<<
>>

11.6 Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством

Один из самых распространенных механизмов принятия общественных решений (процедур коллективного выбора) - это голосование.

При анализе голосования мы будем исходить из предпочтений потребителей на наборах общественных благ (при заданных рыночных ценах и структуре общественных расходов).

Для этого рассмотрим следующие задачи: ui(x(1), x(2)) ^ max

(11.5)

Y (xfc )pfc xfc + Y pfc xifc ^i,

seK1 fceK2

fceK1

(x(1), x(2)) = Xj G Xj, где полезность максимизируется по x(2) при .заданной величине x(1). На основе этих задач предпочтения можно задать с помощью функции полезности Uj(?), сопоставляющей каждому набору общественных благ x(1) максимально достижимое значение полезности в данной задаче.

Одна из самых распространенных процедур - голосовании по правилу простого большинства.

Определение 78:

Пусть A - множество альтернатив и (^j}j - набор предпочтений i = 1, ...,m на A. Альтернатива a G A называется равновесием при голосовании по правилу простого большинства

если не существует такой альтернативы a G A, что она лучше a по большинству предпочтений.

На основе этой процедуры можно предложить концепцию равновесия для экономики с общественными благами.

Определение 79:

Равновесие с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства есть набор (p, X, y), такой что

???list # (X, y) - допустимое состояние экономики с общественными благами;

(2)

для каждого потребителя x( ) является решением задачи (11.5) при ценах p, доходах

ei = pWj + J2 Yij pyj + Sj

jeJ

и объемах потребления общественных благ x(1) = X(1);

X(1) - равновесие при голосовании по правилу простого большинства для альтернатив, заданных множеством наборов общественных благ X (1), и набора предпочтений, заданных функциями Uj(-);

каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя (11.3) при ценах p.

Выбор количества общественных благ с помощью голосования простым большинством сталкивается с двумя серьезными проблемами:

Такое равновесие существует только при довольно ограничительных предположениях.

Известный парадокс Кондорсе показывает, что, вообще говоря, при числе участников не менее трех (^ 3) равновесие при голосовании может не существовать даже при конечном числе альтернатив.

Даже если равновесие существует, оно обычно не Парето-оптимально. Существование равновесия при голосовании можно гарантировать в случае, когда предпочтения потребителей однопиковые.

Приведем определение понятия однопиковых предпочтений для частного случая, когда множество альтернатив A является подмножеством действительных чисел (этот случай соответствует экономике, в которой существует только одно общественное благо). Отношение

предпочтения ^ потребителя (на множестве альтернатив A) однопиковое, если выполняются следующие условия:

существует оптимальная с точки зрения потребителя i альтернатива О- (альтернатива О,' такая, что ai ^i a для всех a Е A);

если ai ^ a2 ^ a', то a2 ^ ai;

если ai ^ a2 ^ a', то a2 ^ ai.

Проиллюстрируем сказанное на примере квазилинейной экономики. Пусть доля Si каждого потребителя в финансировании общественного блага постоянна и положительна. Тогда предпочтения потребителя i на множестве возможных вариантов потребления общественного блага задаются функцией

u'(x) = V'(x) - S'px.

Будем считать, что для любого i функция u-(x) достигает максимума на множестве неотрицательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки зрения потребителя i количество общественного блага xi . Тогда соответствующие предпочтения являются однопиковыми (при сц = Xi) на множестве альтернатив A = [0, то).

Действительно, по построению величина xi - максимум функции u-(x) на множестве A. Несложно также проверить, что, поскольку v'(x), не убывает, эти предпочтения удовлетворяют условиям (b) и (c).

Заметим, что величину щ^') = v-(x-) - S-px- можно интерпретировать как потребительский излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага S-p.

Если предельные издержки vi(?) являются непрерывной функцией, то xi удовлетворяет соотношениям

v'i(xi) ^ Sip,

причем, если a- > 0, то

vi(sci) = Sip.

Эти уравнения задают равновесие.

Возможное поведение оценок щ(xi) объемов общественного блага для случая, когда m = 3, приведено на диаграмме: А \Ii2(X) \ з"-- xi x2 x3 x

Заметим, что в случае, когда m - нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосовании имеет особо простую структуру.

В этом случае равновесной является медиана из объемов xi, то есть (s + 1) -й по порядку возрастания объем. (Если все величины xi разные, ровно s = (m - 1)/2 потребителей предпочитает увеличить потребление общественного блага, а другие s потребителей желали бы его уменьшить). В приведенном на диаграмме примере это альтернатива x2. Таким образом, равновесие при голосовании определяется предпочтениями медианного потребителя. Обозначим индекс такого потребителя через i*. Заметим, что i*, вообще говоря, зависит от цены общественного блага p, поскольку от p зависят функции uii(x).

Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства характеризуется следующим образом. Если y - равновесный объем, а p - равновесная цена общественного блага, то

p = c'(y) и xj* = y ,

где i* - медианный потребитель при цене p.

В общем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потребителя (желаемого им объема потребления общественного блага).

Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внутреннем равновесии) равновесная цена известна заранее - она равна предельным издержкам и i* - медианный потребитель при этой цене.

В общем случае найти медианного потребителя при "правильной" цене можно на основе следующего приема.

Заметим сначала, что поскольку p = c'^j*), то величина xj* является решением одного из следующих m уравнений

vj (xj) = $jc'(xj).

Предположим, что xj* - медиана из рассматриваемых величин (xj} - решений таких уравнений. Тогда xj* является предпочитаемым медианным потребителем объемом потребления общественного блага (то есть xj* = xj*), а величина p = c'(xj*) - равновесной ценой общественного блага.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене p = c'(xj*) потребитель i* является медианным потребителем. Покажем это. Для каждого потребителя i, такого что xj ^ xj*, величина c'(xj) не превышает величину равновесной цены p = c'(xj*). Поэтому предпочитаемое при цене p потребителем i количество общественного блага xj* - решение уравнения vj (xj) = $jp - не превышает величину xj. Таким образом xj ^ xj*. Аналогичным образом показывается, что если xj ^ xj*, то xj ^ xj*. А это и означает, что потребитель i* является медианным при ценах p = c'(xj*) .

С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, vj(xj)/$j, упорядочены одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не зависит от цены.

Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при голосовании с долевым участием.

В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствующим его оптимальному количеству, т. е. = vi(x), для всех участников выполнено соотношение: xj = x, т. е. x предпочитается всеми потребителями (а не только более чем их половиной) любой другой альтернативе.

Но при определении "правильных" долей финансирования мы должны опираться на приватную информацию о предпочтениях потребителей, т. е. решить проблему выявления предпочтений, трудности решения которой мы уже обсуждали и будем обсуждать ниже.

В общем случае мы можем ожидать как недопроизводства общественного блага (xj*, x)), так и его перепроизводство.

Пусть, например, потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. = +, где число потребителей m нечетное. Тогда в равновесии при голосовании объем потребления общественного блага xj* будет таким, что

vj* (xj*) = - c'(xj*). jm

С другой стороны, оптимальный (по Парето) объем потребления общественного блага есть величина x, такая что

m ?vj (x) = m cj(x).

iei

Таким образом, объем производства общественного блага в равновесии при голосовании с равными долями финансирования xj* является оптимальным тогда и только тогда, когда средняя предельная полезность для этого количества равна предельной полезности медианного потребителя.

Легко придумать такой набор функций vj(x), что для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность больше предельной полезности медианного потребителя. В этом случае (при убывающей отдаче) можно доказать, что x > xj*. Если бы x ^ xi*, то

m cj(x) = m ?vj (x) > (x) ^ vj* (xi*) = m cj(xi*).

iei

Наоборот, если для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность меньше предельной полезности медианного потребителя, то х < xj*. Если бы x ^ xi*, то

m c/(x) = m ?vj (x) < (x) < (xi*) = m с'(^*).

iei

Пример 56 ((продолжение Примеров 54 и 55)):

В рассмотренном выше примере, когда

vj(xj) = 2aj ln xj и c(y) = y2,

имеем xj* = ^/maj* и x = Vma, где a = 5^ie/ aj/m. Поэтому x ^ xj* тогда и только тогда, когда a ^ aj*.

Пусть, например, aj = i, и m нечетно. Тогда

.* m + 1

a = aj* = i = -2-,

и объем производства общественного блага в равновесии при голосовании совпадает с оптимальным.

Если aj = i2 , то

_ (m + 1)(2m + 1) 2 (m +1)2

a = и aj* = (i ) = .

6 4

Поскольку a > ai* при m > 1, то x > xi*.

Если aj = exp(Yi), то при Y > 0 выполнено a > aj* и x > xj*. В то же время при Y < 0 выполнено a < aj* и x < xj*. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 11.6 Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством:

  1. Оглавление
  2. 11.5 Долевое финансирование: общие соображения
  3. 11.6 Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством
  4. 11.7 Долевое финансирование: равновесие с нерыночным (политическим) механизмом коллективного выбора
  5. 13.1.4 Существование равновесия при монополии
  6. Предметный указатель
  7. Существование равновесия при монополии
  8. Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции
  9. Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции
  10. Долевое финансирование по системе "Мушарака"
  11. 4.Общественный выбор
  12. Коллективные действия Основные понятия
  13. 1. ВВЕДЕНИЕ
  14. Существование избирательного равновесия
  15. Дифференциальная власть
  16. Равновесие при отсутствии правительственного вмешательства
  17. Голосование по поводу общественных благ