<<
>>

15.3.1 Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов

Рассмотрим сначала случай найма с единственным нанимателем. При этом предположим, что каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности uoe, заданной экзогенно.

(Если предложенный ему контракт обеспечивает полезность ниже величины uoe, работник отказывается его подписывать.) Нормируя функции издержек (добавляя к "первоначальным" функциям величины uo#), будем считать, что все uo# равны нулю.

Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с неполной информацией. Опишем последовательность ходов в этой игре:

0. "Природа" выбирает тип работника в G в.

Наниматель, не зная типа, предлагает работнику меню контрактов - пакеты (x#, ), в ? В.

Работник (зная свой тип) выбирает одну из возможных альтернатив: либо не подписывать контракт, либо подписать контракт, выбрав какой-то из предложенных пакетов.

Выигрыши нанимателя и работника в случае подписания контракта вычисляются в соответствии с условиями контракта. (Это подразумевает, что условия подписанного контракта не могут пересматриваться, и этот факт является общеизвестным??? - дополнение пришлет В.П.) В дальнейшем мы поясним, что это условие является существенным для анализа игры).

Мы, как обычно, будем предполагать благожелательное поведение работника по отношению к хозяину. Будем предполагать также, что пакеты правильно маркированы: (x#, ) - пакет, который добровольно выбирает работник типа в. Это позволяет описать выбор оптимальных пакетов задачей максимизации ожидаемой прибыли нанимателя при ограничениях двух типов, следующих из предположения о рациональном поведении работников: (1) работнику каждого из типов должно быть выгодно подписать контракт (условия участия), (2) работнику типа в должно быть выгодно выбрать предназначенный для него пакет (условия совместимости стимулов). Условия совместимости стимулов, называют в данном случае также условиями самовыявления, поскольку они фактически требуют, чтобы пакеты были выбраны так, чтобы происходило добровольное выявление типа работника.

Таким образом, следует рассмотреть следующую задачу:

E П = E(x# - ) ^ max

We ,xg

w<9 - C<9(xПоскольку в оптимальном решении некоторые из типов работников могут не подписать контракт, то работников таких типов следует исключить из рассмотрения, дополнив указанную задачу ограничениями неучастия.

Следует провести перебор по подмножествам множества типов работников, разделяя их на тех, кто подписывает контракт, и тех, кто его не подписывает, и выбрать тот вариант, который дает наибольшую ожидаемую прибыль.

Модель найма со скрытой информацией при двух типах работников

Прежде, чем анализировать более общие случаи, проведем анализ простого частного случая, когда встречаются только работники двух типов: в = 1, 2. Вероятность появления работника 1-го типа на рынке труда равна pi, а 2-го - ^2. Будем предполагать, что работник первого типа более способный, т. е. один и тот же объем работ он выполняет с меньшими усилиями и, кроме того, производство дополнительной единицы продукции требует от него меньших издержек:

C2 (x) ^ Ci(x)

и

c'2(x) > ci(x) Vx.

Последнее неравенство означает, что разность d(x) = C2(x) - Ci(x) возрастает по x. Заметим, что для справедливости почти всех приведенных ниже результатов достаточно выполнения этого условия (а не условия на производные этих функций).

Для каждой из категорий работников в ? {1, 2} предназначается своя пара усилия - зарплата, т. е. пакет (x#, w#).

Если бы наниматель мог различать работников, тогда он выбрал бы "идеальные" пакеты (x#,w#), которые рассматривались выше для случая полной информации.

"Идеальные" уровни усилий находились бы из условия максимизации прибыли, соответствующей сделке с работником каждого типа. При этом единственным ограничением для

нанимателя было бы условие участия. В оптимуме это ограничение должно выполняться как равенство: we = вв(xe). Подставим это равенство в функцию прибыли:

x - вв (x) ^ max

жех

Сделанные выше предположения относительно функций издержек гарантируют, что xi ^ . Покажем это. Из того, что xi и x2 являются решениями соответствующих задач, следует, что

xi - ci(xi) ^ x2 - ci(x2)

и

x2 - C2(x2) ^ xi - C2(xi).

Складывая эти неравенства, получаем

C2(xi) - Ci(xi) ^ C2(x2) - Ci(x2),

и

d(xi) ^ d(x2).

Неравенство xi ^ x2 следует из возрастания функции d(x).

Выполнение строгого неравенства можно гарантировать при дифференцируемости функций издержек в предположении, что c2(x) > ei(x) Vx.

Если функции издержек дифференцируемы, то условие первого порядка внутреннего максимума выглядит следующим образом (см. Рис. 15.14):

вв (xe) = 1

Оплата Wi выбирается так, чтобы в точности компенсировать работнику издержки его усилий, т. е.

We = вв (x0).

x2

xi

Рис. 15.14. Идеальная оплата при полной информации

Поскольку наниматель не может отличать тип работников, то требуется, чтобы произошло их самовыявление, то есть, чтобы работник каждого типа выбрал именно тот пакет, который

Сказанное иллюстрирует Рис. 15.14. Оплата Wi работника 1-го типа равна сумме площадей фигур A и B и величины ci(0), а оплата W2 работника 2-го типа - A + C + в2(0).

1 А с2Ы^ 1 1

^ B ^^ 1 1 1 // 1 C 1 ^ A 1

I 1 x

для него предназначен. Таким образом, задача нанимателя имеет следующий вид: EП = E(x# - ) = pi(xi - wi) + p2(x2 - w2) ^ max

W1 ,X1 ,W2 ,X2

wi - Ci(xi) ^ w2 - Ci(x2)

(условие самовыявления работника 1-го типа), w2 - C2(x2) ^ wi - C2(xi)

(условие самовыявления работника 2-го типа), we - се(xe) ^ 0, Vв = 1, 2

(условия участия).

Заметим, что для любых допустимых в этой задаче пакетов (а значит и для оптимальных) выполнены условия монотонности (упорядоченности) усилий и соответствующих уровней оплат. Действительно, сложив два условия самовыявления, получим

C2(xi) - Ci(xi) ^ C2(x2) - Ci(x2),

или

d(xi) ^ d(x2),

откуда при возрастании функции d(x) следует, что xi ^ x2. Из условия самовыявления работника 1-го типа при возрастании функции Ci(x) следует, что

wi - w2 ^ Ci(xi) - Ci(x2) ^ 0,

т. е. wi ^ w2.

Рассматриваемую задачу можно существенно упростить, используя сделанные выше предположения относительно функций издержек.

Покажем, что два из четырех условий выполняются в решении задачи как равенство. Анализ проведем в несколько шагов.

Покажем сначала, что условие участия для работника первого типа является следствием указанных двух условий, т. е. избыточно. Действительно, из условия самовыявления работника 1-го типа и условия участия работника 2-го типа, учитывая, что C2(x) ^ Ci(x) Vx, получим, что выполняется и условие участия для работника первого типа:

wi - Ci (xi) ^ w2 - Ci(x2) ^ w2 - C2(x2) ^ 0.

Далее, условие самовыявления для работника 1-го типа в решении обращается в равенство (для него оба пакета должны оказаться эквивалентными). Действительно, если это не так, то возможно уменьшить величину wi , не нарушая ограничения задачи, что противоречит оптимальности рассматриваемых пакетов. (Ограничение участия для работника 1-го типа не нарушается, коль скоро не нарушается ограничение самовыявления работника 1-го типа, а ограничение участия для работника 2-го типа остается без изменений.)

Наконец, условие участия для работника второго типа в решении обращается в равенство. Действительно, если это не так, то оба условия участия выполняются как строгие неравенства. Но тогда можно уменьшить оплату работников обоих типов на одну и ту же величину, не нарушив эти условия. При этом по прежнему выполняются ограничения самовыявления, а прибыль нанимателя увеличивается (на величину уменьшения оплаты), что противоречит предположению об оптимальности пакетов.

Мы показали, что в оптимальном решении wi,w2,xi,x2 выполнены равенства

wi - Ci(xi) = w2 - Ci(x2)

w2 - C2(x2) = 0,

откуда w2 = C2(x2) , wi = Ci(xi) + C2(x2) - Ci(x2) ,

Подставляя эти значения в ограничение участия для работника второго типа, получим

C2(x2) - C2(x2) ^ C2(x2) - Ci^) + Ci(xi) - C2(xi),

или

d(xi) ^ d(x2).

Выполнение последнего неравенства гарантируют предположения относительно функций издержек (d(x) - возрастающая функция) и установленное выше соотношение xi ^ x2. Таким образом, в оптимальном решении задачи выполнение условия участия работников 2-го типа является следствием двух полученных выше равенств.

Подставив wi и w2 в целевую функцию задачи, получим следующую задачу для выбора xi и x2:

Pi (xi - C2(x2) + Ci(x2) - Ci(xi)) + P2(x2 - C2(x2)) ^ max

xi ^ x2.

Сначала мы найдем решение соответствующей задачи безусловной оптимизации (не учитывая ограничения xi ^ x2), а затем покажем, что это ограничение выполняется в полученном решении, и поэтому несущественно.

Поскольку pi > 0 и p2 > 0, то без ограничения монотонности уровней усилий, xi ^ x2, задача, фактически, распадается на две задачи, одна - для выбора xi, другая - для выбора

x2

xi - ci(xi) ^ max . x2 - C2(x2) - - (C2(x2) - Ci(x2)) ^ max .

P2 X2€X

Первая задача имеет тот же вид, что и задача определения оптимального уровня усилий (xi) в условиях, когда типы работников наблюдаемы. Следовательно, множества решений этих двух задач совпадают. Для 2-го типа задача отличается от задачи поиска x2 тем, что к функции издержек добавляется неотрицательная возрастающая функция ^(C2(x2) - Ci(x2)). Поэтому решения двух задач, вообще говоря, различны, причем если x2 и x2 - решения этих задач, то x2 ^ x2. Действительно, по определению x2

x&2 - C2(x2) ^ x2 - C2(x2),

а по определению x2

x2 - C2(x2) - - (C2(x2) - Ci(x2)) ^ x2 - C2(x2) - - (C2(x2) - Ci(x2)).

P2 P2

Сложив эти неравенства, получим

C2(x2) - Ci(x2) ^ C2(x2) - Ci(x2)

или

d(x2) ^ d(x2),

откуда следует требуемое неравенство.

Таким образом, если xi, x2, x2 - решения соответствующих задач, то имеет место неравенство xi ^ x2 ^ x2. Таким образом, ограничение xi ^ x2 выполняется для любого решения задачи и поэтому несущественно.

Заметим, что при дифференцируемости функций для любой пары внутренних оптимальных пакетов выполнено строгое неравенство xi > x2 при условии, что c2(x) > ci(x) Vx. Мы покажем это ниже.

Условия первого порядка для внутренних решений xi,x2 при дифференцируемости функций издержек имеют вид:

ci(xi) = 1, c2(x2) = 1 - - [c2(x2) - ci(x2)].

Поскольку c2(x) > ci(x), то c2(x2) < 1. Это означает, что x2 = x2, где x2 - оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Поскольку x2 ^ x2, то это означает, что усилия, осуществляемые работником 2-го типа, неоптимально низки (x2 < x2).

Поскольку xi - оптимальный уровень усилий для работника 1-го типа, то xi > x2, где если x2 - оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Получаем цепочку неравенств

xi > x2 > x2.

Строгая выпуклость функций издержек (?) гарантирует единственность решений задач определения оптимальных уровней усилий xi и x2 в ситуации симметричной информированности и достаточность условий первого порядка. То же самое справедливо и для задачи определения величины оптимального уровня усилий xi для случая асимметричной информированности. Аналогичные свойства задачи определения уровня усилий x2 можно гарантировать лишь при дополнительных условиях, например, при выпуклости функции C2(x) - ci(x)( монотонности функции c2(x) - ci(x)) . При этом

xi = xi > x2 > x2.

Таким образом, для работника 2-го типа приходится планировать меньшую величину усилий, чтобы понизить оплату работника 1-го типа.

Рис. 15.15 иллюстрирует сделанные нами выводы.

Рис. 15.15.

Поскольку, как мы предполагаем, решение внутреннее, то C2(x2) > ci(x2), откуда

Wi - Ci(xi) = W2 - Ci(x2) > W2 - C2(x2) = 0

Таким образом, работник 2-го типа при этом всегда получает лишь резервную полезность (его излишек равен нулю), а первый - несколько больше своей резервной полезности. То есть наличие на рынке менее производительных работников и невозможность их отличить приводит к тому, что более производительный работник при условии, что выгодно нанимать менее производительных работников, получает так называемую информационную ренту.

Проиллюстрируем это графически (Рис. 15.16). На рисунке OA - прибыль от контракта с работником 2-го типа, OB - прибыль от идеального контракта с работником 2-го типа, OC - прибыль от контракта с работником 1-го типа, OD - прибыль от идеального контракта с работником 1-го типа.

Заштрихованная область соответствует пакетам (x2,W2), обеспечивающим Парето-улуч- шение. Пакеты в этой области не могут быть реализованы из-за необходимости обеспечить выполнение условия самовыявления для работников 1-го типа. 1 \ С2(ж)/ // Wi U>1 // W2 ЛЛ 1

1 ^^J^X 1 W2 /\ ci(x) х O / ?2 . ' / \ ' . Ж2 / \ Xi=Xi A B // ci(xi)+C2(X2)-ci(?2) C D Рис. 15.16.

Пример 81:

Для функций издержек

ci(x) = 0,5ж2, с2(ж) = ж2, и множества возможных усилий X = R+ решая задачу

р1(ж1 - х2 + 0,5^2 - 0,5^2) + р2(ж2 - ж2) ^ max.

получим

1

Ж1 = 1, Ж2 =

2 + Pi/Р2' При этом уровни оплаты будут равны:

Wi = 0,5x2 + 0,5x1 = - ^-т^ + 0,5,

2(2 + pi/p2 )2

21

w2 = ж2

(2 + P1/P2)2'

Работник второго типа будет производить меньше эффективного уровня ?2 = 0,5. Совпадение возможно только если P1 = 0, P2 = 1.

Информационная рента работника 1-го типа равна

21

W1 - 0,5Xi = - ; ттг > 0.

1 , 1 2(2 + P1/P2 )2 Д

Проделанный анализ характеризует оптимальные с точки зрения нанимателя условия найма работников обоих типов. Как было указано выше, это решение следует сравнить с решением, полученным при условии, что нанимаются только работники первого типа. Напоминаем, что, как и прежде, мы предполагаем, что если два варианта поведения приносят работнику одинаковую полезность, то он выбирает поведение, выгодное нанимателю. Поэтому условия неучастия запишем в виде нестрогого неравенства. Выбор оптимального пакета для случая, когда нанимаются только работники 1-го типа, характеризуется следующей задачей:

x - w ^ max

w,®

w - ci(x) ^ 0

(условие участия работника 1-го типа), w - C2(x) ^ 0

(условие неучастия работника 2-го типа).

Для решения (x, w) этой задачи выполнено w = Ci(x), т. е. ограничение участия работника 1-го типа выходит на равенство. При этом ограничение неучастия работника 2-го типа является несущественным, поскольку Ci(x) ^ C2(x). Таким образом, задача совпадает с задачей выбора оптимального пакета (xi,wi) для работника 1-го типа в условиях полной информации.

В этом простом случае, разрабатывая стратегию найма, наниматель сравнивает минимальное значение ожидаемой информационной ренты с максимальным значением ожидаемого дохода от занятости работника второго типа. В случае, когда первая величина превышает вторую, предлагаются пакеты для работников обоих типов. В случае, когда доход от занятости работников второго типа относительно низкий, предлагается только один пакет (xi,wi).

Модель найма со скрытой информацией при конечном количестве типов работников. Цепное правило

Пусть теперь на рынке труда присутствуют n различных типов работников, т. е. В =

{1,...,n}.

Предположим, относительно функций издержек что

се(x) ^ C^(x) (Vx ? X) ^ в ^ и разности се (x) - C^(x) возрастают по x при в > ^.

Рис. 15.17. ?? Нет подписи и ссылки

Напомним, что составление оптимального контракта сводится к решению следующей зада-

чи

Y] Ре (xe - we) ^ max

we - се (xe) ^ w^ - се (x^), Vв,^ ? В, (b)

we - се(xe) ^ 0, Vв ? В.

Если указанные условия упорядоченности издержек выполнены, то можно доказать важный результат: цепное правило. Он состоит в том, что можно заменить задачу (У) эквивалентной задачей:

У) Ре (xe - we) ^ max

we,xe

we - се (xe) = we+i - се (xe+i), Vв < n, (O)

w" - c"(x") = 0, xe ^ xe+i, Vв < n.

Это означает, что наниматель выберет контракт, обладающий следующими свойствами:

Чем большей производительностью отличается работник, тем большие он осуществляет усилия (условие упорядоченности уровней усилий xe).

Не требуется следить, чтобы работник типа в (в < n) не выбирал пакет, предназначенный для работника типа в + k при k > 1, достаточно гарантировать, чтобы это было выполнено для k = 1. Ограничение участия достаточно обеспечить для работника типа в = n.

При максимизации прибыли указанные ограничения следует вывести на равенство. А именно, работник типа в (в < n) должен быть безразличен при выборе между пакетом (we, xe) и пакетом (we+i, xe+i), а работник типа в = n должен быть безразличен при решении о подписании контракта.

В следующей теореме мы последовательно покажем, что оптимальные пакеты характеризуются этими свойствами, и, тем самым, покажем эквивалентность двух задач.

Теорема 149:

Если выполнено условие упорядоченности издержек, то задача ( ) эквивалентна задаче

(O). J

Доказательство: 1) Пусть пакеты {we,xe} удовлетворяют ограничениям задачи (У). Покажем, что уровни усилий упорядочены.

Рассмотрим два произвольных типа в, ^ ? В, таких что в > ^. Для этих типов выполнены условия самовыявления:

we - се (xe) ^ w^ - се (x^), we - c^(xe).

Сложив два неравенства, получим

се (x^)

) ^ се (xe)

(xe).

Поскольку се(x) - C^(x) возрастает, то отсюда следует, что x^ ^ xe.

2) Докажем, что если для работника любого типа в < n пакет (we, xe) не хуже, чем пакет (we+i, xe+i), то, как следствие, для работника любого типа в < n пакет (we, xe) не хуже, чем любой пакет (we+fc, xe+fc), k ^ 1 (k ^ n - в).

Докажем это утверждение по индукции. При k = 1 оно верно по предположению. Предположим теперь, что оно верно для некоторого фиксированного k и покажем, что оно также верно и для k + 1. Поскольку

we - се (xe) ^ we+fc - се (xe+fc),

и

we+fc - се+fc(xe+fc) ^ we+fc+i - Ce+fc(xe+fc+i),

откуда

we - се (xe) ^ we+fc+i - се (xe+fc) + се+fc (xe+fc) - се+fc (xe+fc+i).

Поскольку, как мы только что доказали, xe+fc ^ xe+fc+i, а функция се+fc(x) - се(x) возрастает, то

се+fc (xe+fc) - се (xe+fc) ^ Ce+fc (xe+fc+i) - се (xe+fc+i),

и, следовательно,

we - се (xe) ^ we+fc+i - се (xe+fc+i)

Мы показали, что часть ограничений самовыявления избыточна. Покажем теперь, что из ограничения самовыявления для в и в + 1 и ограничения участия для в = n следуют ограничения участия для в < n, поэтому они также избыточны. Действительно, из

we - се (xe) ^ we+i - се (xe+i),

и

we+i - ce+i(xe+i) ^ 0, при выполнении предположения об упорядоченности издержек следует

we - се (xe) ^ 0.

3) В решении задачи ( ) строгое неравенство

we - се (xe) > we+i - се (xe+i), Vв < n,

невозможно. Если бы выполнялось такое неравенство, то, как следует из только что доказанного, мы могли бы уменьшить все w^, р ^ в, на величину соответствующей невязки, не нарушая ни одного ограничения задачи (все ограничения, которые могли бы быть нарушены при таком сдвиге, являются избыточными, то есть выполняются автоматически). Но тем самым, мы увеличили бы прибыль, что невозможно. Аналогично, если бы

> 0,

то возможно было бы уменьшить wn до C"(xra), не нарушая ни одного ограничения задачи.

Таким образом, оптимальное решение задачи ( ) удовлетворяет всем ограничениям задачи (O).

4) Для доказательства теоремы осталось показать, что если пакеты {we, xe} удовлетворяет ограничениям задачи (О), то они удовлетворяют всем ограничениям задачи (У).

Достаточно проверить ограничения самовыявления для в, р при в > р и ограничение участия для n, поскольку, как мы уже показали, остальные ограничения избыточны. Ограничение участия для работника типа n в задаче ( ) выполнено.

Докажем выполнение указанных ограничений самовыявления по индукции. Зафиксируем в . При в = р ограничение выполнено. Пусть оно выполнено при некотором заданном р ( в > р)). Докажем, что оно выполнено и при р - 1.

Из предположения индукции

W - Cfl (же) ^ - Cfl(ж^)

и ограничения задачи ( )

1 (ж^_1) - С^-1(Ж^)

следует, что

аде - се (же) ^ 1) + С^-1(ж^) - Се (ж^).

Поскольку из ограничения задачи (О) ж^_1 ^ ж^, а функция се (ж) - с^_1(ж) возрастает, то

се (ж^_ 1)

1) ^ се (ж^)

откуда

аде - се (же) ^ ад^_1 - се (ж^_1). ?

Данная теорема (цепное правило) позволяет получить ряд свойств системы оптимальных пакетов. В частности, из ограничений задачи (О)

аде - се (же) - аде+1 - се (же+1)

и монотонности усилий

же ^ же+1.

следует, что аде ^ аде+1, то есть плата монотонна (не убывает по типу).

Напомним, что излишек, получаемый работником, называют информационной рентой. Для работника типа в она равна

аде - се (же) (^ 0). Эта рента не возрастает по в, поскольку

аде - се (же) - аде+1 - се (же+1) ^ аде+1 - се+1(же+1).

Если для какого-то из типов информационная рента положительна, то для всех предыдущих типов она тоже положительна. Для работника n-го типа информационная рента равна нулю. Рента нужна, чтобы работник не стал "притворяться", что его тип более высокий, чем на самом деле (в обратную сторону претворяться не имеет смысла). Можем выразить (аде} через {же} следующим образом:

wn - ^(Wra^

wn_1 - wn сга_1(жга) + сп_1(жп_1) - сга(жга) сга_1(жга) + сп_1 ^п^^

и т. д. Получим зависимость аде - W(же,..., жп). Общая формула имеет следующий вид

п

аде (же, ...,жп)- (с*= (ж&) - )) + се (же).

к=е+1

Таким образом, задача (О) сводится к следующей:

Y^ Ре (же - аде (же,..., жп)) ^ max

ее© Хв

же ^ же+1, Ув < n.

Объединяя слагаемые, являющиеся функциями от xe, получим эквивалентную запись этой задачи:

(xe - ce(xe)) - M0_i(c0(xe) - c^-i(x0))] ^ max ее© Хв

xe ^ xe+1, W < n.

где мы ввели обозначение

Me = pi + + pe.

Поскольку целевая функция задачи сепарабельна по {xe}, то в ситуации, когда ограничения монотонности усилий по типу xe ^ xe+i несущественны, ее решение распадается на n независимых друг от друга задач:

x - ce(x) - Me-i (ce(x) - ce-1(x)) ^ max.

pe xex

Как мы видели, для случая 2 типов решения соответствующих задач xi,x2 всегда удовлетворяют условию xi ^ x2, однако в общем случае такого распадения задачи может не быть. Следующий пример показывает, что в случае 3 типов работников ограничение xe ^ xe+i может стать активным.

Пример 82:

Пусть на рынке труда, в дополнение к 2 типам работников, рассмотренным в Примере 81, с функциями издержек

ci(x) = 0,5x2, c2(x) = x2, имеются также работники 3-го типа с функцией издержек

c3(x) = 1,5x2.

Решение задачи

x - c3(x) - Pi + Р2 (c3(x) - c2(x)) ^ max Р3

имеет вид:

1

x3 =

3 + (pi + P2)/P3~

Если доля работников 2-го типа, p2, мала, то решение аналогичной задачи для работника 2-го

типа может оказаться ниже:

11

<

2 + pi/p2 3 + (pi + Р2)/Р3

то есть разделяющий контракт не будет оптимальным. Это происходит при p2 < pip3. Например, при pi = 3/8, p2 = 1/8, p3 = 1/2 получим x2 = 1/5 и x3 = 1/4.

Чтобы получить уровни усилий, которые определяют оптимальный контракт в этом случае, следует решить задачу

Р2 (x - C2(x)) - Pi (С2 (x) - Ci(x)) +

или

x2

(p2 + p3)x - (2 + p2 + p3^ ^ max

+ P3(x - C3(x)) - (pi + P2)(c3(x) - C2(x)) ^ max

откуда получаем следующие параметры объединяющего контракта:

+ Рз

ж2 - жз -

2 + Р2 + Рз'

2

Г- \ л г. Р2 + Рз W2 - W3 - сз(жз) - 1,5 1

2 + Р2 + Рз /

2

Как и в Примере 81 ж1 - 1, однако оплата будет другая:

W1 - W2 + с1(ж1) - с1(ж2) - 0,5 + ' Р2 + Рз

2 + ^2 + Рз При - 3/8, р2 - 1/8, рз - 1/2 получим ж2 - жз - 5/21.

Записав для полной задачи, включающей ограничение ж2 ^ жз, функцию Лагранжа и приравняв к нулю ее производные в найденном решении, можно убедится, что множитель Лагранжа для данного ограничения равен

- Р2

2 + ^2 + Рз

Таким образом, ограничение активно при ^2 < . А

Рис. 15.18. Пакеты, соответствующие объединяющему контракту для 3 типов работников

Оптимальные контракты можно разделить на два класса:

Разделяющие контракты: же > же+1 Ув - все типы себя выявляют.

Объединяющие контракты: Зв: же - же+1, W - аде+1 - существуют кластеры (эффект группирования типов (bunching)). Работники нескольких разных типов делают одинаковые усилия и получают одинаковую зарплату. Таким образом, рассмотренный пример описывает случай группирования второго и третьего типа, т. е. случай (частично) объединяющего контракта.

При дополнительных предположениях о поведении функций издержек в зависимости от типа и усилий работника, а также формы функции распределения типов можно гарантировать, что оптимальный контракт является разделяющим.

Обозначим, как и выше,

^е (ж) - се+1(ж) - се (ж).

Мы предположили, что ^е(ж) - возрастающие функции. Предположим дополнительно, что ^е+1(ж) - ^е(ж) - тоже возрастающие функции.

В этом случае задача (О) эквивалентна следующей (получаемой из нее удалением ограничений монотонности усилий xe ^ xe+i):

У) pe (xe - we) ^ max

el© we'xe

we - ce (xe) = we+i - ce (xe+i), Ve < n, (I)

w" - c"(x") = 0.

Таким образом, в этом случае задача составления оптимальных пакетов сводится к решению последовательности n независимых задач. Теорема 150:

Предположим, что de(x) и de+i(x) - de(x) возрастают по x Ve и возрастает по в.

Тогда задачи (И) и (О) эквивалентны. J

Доказательство: Для доказательства утверждения достаточно показать, что решения {xe} задач

ne(x) = x - ce(x) -de-i(x) ^ max.

pe xex

удовлетворяют опущенным ограничениям (монотонности).

Поскольку xe максимизирует ne (x), а xe+i максимизирует n+i(x), то выполняются неравенства

П (xe) ^ ne (xe+i)

и

n+i(xe+i) ^ ne+i(xe).

Сложив эти неравенства, после преобразований получим:

Me-i [de (xe) - de-i(xe)] + (1 + -- - Me-i ) de (xe) ^

pe \ pe+i pe J

Me-i [de (xe+i) - de-i(xe+i)] + ( 1 + - ) de (xe+i).

pe \ pe+i pe J

M

Поскольку в предположениях теоремы функция

Me i [de(x) - de-i(x)] + ( 1 + - Me i ) de(x) pe \ pe+i pe J

является возрастающей, то xe ^ xe+i. И

Если к сделанным предположением добавить предположение о дифференцируемости функций, то можно доказать, что xe > xe+i для внутренних решений. По условиям первого порядка

Me_ i

ne (xe) = 1 - ce (xe) de-i(xe) = 0.

pe

Me

ne+i(xe+i) = 1 - ce+i(xe+i) de (xe+i) = 0.

pe+i

Пусть xe = xe+i = x. Тогда

ne+i(x)-ne (x) = ce+i(x)-ce (x) + P^ de (x) - ^ de-i(x) = 0

pe+i pe

или

/ Me Me-Л , ,

1 + ;- de(x) + -- (de(x) - de-i(x)) = 0.

\ pe+i pe J pe

Поскольку > M^-1, de(x) > 0, и de(x) - de-i(x) ^ 0, то левая часть положительна.

Получили противоречие, т. е. xe = xe+i.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 15.3.1 Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов:

  1. Оглавление
  2. Классические (совершенные) рынки. Общее равновесие
  3. 12.2 Модели рынка с асимметричной информацией
  4. Модели найма
  5. 15.1 Модель с полной информацией
  6. 15.2.3 Задачи
  7. 15.3 Модель найма со скрытой информацией
  8. 15.3.1 Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов
  9. 15.3.2 Модель найма с асимметричной информацией при монопольном положении нанимателя: общий случай
  10. 15.3.3 Задачи
  11. 15.4 Модель найма со скрытой информацией: конкуренция среди нанимателей
  12. 15.4.1 Задачи
  13. 2.ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ И НАУЧНЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  14. 1.3. Изъяны рынка и перераспределение