<<
>>

13.1.1 Свойства монопольного равновесия

Предположим, что обратная функция спроса и функция издержек являются дифференцируемыми при y ^ 0. Производная функции прибыли П(у) равна

П'(у) = p(y) + p'(y)y - c'(y).

Объем производства yM, являющийся решением задачи максимизации прибыли, должен удовлетворять условию первого порядка

п(yM)= p(yM) + p'(yM)yM - c'(yM) < 0,

причем по условию дополняющей нежесткости, если решение задачи внутреннее (yM > 0), то производная равна нулю, т.

е.

p(yM) + yMp'(yM) = c'(yM).

Из условия первого порядка следует, что если p(0) > c'(0), то выпуск монополии будет положительным (yM > 0). Максимум не может достигаться в нуле, так как если yM = 0, то должно быть выполнено

П'(0) = p(0) - c'(0) < 0,

что противоречит предположению p(0) > c'(0). Если разность p(y) - c'(y) убывает, то условие p(0) > c'(0) является не только достаточным, но и необходимым условием положительности монопольного выпуска (докажите это самостоятельно). Выполнение этого условия необходимо, чтобы сделать анализ содержательным, так как при p(0) ^ c'(0) нулевой объем производства выгоден как с точки зрения монополиста, так и с точки зрения общества, и предмет анализа -

3

рынок - отсутствует .

Будем предполагать, что приведенное условие выполнено, так что yM > 0. Условие первого порядка в этом случае означает, что так же, как и в условиях совершенной конкуренции, предельная выручка равна предельным издержкам:

p(yM) + yMp'(yM) = MR(yM) = MC (yM) = c (yM).

Отличие состоит в том, что в ситуации монополии цена, по которой фирма-монополист может продать продукцию, p(y), меняется в зависимости от количества, поэтому предельная выручка не равна цене.

Приведем стандартную графическую иллюстрацию равновесия при монополии. Укажем сначала простой способ построения на графике точек кривой предельной выручки MR(y). Проведем касательную к кривой спроса в точке, соответствующей некоторому объему производства y.

Соответствующая объему производства y точка кривой предельной выручки строится следующим образом: проекция точки (y,p(y)) на ось ординат отстоит от точки пересечения с этой осью касательной на в два раза большее расстояние, чем проекция самой этой точки (y,MR(y)) на кривую спроса (см. Рис. 13.2).

Другими словами, точка предельной выручки для объема производства y лежит на медиане треугольника, отсекаемого от положительного ортанта касательной к кривой спроса в той же точке y. В случае же линейной функции спроса кривая предельной выручки оказывается просто соответствующей медианой треугольника, гипотенуза которого - кривая спроса.

Для решения монополиста можно привести графическую иллюстрацию (Рис. 13.3). Здесь MR(y) = p(y)+ p'(y)y - кривая предельной выручки монополиста, а MC(y) = c'(y) - кривая предельных издержек.

Рис. 13.2. Построение кривой предельной выручки

Рис. 13.3. Равновесие при монополии

Пример 61:

Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a - by, и издержки заданы функцией c(y) = cy (a,b,c - константы). Тогда прибыль монополии равна

П(у) = у (a - by) - cy = (a - c)y - by2.

Максимум прибыли будет достигнут при

м a c м a +c

y ^^ и P =- A

Условие равновесия при монополии можно представить в виде, явно демонстрирующем зависимость монопольной цены от издержек производителя и эластичности спроса на его продукцию.

Напомним определение эластичности спроса по цене в заданной точке:

^=D'(p) m.

С учетом наших предположений о функции спроса эластичность как функцию от объема производства можно записать как

ф) = м

ЛУ) P(y) y

Поскольку мы предполагаем, что функция спроса убывает, то эластичность отрицательна, и

m\ = ^ = - ^ f

Используя эластичность, условие первого порядка можно записать в виде 1

p(yM)

1 -

\e(yM)\

= c'(yM) Заметим, что из условий первого порядка при естественном предположении о положительности предельных издержек (c'(y) > 0) следует, что выбранный монополистом объем производства лежит на "эластичном" участке кривой спроса, т.

е.

HyM)\ > 1.

Другая форма записи условия первого порядка максимума прибыли монополии имеет вид:

p(yM) - c'(yM) = 1 P(yM) \?(VM)\.

- российского происхождения. ОнВыражение справа называется индексом Лернера . Он измеряет степень искажения из-за несовершенной конкуренции через относительную величину отклонения цены от предельных издержек. Заметим, что индекс Лернера принимает значения меньшие единицы и равен нулю в условиях, когда спрос на продукция данного производителя является совершенно эластичным (при монопольном выпуске yM). Стоящая справа обратная эластичность измеряет степень монопольной власти производителя. Если эластичность спроса бесконечна, то фирма является ценополучателем и не обладает рыночной властью.

Если обратная функция спроса 'p(-) и функция издержек монополиста c(-) дважды дифференцируемы, то объем производства yM б максимизирующий прибыль, удовлетворяет также и условию второго порядка:

2p'(yM) + yMp"(yM) - c"(yM) < 0. Это условие можно также представить в виде

MR'(yM) < MC'(yM).

Данное соотношение означает, что тангенс угла наклона кривой предельной выручки не превышает тангенс угла наклона кривой предельных издержек в точке их пересечения yM . Другими словами, кривая предельной выручки пересекает кривую предельных издержек сверху вниз. Удобно считать, что условие второго порядка выполняется как строгое неравенство, т. е.

2p'(yM) + yMp"(yM) - c"(yM) < 0.

Это условие вместе с условием первого порядка гарантирует, что удовлетворяющий им объем производства yM отвечает точке локального максимума прибыли.

Поскольку монополия учитывает, что ее выпуск влияет на цену, то она при прочих равных условиях не может производить больше, чем фирма в условиях совершенной конкуренции, которая этого не учитывает. Рассмотрим воображаемую фирму, имеющую ту же функцию издержек и сталкивающуюся с тем же спросом, что и рассматриваемая фирма-монополист, но являющуюся ценополучателем. Такая фирма выберет такой объем производства y, что при при фиксированной цене p = p(y) он приносит максимум прибыли, т. е. решает задачу

py - c(y) ^ max.

y>0

При дифференцируемости равновесный выпуск у удовлетворяет условию p(y) - c'(y) ^ 0 (цена не превышает предельные издержки). Если равновесие внутреннее (у > 0), то цена равна предельным издержкам:

Р(У) - c'(y) = 0.

Теорема 128:

Предположим, что (обратная) функция спроса убывает, yM - объем производства, выбранный монополией, а у - объем производства, который был бы выбран фирмой с такой же функцией издержек, но действующей как ценополучатель . Тогда

yM < У.

Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы, yM > 0 и p(yM) < 0, то yM < y. J

Доказательство: По определению, yM максимизирует прибыль монополии. Поэтому

p(yM)yM - c(yM) ^ p(y)y - c(y).

С другой стороны, выпуск y обеспечивает максимальную прибыль фирме-ценополучателю при неизменной цене p(y). Поэтому

Р(У)У - c(y) ^ p(y)yM - c(yM). Сложив эти два неравенства, получим

p(yM)yM ^ p(y)yM.

Достаточно рассмотреть случай yM > 0 (при yM = 0 доказываемое утверждение тривиально). При этом p(yM) ^ p(y), откуда, учитывая убывание обратной функции спроса, следует, что yM ^ у.

Докажем вторую часть теоремы. Так как yM > 0, функции спроса и издержек дифференцируемы, то выполнено условие первого порядка в виде равенства. Поскольку p'(yM) < 0, то цена в равновесии выше предельных издержек:

p(yM) - c'(yM) = -yW) > 0,

Выпуск у, с другой стороны, удовлетворяет соотношению p(y) -c'(y) ^ 0. Отсюда следует, что у не может совпадать с yM, следовательно, yM < у. ?

Монотонности функции спроса, вообще говоря, недостаточно для справедливости второй части утверждения (т. е. условие p'(yM) < 0 теоремы существенно), что показывает контрпример, показанный на Рис. 13.4, где p(y) = (у - 1)3 + 1 и c(y) = у2/2. В этом примере кривая предельной выручки касается кривой спроса в точке у = 1, и через ту же самую точку проходит кривая предельных издержек.

Помимо вышеприведенных свойств монопольного равновесия, представляет интерес поведение решения и его характеристик при изменении параметров модели, что составляет предмет сравнительной статики, рассматриваемой в следующем параграфе.

Рис. 13.4. Пример совпадения выпусков фирмы-ценополучателя и фирмы-монополиста

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 13.1.1 Свойства монопольного равновесия:

  1. Оглавление
  2. 5.2.3 Некоторые свойства общего равновесия
  3. 5.2.5 Задачи
  4. 5.4.3 Задачи
  5. 13.1.1 Свойства монопольного равновесия
  6. 13.1.2 Сравнительная статика
  7. 14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  8. СОДЕРЖАНИЕ
  9. Свойства монопольного равновесия
  10. Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  11. Теоремы существования общего равновесия