<<
>>

15.1 Модель с полной информацией

Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информированы обо всех ее характеристиках (ее условиях, результатах).

В этой модели наниматель владеет неким "фактором производства", позволяющим получать доход (добавленную стоимость) величиной y = y(x), если уровень усилий работника составляет величину x G X, где X - множество возможных усилий (действий).

Обычно предполагается, что функция у(-) является возрастающей и вогнутой, что означает, что доход возрастает с уровнем усилий, но с "убывающей отдачей". В предположении дифференцируе- мости функции у(-) это означает, что y'(x) > 0, Vx G X и у'(o) убывает.

Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему оплаты w(-) в зависимости от некоторого наблюдаемого им сигнала о величине таких усилий. Схему оплаты w(-) называют также контрактом.

При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный доход, то есть разность между создаваемым работником доходом у и вознаграждением w. Будем называть эту величину прибылью нанимателя:

П = y(x) - w.

Естественно предполагать, что полезность работника в результате работы по найму зависит от уровня усилий и от величины оплаты, т. е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем предполагать, что эта функция является сепарабельной:

u(x,w) = v(w) - c(x),

где v(w) - полезность от зарплаты w, а c(x) - тягость усилий x. Будем предполагать, что v(-) - возрастающая вогнутая функция, c(-) - возрастающая выпуклая функция. Если эти функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим образом: v'(x) > 0, v'(o) убывает (убывающая предельная полезность), c'(x) > 0 и c'(-) возрастает (возрастающая предельная тягость усилий).

Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью uo. Это полезность альтернативной занятости, и работник не согласится на работу по контракту, если его полезность окажется меньше uo.

(Мы будем предполагать, что когда u = uo, работник соглашается на данную работу.)

Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт) знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.

Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней стратегия нанимателя - контракт w(-). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт - это функция от усилий x: w = w(x).

Наниматель выбирает функцию w(-) - контракт.

Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).

Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x. Можно изобразить эту игру в виде дерева (см. Рис. 15.1).

Наниматель

Рис. 15.1. Представление модели наниматель-работник в виде дерева

Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанимателя - множество возможных контрактов |w(-)}. В случае, если множество усилий не является конечным, решение описанной игры существует не для всех множеств возможных контрактов: задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w(-). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором задача работника имеет решение.

Это ситуация полной информации - всем все известно (о технологии, предпочтениях и производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w(-) работник решает задачу

u = v(w(x)) - c(x) ^ max,

и выбирает соответствующие усилия x :

x * ? argmax(v(w(x)) - c(x)), xex

(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций

v'(w(x * ))w'(x *) = c'(x *)

для внутреннего решения.

Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он сравнивает величины uo и maxxex(v(w(x)) - c(x)). Если maxxex(v(w(x)) - c(x)) < uo, работник отказывается подписывать контракт и выигрыш предпринимателя оказывается равным нулю. Если uo оказывается выше, то работник не подписывает контракт.

Напомним, что если полезность одинакова при обоих вариантах его поведения, то мы предполагаем, что работник принимает решение подписать контракт.

Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему контракта - w(-). С другой стороны, от решения работника x * зависит величина прибыли

Рис. 15.2. Выбор работником оптимальных действий

П = y(x *) - w(x *). Наниматель предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль с учетом предсказуемого решения работника .

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с помощью которой можно найти решения игры:

П = y(x *) - w(x *) ^ max

x * ? argmax(v(w(x)) - c(x)), (PA1)

xex

v(w(x*)) - c(x*) ^ uo. (PA2)

Ограничение (PA1) называют ограничением совместимости стимулов. Ограничение (PA2) называют ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x *)) - c(x*) < uo, для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном случае требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функции выигрыша нанимателя). Если в полученном решении прибыль нанимателя отрицательна, то он предложит работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель получит более высокую прибыль (нулевую) .

Если решение задачи работника x не единственно, то будем считать, что работник делает выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому можно предполагать, что наниматель сам выбирает x * при тех же ограничениях. Т. е. он выбирает как w(-), так и x *, решая следующую задачу:

П = y(x *) - w(x *) ^ max

x* ,w(-)

v(w(x *)) - c(x *) ^ v(w(x)) - c(x), Vx ? X, v(w(x *)) - c(x *) ^ u0.

(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано несколько в другом виде.)

Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по функции, причем обычно решение является не единственным. Для нахождения решения удобно рассмотреть сначала вспомогательную задачу, без ограничения совместимости стимулов

П = y(x *) - w(x *) ^ max

x* ,w(-)

v(w(x *)) - c(x *) ^ u0.

Вводя обозначения w = w(x *),x = x *, приходим к следующей задаче:

П = y(x) - w ^ max v(w) - c(x) ^ u0.

В этой задаче выбираются оптимальные для нанимателя значения x и w при учете только ограничения участия. Поэтому уровень прибыли, соответствующий решению этой задачи, не может быть ниже ее уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальнейшем мы покажем, что в действительности они совпадают.

Обозначим решение этой вспомогательной задачи через (x, w).

С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее можно свести к следующей задаче безусловной оптимизации по уровню усилий x:

П = y(x) - v-1(c(x) + u0) ^ max. Для данного уровня усилий x, в котором достигается максимум, плата должна быть равна

w = v-1(c(x) + u0).

При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением

z, "Л c (x)

y(x) = VM.

Рис. 15.3. Идеальная для нанимателя ситуация, выбор x и w

Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций п и u, (элемент переговорного множества, наиболее предпочитаемый нанимателем: наниматель получит весь излишек от сделки), см. Рис. 15.4.

u А

uo

П

Рис. 15.4. Идеальная для нанимателя ситуация на Парето-границе

Может ли наниматель достичь этой идеальной для себя ситуации?

Если нет ограничений на возможные контракты, то да, причем несколькими способами. Действительно, для этого следует выбрать контракт w(-) таким образом, чтобы решение задачи работника

v(w(x)) - c(x) ^ max

достигалось в требуемой точке x и работник получал в этой точке требуемую оплату w = w(x). Графически это означает, что кривая v(w(x)) лежит под кривой c(x) + uo и совпадает с ней в точке (x,w). Если c(-) и у(-) дифференцируемы и ищется дифференцируемая функция w(-), то для внутреннего решения должно быть выполнено

'"'(i) = Щ<= у'*4".

Рис. 15.5. Подбор схемы оплаты, реализующей идеальную для нанимателя ситуацию

Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют равновесие, причем в равновесии выполнено ограничение участия, то они обладают следующими характеристиками: Усилия работника в равновесии равны x = x, а равновесный контракт w(-) удовлетворяет условиям w(x) ^ v-1(c(x) + uo) Vx G X и w(x) = w. Если работник сталкивается с произвольным (в том числе неравновесным) контрактом w(-), то он выбирает уровень усилий x = x *(w(-)), который максимизирует полезность работника v(w(x)) - c(x).

Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором прибыль y(x)-v-1(c(x) + uo) неотрицательна, то любые стратегии, удовлетворяющие этим условиям, составляют равновесие рассматриваемой игры.

Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается идеальная для нанимателя ситуация.

1) Пакетный контракт ("не хочешь, не бери", "take-it-or-leave-it"). Простейший контракт обуславливает приемлемую для работника оплату только для уровня усилий x, например,

/ \ I 0, x == ^x, w(x) = <

I w, x = x.

(Мы подразумеваем, что w = 0 не обеспечивает работнику резервного уровня полезности.) Контракт

, , I 0, ^x << ^x, w(x) = <

I w, x ^ x.

также будем называть пакетным (см. Рис. 15.6).

Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x и w следует выбрать следующим образом:

x = x и w = w.

2) Линейный по усилиям контракт:

w(x) = a + bx.

Найдем его параметры. Из условия w'(x) = y'(x) получаем, что

b = y'(x).

Рис. 15.6. Оптимальный пакетный контракт

Из условия v(w(x)) = v(w) = c(x) + uo получаем, что

a = w - bx = v-1(c(x) + uo) - bx, Т. е. если x - оптимальные усилия, а w - соответствующая оплата то

w(x) = w + y'(x)(x - x).

Рис. 15.7. Оптимальный линейный по действиям контракт 3) Линейный по результатам контракт:

w(x) = a + by(x).

Для того, чтобы выполнялось w'(x) = y'(x), требуется, чтобы b =1. Таким образом, это должен быть контракт с полной ответственностью - все прибыли и убытки берет на себя работник. Наниматель же получает фиксированную сумму A = -a (П = A). Т. е.

w(x) = y(x) - A.

Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя, следует выбрать

A = y(x) - w.

Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути дела, самому решать задачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.

Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим модели с неполной и, прежде всего, асимметричной информацией, в которых работник владеет некоторой информацией, а наниматель - нет.

Рис. 15.8. Оптимальный линейный по результатам контракт 15.1.1 Задачи

^ 610. Барин выбирает, какую долю т G [0,1] стоимости урожая у забирать у крестьянина в виде издольщины. При этом он максимизирует свой ожидаемый доход ту. Крестьянин максимизирует по у ^ 0 функцию (1 - т)у - у2, то есть прибыль при квадратичной функции тягости усилий.

Найти оптимальную для барина долю т.

Что будет, если дополнительно к издольщине барин может использовать фиксированный оброк (r)? Какими данными следует дополнить задачу, чтобы она имела решение? Введите соответствующие обозначения, запишите целевые функции и найдите решение.

^ 611. [Varian] Профессор P наняла преподавателя-ассистента мистера A. Профессора интересует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также то, сколько она должна ему заплатить. Профессор P желает максимизировать свою функцию заработной платы x - w, где x - количество часов, преподаваемых мистером A, а w - заработная плата, которую она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w, то его полезность равна w - x2/2. Резервная полезность мистера A равна нулю.

Если профессор P выбирает x и w, максимизируя свою полезность при ограничении, что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и сколько ему придется заплатить?

Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме w(x) = ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b следует выбрать профессору P ? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня заработной платы, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной формы?

15.2 Модель с ненаблюдаемыми действиями

ния страхового случая. Это связано с ненаблюдаемостью усилий по сохранению имущества и невозможностью обусловить плату уровнем этих усилий. Подобные ситуации известны в экономической теории под названием моральный риск. Ясно, что страховой компании выгодно стимулировать своих клиентов относиться к застрахованному имуществу более бережно, однако, как правило, это можно сделать только за счет неполного страхования.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 15.1 Модель с полной информацией:

  1. Оглавление
  2. Рынки с асимметричной информацией
  3. 12.1.2 Примеры торга при асимметричной информации
  4. 12.2.2 Модель Акерлова: классическая постановка
  5. 15.1 Модель с полной информацией
  6. 15.2.1 Формулировка модели и общие свойства
  7. 15.4.3 Задачи
  8. 16.2 Статические игры с полной информацией
  9. Под статической игрой понимают такую игру, в которой все ее участники принимают решения не зная, какие именно решения принимают другие. Обычно в этом случае говорят, что участники принимают решения одновременно, хотя сама по себе одновременность принятия решений в данном случае не важна. Под играми с полной информацией понимаются такие игры, в которых каждый из игроков точно знает характеристики других игроков .
  10. 1. Статические игры с полной информацией