<<
>>

15.2.3 Задачи

^ 612. Количество производимой работником продукции (у) зависит от его усилий (x ^ 0) и случайного фактора (?), принимающего значения 0 и 100 с равной вероятностью, причем у = x + ?.

Произведенная продукция дает предприятию прибыль в размере 2у - w, где w - плата работнику. Работник имеет элементарную функцию полезности u(w,x) = w - x2/100, а его резервная полезность равна 0. Предприятие назначает плату пропорционально усилиям (w(x) = ax), либо пропорционально произведенной продукции (г(у) = ау) (если усилия ненаблюдаемы).

Сравните эти два вида контрактов.

Будут ли они Парето-оптимальными?

* Каким будет оптимальный контракт в каждой из ситуаций, если на вид функции г(у) нет ограничений?

^ 613. Предположим, что число возможных результатов в дискретном варианте модели найма со скрытыми действиями больше двух (m > 2), а усилия могут быть низкими, L, либо

высокими, H. Покажите, что из монотонности отношения правдоподобия PHs/pLs следует стохастическое доминирование.

^ 614. Предположим, что в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника имеет вид u(a, w) = yfw - a2 где, где w - плата, a - усилия (a = 1 или 2). Доход, приносимый работником, зависит от усилий a и случайного фактора (состояния мира) ?: y = y(a,?). Случайный фактор ? может принимать три значения, (1, 0, -1), с вероятностями, указанными в таблице. В таблице также указан доход в каждом возможном случае. ? a=1 a = 2 Вероятность 1 100 100 1/4 0 a 100 1/2 -1 a a 1/4 Пусть резервная полезность работника uo = 2,5. Известно, что наниматель установил оплату за доход 100 равной w(100) = 64.

(А) Какой уровень усилий стимулирует наниматель?

(Б) Какова величина w(a) ? ^ 615. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника имеет вид u(R, ж) = л/R - ж, где R = R(s) - это плата, зависящая от уровня выручки s. Усилия ж могут принимать значения 1 или 4.

Функция выручки s(x,?) зависит от усилий ж и случайного фактора ?, который может принимать три значения, (?ь?2,?з), с вероятностями (1/3,1/3,1/3). Результат действий работника (выручка s) задается таблицей ?1 ?2 ?

со 1/3 1/3 1/3 x=1 1 1 120 x=4 1 120 120 Пусть резервная полезность работника uo =3.

Пусть наниматель предлагает работнику 9 за выручку 1 и 36 за выручку 120. Какой уровень усилий выберет работник? Не находя оптимального контракта в явном виде определите, является ли данный контракт оптимальным.

(Б) Пусть наниматель предлагает работнику одинаковую оплату 20 за любую выручку. Ответьте на вопросы предыдущего пункта.

Найдите оптимальный контракт: пару выплат Ri, R120 ^ 0 соответственно за наблюдаемую выручку s = 1 или 120.

^ 616. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника имеет вид u(r, a) = у/r + 4 - a, где r = r(h) - это плата, зависящая от уровня выручки h. Усилия a могут принимать значения 1 или 3. Функция выручки h(a, ?) зависит от усилий a и случайного фактора ?, который может принимать три значения, (?1,?2,?з), с вероятностями (1/6, 2/3,1/6). Результат действий работника (выручка h) задается таблицей ? a = 1 a=3 Вероятность ?1 60 60 1/6 ?2 1 60 2/3 ?з 1 1 1/6 Резервная полезность работника uo = 4,5.

Пусть наниматель предлагает работнику -4 за выручку 1 и 77 за выручку 60. Какой уровень усилий выберет работник? Не находя оптимального контракта в явном виде определите, является ли данный контракт оптимальным.

(Б) Пусть наниматель предлагает работнику 32 за выручку 1 и 77 за выручку 60. Ответьте на вопросы предыдущего пункта.

Найдите оптимальный контракт: пару выплат ri,r60 ^ 0 соответственно за наблюдаемую выручку h = 1 или 60.

^ 617. Хозяин нанимает работника. Результат работы (то есть доход хозяина) зависит от ненаблюдаемой хозяином величины усилий работника, x, а также от ненаблюдаемых случайных событий (состояний мира). Эта зависимость описывается таблицей: Событие "не Событие Событие везет" "как всегда" "везет" Вероятность 1/3 1/3 1/3 x=1 60 60 120 x=3 60 120 120 Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x,w) = - x.

Резервный уровень полезности работника равен uo =4. Найдите оптимальный контракт, где денежные выплаты w обусловлены величиной дохода, полученного хозяином.

^ 618. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также от состояний мира (? = 1, 2, 3). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице ? = 1 ?=2 ?=3 Вероятность 1/3 1/3 1/3 x=1 0 100 200 x=2 100 200 300 Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности

u(x, w) = -120/w - x(w > 0).

Резервная полезность работника равна uo = -4. Какой вид имеют оптимальные контракты? Покажите, что результат будет таким же, как и при наблюдаемости действий. ^ 619. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также от состояний мира (? = 1, 2, 3, 4). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице ?=1 ? = 2 ?=3 ?=4 Вероятность 1/4 1/4 1/4 1/4 x=1 0 100 100 a x=2 100 100 100 a x=4 100 a a a Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности

u(x, w) = л/w - x. Резервная полезность работника равна uo =8.

Найдите оптимальный контракт при a = 200.

(Б) Найдите оптимальный контракт при a = 180.

* При каких a оптимальный контракт при ненаблюдаемости усилий будет Парето-опти- мальным?

^ 620. Рассмотрите дискретную модель найма со скрытыми действиями работника. При усилии a (a = 1,..., k) вероятность получения результата (s = 1,..., m) равна . Резервная полезность для работника равна uo, а его элементарная функция полезности имеет вид v(w) - ca, где w - оплата усилий работника, а ca - издержки, которые для работника сопряжены с усилиями a.

Покажите, что если оплата, обусловленная контрактом, не зависит от результатов (w(y) = const), то работник выбирает усилие, минимизирующее его издержки.

Предположим, что работник - рискофоб, т. е. v'(w) убывает. Покажите, что если издержки не зависят от усилий (ca = const), то оплата по (оптимальному) контракту не зависит от результатов.

Предположим, что возможны всего два результата и два уровня усилий, причем > У1 и > Va, b. Опишите оптимальный контракт, если (а) ca > сь, (b) ca < сь.

^ 621. Страхователь может с вероятностью р потерять актив ценностью K рублей, и обладает изначально богатством и (включая актив). Своими действиями (усилий) a по сбереганию актива, где a = L или a = H, страхователь может оказать влияние на вероятность страхового случая. Пусть - соответствующие вероятности, причем > Ря, а CL, ся - издержки

действий для страхователя. Элементарная функция полезности имеет вид u(x) = ln x - ca, где x - богатство.

На рынке страховых услуг только одна нейтральная к риску страховая компания, которая может диктовать страхователю свои условия. Проинтерпретируйте данную ситуацию как модель найма со скрытыми действиями. (Для упрощения анализа можно считать, что контракт непосредственно задает богатство страхователя, а не платежи, т. е. предлагаемый страхователем контракт имеет вид пакета (xi, x2), где xi - богатство, если страховой случай не наступил, а x2 - если страховой случай наступил.)

Покажите, что если страховая компания стимулирует низкий уровень усилий, L, то она предложит страховой контракт, такой что xi = x2 , т. е. полностью застрахует клиента. Проиллюстрируйте анализ на графике.

(Б) Покажите, что если страховая компания стимулирует высокий уровень усилий, H, то она не полностью застрахует клиента (xi > x2). Проиллюстрируйте анализ на графике.

Какой контракт предложит страховая компания?

^ 622. Отметьте такие условия, каждое из которых, независимо от прочих, гарантирует, что оптимальный для нанимателя контракт в модели найма со скрытыми действиями Парето- оптимален:

а) работник - рискофил, а оплата его труда зависит от результата;

б) работник (как и наниматель) нейтрален к риску;

в) действия не оказывают влияния на распределение результата;

г) действия могут быть однозначно вычислены по наблюдаемому результату;

д) резервная полезность для работника равна нулю;

е) действия не сопряжены с издержками для работника;

ё) работник - рикофоб, а оплата его труда зависит от результата;

ж) ожидаемый доход не зависит от усилий;

з) действия, дающие наибольший ожидаемый доход, сопряжены с наименьшими издержками для работника;

и) действия дающие наибольшую прибыль (не обязательно наибольший доход) не могут давать доход, равный доходу от прочих действий;

й) резервная полезность для работника отрицательна и меньше по модулю максимального ожидаемого дохода.

По возможности объясните свой ответ. ^ 623. Модель найма со скрытыми действиями, работник - рискофоб. Утверждение: если плата работника не зависит от результатов деятельности работника, то работник выберет такие действия (усилия) ж, при которых его издержки усилий c(x) минимальны. Сформулируйте модель и гипотезы утверждения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой. ^ 624. В модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника u(w, x) возрастает и непрерывна по оплате w и задана на всех действительных величинах оплаты. Объясните, почему условие участие для оптимального контракта всегда выполняется как равенство.

^ 625. В модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника u(w, x) возрастает, непрерывна и строго вогнута по оплате w и задана на всех действительных величинах оплаты. Объясните, почему, если наниматель стимулирует не самый низкий уровень усилий, то одно из условий совместимости стимулов для оптимального контракта должно выполняется как равенство.

^ 626. Модель найма со скрытыми действиями. Утверждение: если работник нейтрален к риску, то выбранный нанимателем контракт окажется Парето-оптимальным. Сформулируйте модель и предположения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой.

^ 627. Модель найма со скрытыми действиями, работник - рискофоб. Верно ли утверждение: если схема выплаты работнику, ws, (контракт) зависит от результатов (ws = wt Vs = t), то работник выберет такие действия (усилия) b, что c(b) > minxex c(x) ? Если верно, то обоснуйте его, если неверно, то приведите соответствующий контрпример.

^ 628. Модель найма со скрытыми действиями, работник - рискофоб. Верно ли утверждение: пусть издержки работника не зависят от действий (усилий), тогда выбранный нанимателем контракт окажется Парето-оптимальным? Если верно, то обоснуйте его, если неверно, то приведите соответствующий контрпример.

^ 629. Рассмотрим модель найма с тремя уровнями усилий и двумя результатами. Резервная полезность равна 1 . Вероятности результатов, доходы и издержки задаются следующей таблицей: y1 = 0 У2 = 50 a = L 3/4 1/4 CL =1 a = M 1/2 1/2 CM =3 a=H 1/4 3/4 Ch =4 Покажите, что один из уровней усилий нереализуем в случае, когда усилия ненаблю- даемы (не существует контракта, при котором он выгоден работнику).

Найдите оптимальный контракт при наблюдаемых и ненаблюдаемых усилиях.

^ 630. Предположим, что в модели найма при наблюдаемых усилиях нанимателю оказывается выгодным минимальный уровень усилий. Может ли при ненаблюдаемых усилиях быть выгоден другой уровень усилий?

^ 631. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами. Опишите все возможные оптимальные контракты в предположении, что усилия ненаблюдаемы, и работник является нейтральным к риску. Продемонстрируйте, что все они являются оптимальными по Парето, и наниматель получает такую же ожидаемую прибыль, как и при наблюдаемых усилиях.

^ 632. (Контракт с ограниченной ответственностью)?? Предположим, что в Примере 78 на с. 569 оплата по контракту не может быть отрицательной, w ^ 0.

(а) Найдите наилучший контракт в предположении, что работодатель стимулирует высокий уровень усилий работника. Покажите, что при таком контракте работник получал бы положительную ренту. Проиллюстрируйте анализ на графике.

(б) Покажите, что в данном случае контракт при высоком уровне усилий перестает быть оптимальным.

^ 633. Докажите, что если введение условия ограниченной ответственности ws ^ w не приводит к изменению уровня усилий (для оптимального контракта), рента, получаемая работником, положительна тогда и только тогда, когда условие ограниченной ответственности является существенным.

^ 634. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами, в которой усилия ненаблюдаемы, работник является нейтральным к риску, и допустимые контракты ограничены условием ограниченной ответственности ws ^ w. Покажите, что существует граница w , такая что для контракта, обеспечивающего высокий уровень усилий, рента, связанная с ограниченной ответственностью, положительна в том и только в том случае, если w > w*.

^ 635. Рассмотрите в модели найма с ненаблюдаемыми действиями с двумя уровнями усилий и с двумя результатами контракты типа издольщины, когда нейтральный к риску работник получает плату в виде фиксированной доли от создаваемого им дохода. Найдите оптимальные контракты и сравните с оптимальными контрактами при наблюдаемых действиях.

^ 636. Объясните, почему контракт типа издольщины не может быть эффективным по Паре- то.

^ 637. [Tirole] Работник может выбрать два уровня усилий: высокий (H) и низкий (L). Полезность работника в случае низких усилий равна v(w), а в случае высоких - v(w - с), где w - заработная плата, с - издержки, связанные с высокими усилиями. Функция v(-) возрастающая и строго вогнутая (работник - рискофоб). Резервная заработная плата работника равна wo (так что резервная полезность равна v(wo)).

Пусть доход нанимателя может принимать два значения, yi и y2, причем yi < У2. Если работник выберет высокий уровень усилий, то доход будет равен y2 с вероятностью ря и yi с вероятностью 1 - ря. Если же он выберет низкий уровень усилий, то доход будет равен y2 с вероятностью р^ и yi с вероятностью 1 - р^, причем р^ < ря.

Рассмотрите сначала случай, когда усилия работника наблюдаемы. Объясните, почему, если наниматель стимулирует работника выбрать низкий уровень усилий, то он должен назначить оплату wi = w2 = wo, а если высокий, то wi = w2 = wo + с.

Покажите, что в ситуации пункта (A) нанимателю выгодно требовать от работника высокого уровня усилий в том и только в том случае, если (ря - РЬ)(У2 - yi) > с.

Рассмотрите теперь случай, когда усилия работника ненаблюдаемы, и наниматель хочет побудить работника выбрать высокий уровень усилий. Запишите условие совместимости стимулов и условие участия.

Покажите, что из условия совместимости стимулов следует, что w2 > wi.

Объясните, почему нанимателю выгодно назначить такую оплату, что оба ограничения выходят на равенство.

Пользуясь тем, что работник - рискофоб, покажите, что ожидаемая зарплата работника выше, а ожидаемая прибыль нанимателя ниже, чем при наблюдаемости усилий (предполагаем, что в обоих случаях нанимателю выгодно побуждать работника выбрать высокий уровень усилий).

Найдите оплату при нейтральности работника к риску (при том же предположении, что наниматель побуждает работника выбрать высокий уровень усилий).

Найдите оплату в случае, когда нанимателю выгодно побуждать работника выбрать низкий уровень усилий.

^ 638. [Tirole] Акционеры решают, какое жалование w назначить менеджеру компании. Прибыль без учета этого жалования, y, зависит от усилий менеджера, x, и случайного фактора ("возмущения"), ?: y = x + ?. Предполагаем, что ? - случайная величина, распределение которой не зависит от x, с носителем (-то, +то), имеющая нулевое математическое ожидание: E(?) = 0. Акционеры нейтральны к риску и максимизируют ожидаемую прибыль E(x + ? - w). Менеджер имеет целевую функцию типа Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности вида u(x, w) = v(w - YX2) , где Y - постоянный коэффициент, функция v(-) имеет положительную невозрастающую производную. Менеджер может найти себе работу преподавателя в бизнес-школе, где практически без усилий и риска ему гарантирована заработная плата wo .

Если акционеры наблюдают уровень усилий менеджера, то они могут найти такую схему оплаты, что менеджер выберет именно тот уровень усилий, какой им требуется. Предложите вариант такого контракта. Найдите оптимальный уровень усилий, то есть такой, который дает максимум ожидаемой прибыли, и при этом менеджер не откажется от контракта.

Пусть акционеры не могут наблюдать уровень усилий, им известна только величина прибыли y. Предположим, что используется линейная схема оплаты w(y) = a + by. Покажите, что уровень усилий, который выберет менеджер, не зависит от вида функции v(-). Найдите его как функцию коэффициентов a и b. (Поскольку носитель распределения ошибки не зависит от усилий менеджера, то производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.) Покажите, что если менеджеру остается вся прибыль за исключением некоторой постоянной величины, то есть b = 1 , то он выберет тот уровень усилий, который оптимален в ситуации (i).

Запишите функцию Лагранжа и найдите условия первого порядка для задачи выбора оптимального линейного контракта. Покажите, что если менеджер нейтрален к риску, то акционеры выберут b = 1. Докажите, что если производная функции v(-) убывает (т. е. менеджер является рискофобом), то в оптимальном контракте 0 < b < 1, то есть это нечто среднее между ситуацией, когда весь риск берут на себя акционеры (b = 0) и ситуацией, когда весь риск берет на себя менеджер (b = 1). (Подсказка: Воспользуйтесь тем, что если f (?) - возрастающая функция ?, то ковариация Cov(f(?),?) = E(f(?)?) неотрицательна, и наоборот, если f (?) - убывающая функция ?, то эта ковариация неположительна).

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 15.2.3 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи