x, y), такой что

(x, y) - допустимое состояние экономики с общественными благами;

каждый набор xi и взносы ti являются решением соответствующей задачи потребителя (11.3) при ценах p, доходах

ei = p Wi + 53 Yj p y j + Si

jeJ

и ожиданиях {tfsk }s=i, keK2, таких что t^sk = tsk Vs = i, Vk e Ki;

каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя ?? (11.3) при ценах pt ;

сумма взносов равна совокупным расходам на каждое общественное благо:

Pk xk = 53 Pk yjk = 53 tik, Vk e Ki.

jeJ iei

Охарактеризуем решение задачи потребителя в состоянии равновесия в предположении, что xi e int Xi. Функция Лагранжа этой задачи:;

Li = ui(xi) +53 Vik (tik + 53 tesk - Pk xk) + Ai(e -53 tik -53 Pk xik).

keKi s=i keKi keK2

Условия первого порядка:

- Vik Pk = 0, Vk e Ki, - AiPk = 0, Vk e K2,

dLi dui dxk dxk

dLi dui

dxik dxik dLi

тг- = Vik - Ai ^ 0, причем Vik - Ai = 0, если tik > 0, dtik

где Ai - множитель Лагранжа бюджетного ограничения, а Vik - множитель Лагранжа бюджета для k-го общественного блага.

Предположим, что для любого потребителя i существует частное благо к, такое что dui/dXik > 0. Тогда Xi > 0 Vi, что, в свою очередь, означает, что равновесная цена любого такого блага положительна.

Пусть ко - некоторое частное благо, такое что его цена положительна. Тогда dUi/dXik0 > 0 Vi. Если потребитель i делает положительный взнос на общественное благо к (tik > 0), то из дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что

dui/dxk Pk

dui/dXiko Pko'

Для потребителя, делающего нулевой взнос, такое равенство нормы предельной замены отношению цен может не выполняться. Можно проверить, что если равновесная цена общественного блага к положительна, то, вообще говоря,

dui/dXk Pk

dui/dXiko Pko' Из решения задачи j-го производителя

djj = ^, Vj, Vk e Ki.

d9j /dyjko Pko

Предположим, что в равновесии суммарный взнос на общественное благо к* положительный, и пусть i1 - потребитель, который делает положительный взнос на приобретение этого общественного блага. Тогда в равновесии должно выполняться соотношение

duii/dxk* = Pk* = dgj/dyjk* duii/dxiiko Pko dgj/dyjko , В Парето-оптимуме же должно выполняться условие Самуэльсона:

\ - dui/dxk* = dgj/dyjk* i^I dui/dxiko dgj/dyjko .

Отсюда следует, что равновесие и Парето-оптимум могут совпадать только если

dui/dxk* = 0

=h dui/dxiko .

В случае, когда dui/dXk ^ 0 Vi, это соотношение имеет место только тогда, когда dui/dXk = 0 Vi = ii.

Следующая теорема неэффективности резюмирует эти рассуждения.

По смыслу она противоположна обеим теоремам благосостояния.

Теорема 119:

Пусть (p, t, x, y) - равновесие с добровольным финансированием, такое что Xi e int Xi Vi e I, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,

О для любого потребителя i существует частное благо ко, такое что???

dui(Xi)/dxiko > 0 и dgj (yj)/dyjko < 0 Vj; все предельные полезности по общественному благу к* неотрицательные,

^0, Vi;

dxk*

О в равновесии существует потребитель ii с i^k" > 0, причем по хотя бы для одного потребителя i2 = ii неравенство строгое.

Тогда состояние (X, y) не оптимально по Парето. J

Доказательство: Приведенные выше рассуждения, фактически, доказывают эту теорему.

Уместно привести альтернативное доказательство, показав, что можно построить Парето- улучшение, увеличив объем производства общественного блага и соответствующим образом перераспределив ресурсы. Существование такого Парето-улучшения можно неформально интерпретировать как локальную недостаточность количества общественного блага в равновесии. Рассмотрим следующий дифференциально малый сдвиг из точки равновесия:

dxk" = dy^" > 0 и dyifco < 0, dyifco = dx^fco + d^fco

причем dxixk0 < 0, dxi2k0 < 0,

где j - произвольное предприятие.

Другими словами, предлагаемое изменение заключается в увеличении производства и потребления общественного блага к* на величину dyjk", компенсированное уменьшением производства частного блага ко на величину dyjk0 и, соответственно, его потребления потребителями ii и i2 на величину dxi2k0 и dx^k0 соответственно.

Для того, чтобы новое состояние экономики было допустимым, величины dyjk" и dyjk0 должны удовлетворять соотношению

А.. ,

dyjk0 + я dyjk" = 0.

dyjk0 dyjk

Указанные изменения объемов потребления благ к* и ко приводят к изменениям в уровне полезности потребителя i1 на величину

du^ du^ du^ dui!

dui! = dxk" + T; dxixk0 = т; dyjk" + ^ dx^ =

dxk" dxi!k0 dxk" dxi!k0

= dui! ( dui!/dxk" d^t + d^ ) dxilk0 duii/dxiik0

Учитывая дифференциальную характеристику равновесия (равенство предельных норм замещения блага к* на благо ко в производстве и потреблении для потребителя ii), эту величину можно выразить как

= duii (dgj/dyjk" dy + dx ) =

dui1 = dxi^(djj dj + dxilk0 ) =

dui dui

= dx ( -dyjk0 + dxiik0 ) = - dx dxi2k0 . dxiik0 dxiik0

Поскольку duii /dxii k0 > 0, то при dxi2k0 < 0 прирост полезности duii положителен.

Аналогичные преобразования можно провести и для изменения полезности потребителя

i2:

du = dx + dui2 dx = ^ dy + dui2 dx = dui2 dxk" "T" dxi2k0 - о dyjk" T " dxi2k0 -

dxk" dxi2k0 dxk" dxi2k0

dui2 , dui2/dxk" , , , ч _ Чя., dyjk" + dxi2k0) =

dxi2k0 dui2 /dxi2 k0 duiw dui2/dxk" dgj/dyjk0

dxi2k0 dui2 /dxi2k0 dgj/dyjk

( a /a a /a dyjk0 + dxi2 k0)

*

Представим изменения потребления блага ко в виде

dxi2ko - adyjko,

где a e (0,1) - доля потребителя в уменьшении потребления блага ко. Тогда

dui = dui2 (ady.k - dui2/dXk* dgj/dyjko d ) =

12 dXi2ko Jko дщ2/dXi2ko dgj/dyjk* jko 3u,i2 , dui2/dxk* dgj/dyjko -

dXi2ko du^/dx^ dgj/dyjk* ">dyjko Поскольку dyjko < 0, то dui2 > 0 тогда и только тогда, когда

3u,i2 /dxk* dgj/dyjko

a<

dui2/dxi2ko dgj/dyjk*

Мы можем всегда подобрать долю a e (0,1), удовлетворяющую этому неравенству . Таким образом, существует строгое Парето-улучшение в дифференциалах. ?

Заметим, что при отказе от любого из условий теоремы ее утверждение, вообще говоря, перестает быть справедливым. Так, равновесие при добровольной подписке может быть Па- рето-оптимальным в перечисленных ниже ситуациях.

Потребитель всего один m = 1. (В этой ситуации, однако, едва ли уместно говорить об общественном благе.)

Общественное благо в рассматриваемой экономике единственно и его "ценит" только один потребитель (сверх уровня, финансируемого этим потребителем), т. е. предельная полезность общественного блага при данной величине его потребления положительна только для одного потребителя (и равна нулю для остальных).

Предельные полезности всех общественных "благ" у одних участников положительны, у других отрицательны, и происходит точное уравновешивание.

Частные и общественные блага комплементарны в потреблении. Заметим, что при этом не выполнено условие дифференцируемости функций полезности.

Равновесие не является внутренним. Здесь полезно различать два возможных случая. Случай (а): множество допустимых потребительных наборов обуславливают ограничение

вида Xk* ^ 0 по общественному благу к*, и в равновесии производство этого блага равно нулю. Такое равновесие может быть Парето-оптимальным, если производство его оказывается "слишком дорогим", экономически неоправданным.

Случай (б): в равновесии потребление всех благ, за исключением одного (общественного) блага равно нулю.

Равновесие может быть Парето-оптимальным и в случае, когда общественное благо является неделимым.

Пример 53 ((комплементарность частного и общественного блага)):

В экономике имеется два потребителя с функциями полезности

ui(xi,xi2) = min(xi,xi2),

где Xi ^ 0 - потребление общественного блага, Xi2 ^ 0 - потребление частного блага i-м потребителем, и один производитель с неявной производственной функцией

g(yi,y2) = yi + y2,

где y1 - производство общественного блага, y2 - чистое производство частного блага (-y2 - затраты частного блага). Другими словами, имеющаяся технология позволяет произвести единицу общественного блага из единицы частного.

Потребители имеют только запасы частного блага в размере Wi > 0. Баланс по общественному благу имеет вид x1 = y1 , а по частному благу -

xi2 + x22 = y2 + Wi + W2.

Покажем, что любое равновесие в этой модели Парето-оптимально и любой Парето-оптимум можно реализовать как равновесие (при подходящем выборе трансфертов).

Опишем сначала Парето-оптимальные состояния данной экономики. Можно заметить следующие факты:

В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть ниже потребления частного блага любым потребителем. Пусть, это не так, например, xi < xi2. Тогда можно немного уменьшить x12 и произвести за счет этого больше общественного блага x1 . При этом полезность обоих потребителей возрастет.

В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть выше потребления частного блага каждым из потребителем. Пусть это не так, т. е. xi > xi2 и xi > x22. Тогда можно уменьшить немного производство общественного блага, произвести за счет этого больше частного блага и увеличить x12 или x22 . При этом полезность соответствующего потребителя возрастет, а полезность другого потребителя не изменится.

В любом Парето-оптимуме используются все ресурсы, т. е. выполнено

xi + xi2 + x22 = Wi + W2. Отсюда следует, что Парето-оптимальные состояния в этой экономике могут быть трех типов: (i) xi2 < xi = x22, (ii) x22 < xi = xi2, (iii) xi = xi2 = x22.

Можно показать, что если в допустимом состоянии экономики выполнено одно из этих трех условий и используются все ресурсы, то это Парето-оптимум.

Опишем теперь равновесия в этой модели. Заметим, что в любом равновесии цены общественного и частного блага совпадают. Можно выбрать их равными единице: pi = p2 = 1. Учитывая это, в равновесии задача потребителя имеет вид

min(xi,xi2) ^ max xi ,ti

xi2 + ti^^i, xi - ti + t--^ xi ^ 0, xi2 ^ 0, ti^0.

Потребителю в равновесии выгодно полностью истратить свой доход в. Поэтому мы можем подставить xi2 = в - ti и xi = ti +1-i в целевую функцию:

min(ti + t-i,в - ti) ^ max0^ti^ei.

ti

Решение задачи потребителя будет зависеть от соотношения параметров t-i и в.

Если t-i > ei, то ti = 0, xi = t-i и xi2 = ei.

Если t-i^i, то ti = (ei - t-i)/2, xi = xi2 = (ei + t-i)/2.

Рис. 11.2. Комплементарность частного и общественного блага

Логически возможны 4 варианта равновесия: AA, AB, BA, BB. Вариант AA невозможен, так как при этом ti = t2 = 0, а это, поскольку доходы потребителей неотрицательны, противоречит условиям ti > в2 и t2 > в1. Все остальные варианты возможны. Охарактеризуем соответствующие им состояния равновесия.

(AB) Несложно проверить, что в таком равновесии

ti = 0, t2 = Xi = Х22 = в2/2, Xi2 = в1.

Это равновесие возможно при условии, что в2 > 2ei.

(BA) Этот вариант получается из предыдущего заменой индексов:

t2 = 0, ti = Xi = Xn = ei/2, X22 = в2.

Такое равновесие возможно при условии, что ei > 2в2.

(BB) Такое равновесие должно удовлетворять уравнениям

ti = (ei -12 )/2, xi = xi2 = (ei+12)/2,

t2 = (в2 - ti)/2, Xi = X22 = (в2 + ti)/2.

Откуда получаем

ti = (2ei - в2)/3, t2 = (2в2 - ei)/3, Xi = Xi2 = X22 = (ei + в2)/3.

Это равновесие возможно при условиях ti^в2, t2^ei, т. е. ei^2в2, в2^2в!. Заметим, что в любом равновесии

ei + e2 = PiWi + Si + P2W2 + Si = Wi + W2.

Несложно проверить, что каждом из этих типов равновесий выполнено

Xi + Xi2 + X22 = ei + e2.

Поскольку ei + e2 = Wi + W2, то в любом равновесии ресурсы используются полностью. В равновесиях типа (AB) выполнены условия (i), в равновесиях типа (BA) выполнены условия (ii), а в равновесиях типа (BB) выполнены условия (iii). Таким образом, любое равновесие Парето-оптимально.

Более того, в этой экономике любое Парето-оптимальное состояния можно реализовать как равновесие с добровольным финансированием. Так, например, Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (i), соответствует равновесие типа (AB), такое что

ei = Xi2, e2 = 2Xi = 2X22, ti = 0, t2 = Xi = X22.

Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (iii), соответствуют равновесия типа (BB), такие что

Pi + в2 = 3Xi = 3Xi2 = 3X22, ti = (2@i - в2)/3, t2 = (2@2 - 0i)/3. Д

Мы привели пример экономики, соответствующей ситуации (4). Читателю предлагается привести примеры экономик, соответствующих ситуациям (2), (3), (5) и (6) самостоятельно.

Комментируя теорему, отметим, что при добровольном финансировании возможны ситуации, когда некоторые потребители не делают взносы на финансирование общественного блага.

Таких потребителей называют "безбилетниками". В том случае, когда, например, предельные

du' /Эхи*

нормы замещения я-^ общественного блага к* частным благом ко различны, только

duil /dxiiko

один потребитель финансирует производство общественного блага. Остальные оказываются безбилетниками. Ниже, для случая квазилинейной экономики мы покажем, что такая ситуация является типичной.

В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием общественного блага это набор (p, t, X, y) такой что

^ При цене pi взнос ii является решением задачи потребителя

Vi((ti + Y1 ts)/p) - ti ^ max.

S=i

^ Суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования общественного блага в объеме X по цене p:

Eii = рх.

i I

^ При цене pi величина y является решением задачи производителя

py - c(y) ^ max.

y>0

^ Спрос на общественное благо равен предложению: X = y.

В равновесии выполняются соотношения:

vi(X) ^ p, причем vi(i) = pi, если ti > 0; p ^ c'(X), причем p = c'(X), если X > 0.

Предположим, что X > 0 (равновесие внутреннее, с положительным количеством общественного блага). Тогда существует потребитель ii такой, что ti > 0 и, следовательно, vi (i) = c'(i).

Если vi(X) ^ 0, и существует не совпадающий с ii потребитель, для которого это неравенство строгое, то J2iei vi(X) > ci(i).

Предположим, что предельные полезности vi(х) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки ci(y) всюду положительны и не убывают. Тогда X > X, где X - Парето-оптимальный объем производства (и потребления) общественного блага. Это следует из того, что Wi(x) = Еiei vi(х) - ci(i) - убывающая функция, Wi(i) > 0, и Wi(X) ^ 0.

Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте проводившегося нами анализа экстерналий, когда каждый потребитель, планируя приобретение общественного блага, не учитывает влияния своих действий (поскольку не заинтересован

при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост благосостояния других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало. Эта незаинтересованность учитывать влияние своих действий на благосостояние других участников составляет суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в увеличении вклада в финансирование общественного блага другими, но не заинтересован сам в увеличении своего.

Кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике можно в ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага безотносительно объема его потребления, т. е. в случае, если выполняется соотношение

v'i (x) < (x) < ? ? ? < v/(x) Vx > 0.

Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации. Пусть (p, t, ж, у) - такое равновесие. Тогда

(x) < PP.

Поскольку v'i(x) < v/(x) Vi = m, то v'i(x) < p. Это влечет за собой то, что ^ = 0, Vi = m, т. е. все потребители, кроме m не участвуют в финансировании общественного блага. (Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда

vi < v2 < ? ? ? < vm.

А именно, в равновесии общественное благо может финансировать только m-й потребитель.) Таким образом, x = tm/p, и возможны равновесия двух типов:

tm = 0 и у = 0,

Jm > 0 и у > 0.

В первом случае v'm(0) ^ p ^ c'(0) . Поскольку предельная полезность v'm(x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию.

Во втором случае v/(x) = p = c'(x). Как и в первом случае, поскольку предельная полезность v/(x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует Рис. 11.3.

Рис. 11.3. Равновесие с добровольным финансированием при упорядоченности оценок

Если v/(0) < c'(0), то равновесие может быть только первого типа, а если v/(0) > c'(0), то равновесие может быть только второго типа.

Предположим дополнительно, что функция v'm(х) - ci(i) убывает. Тогда необходимые условия равновесия являются достаточными. А именно, если

X = yp = v'm (X) = c1 (y), tm = pX,

и

U = 0, Vi = m,

то (p, t, X, y) является равновесием с добровольным финансированием. Действительно, необходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку

vi(X) < v'm(X) = p = c'(y) и 1 = 0, Vi = m.

Сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и предельных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и производителя являются достаточными.

Аналогично, если v'm(0) ^ pi ^ c'(0), то (p, 0, 0, 0) является равновесием с добровольным финансированием.

Отсюда следует, что (если функция v'm(х) - c'(x) непрерывна) равновесие существует тогда и только тогда, когда существует объем общественного блага х такой, что c'(x) ^ v'm(х). Поскольку равновесный объем X удовлетворяет этому условию, то это условие является необходимым. Поэтому остается доказать достаточность. Действительно, если v'm(0) ^ c'(0), то существует равновесие с X = 0. Если же v'm(0) > c'(0), то по непрерывности существует X > 0, такой что v'm(i) = c'(i), и на его основе можно сконструировать равновесие.

Кроме того, в рассматриваемых условиях равновесие единственно. Читатель может доказать это самостоятельно.

Пример 54:

Пусть

Ui(x,zi) = 2ai ln х + zi, c(y) = y2.

Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину y, удовлетворяющую соотношению Самуэльсона:

Е vi (X) = c'(X).

i I

В данном примере это соотношение имеет вид

'^2(2ai/X) = 2X или X2 = Е ai.

i I i I

Заметим попутно, что r = X2 - это как раз издержки производства общественного блага. Таким образом, оптимальный объем общественных расходов составляет величину

r = Е ai.

i I

В случае же равновесия с добровольным финансированием

vi(X) ^ c'(X) Vi,

т. е.

2ai/X ^ 2X Vi или X2 ^ a-i Vi.

Поскольку x > 0, то существует по крайней мере один потребитель, который делает положительный взнос. Это означает, что x2 = maxj aj. Объем расходов на общественное благо составляет величину

Г = max aj.

j

Цена общественного блага равна p = c'(x) = 2x, а сумма взносов равна

УЗ г = px = 2x2 = 2Г .

ie/

Пусть в экономике 3 участника, и aj = i. Платить будет потребитель, который ценит общественное благо больше всех, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно. Отсюда

Г = 3, x = у = л/3, p = 2л/3, = 6, г = J2 = 0.

В Парето-оптимуме x = V6, то есть равновесное количество общественного блага меньше оптимального. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации):

  1. Как будет показано в главе об экстерналиях, один из логически возможных способов коррекции работы рыночного механизма в ситуации с экстерналиями - различного рода налоги. Налоги используются также и для финансирования общественных благ в том случае, когда такие блага предоставляет государство. Однако, за исключением идеализированных ситуаций, такие способы коррекции фиаско рынка также приводят в неэффективному распределению ресурсов. В этой главе мы проиллюстрируем тот факт, что фактически пр
  2. Общественные блага
  3. 11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами
  4. 11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)
  5. Оптимальный объем общественного блага
  6. РАЗДЕЛ 1. Классификация и свойства общественных благ.
  7. РАЗДЕЛ 2. Эффективный объем предоставления общественных благ
  8. 2.2. Спрос на общественные блага
  9. Финансирование общественных благ посредством искажающего налогообложения
  10. Отсутствие равновесия местных общественных благ
  11. 12-13. Виды общественных благ, их характеристика. Классификация общественных благ.
  12. 26. Специфика формирования спроса чистых и смешанных общественных благ.
  13. 60. специфика ценообразования на чистые и социально-значимые общественные блага.
  14. 85. Субсидии и ценообразование общественных благ.
  15. 2.2. Спрос на общественные блага
  16. 2.4. Общественные блага в условиях трансформации экономики
  17. 2, Специфика формирования спроса и предложения на общественные блага в рамках частичного равновесия
  18. Оптимальный объем предоставления общественных благ в контексте общего равновесия
  19. 4, Специфика ценообразования на чистые и смешанные общественные блага