<<
>>

16.7.1 Сотрудничество в повторяющихся играх

Ситуации, аналогичные той, которая описана в игре Ауманна, являются примерами фиаско координации. Одно из объяснений этого фиаско состоит в том, что в игре Ауманна игроки только один раз должны сделать выбор.

В ситуациях, когда игра повторяется и игроки, играя в игру, "помнят" всю все принятые ими ранее решения (предысторию игры), между ними вполне может возникнуть сотрудничество.

Чтобы проанализировать эту догадку формально, введем понятие повторяющейся игры. Под повторяющейся игрой понимают такую динамическую игру, которая является последовательным повторением некоторой исходной игры (неважно, статической или динамической). Чтобы получить дерево дважды повторяющейся игры, следует к каждой конечной вершине исходной игры "прикрепить" дерево исходной игры. Рис. 16.29 показывает как это сделать на примере игры Ауманна. 1-й

Рис. 16.29. Дважды повторяющаяся игра Ауманна

(!§§)(.§?) (10') (0 (О

Аналогично, чтобы получить дерево n раз повторяющейся игры, следует к каждой конечной вершине n - 1 раз повторяющейся игры "прикрепить" дерево исходной игры. Конечно, для описания повторяющейся игры не обязательно задавать все дерево игры, достаточно указать исходную игру и сколько раз она повторяется. В отличие от обычных игр, в повторяющихся играх принято сопоставлять выигрыши не только конечным вершинам, но и тем промежуточным, которые соответствуют конечным вершинам исходной игры. Общий выигрыш рассчитывается суммированием выигрышей в вершинах, лежащих на траектории игры. Таким образом, если Mij- - выигрыш, полученный i-м игроком в результате j -го повторения игры (на j -м "раунде"), то общий выигрыш в n раз повторяющейся игре составит

n

Часто в повторяющихся играх выигрыши дисконтируют, что отражает тот факт, что игроки больше предпочитают получить выигрыш сейчас, а не в будущем. Другими словами, пусть е (0,1) - дисконтирующий множитель i-го игрока для j -го раунда.

Тогда общий выигрыш рассчитывается по формуле

n

Будем считать в дальнейшем, что = ^, т. е. дисконтирующий множитель не зависит от раунда.

Как нетрудно заметить, повторяющиеся игры являются разновидностью игр с почти совершенной информацией, поэтому совершенное в подыграх равновесие в них можно находить обратной индукцией.

Проанализируем повторяющуюся игру Ауманна. Используя обратную индукцию, рассмотрим последний раунд игры. Заметим, что все, что происходило в предыдущих раундах, влияет только на выигрыши, но не на множества стратегий. Однако влияние на выигрыши сводится только к тому, что ко всем выигрышам данного раунда добавляется одна и та же константа, определяемая предысторией игры. Таким образом, при анализе можно не принимать во внимание выигрыши предыдущих раундов. Тем самым, все сводится к анализу однократно повторенной игры Ауманна, равновесие которой нам известно: каждый игрок попросит 1 доллар себе.

Далее рассмотрим игры предпоследнего раунда, которые становятся играми последнего раунда в редуцированной игре. "Свертывание" последнего раунда добавляет к выигрышам предпоследнего раунда одну и ту же константу (в нашем случае это 1 для обоих игроков). Предыстория игры тоже влияет только тем, что добавляет константу к выигрышам. Таким образом, опять с точностью до константы получаем исходную игру. Продолжая редуцировать игру, мы на всех раундах получим одно и то же решение, совпадающее с равновесием исходной игры. Таким образом, равновесная траектория будет представлять собой n раз повторенное равновесие обычной игры Ауманна. Догадка о возникновении сотрудничества в повторяющейся игре в данном случае не подтверждается.

Можно сформулировать общую теорему для повторяющихся игр.

Теорема 160:

Пусть в игре G с совершенной информацией (и конечным числом ходов) существует единственное совершенное в подыграх равновесие. Тогда в повторенной n раз игре G, Gn, существует единственное совершенное в подыграх равновесие, причем равновесные стратегии в игре Gn являются повторениями равновесных стратегий в игре G. J

Мы не будем приводить формальное доказательство. Оно очевидным образом конструируется по схеме, которую мы применили, анализируя повторяющуюся игру Ауманна.

То, что гипотеза о возникновении сотрудничества не подтверждается может быть связано с тем, что игроки знают, что игра закончится на n-м ходу.

И в самом деле, если бы игра Ауманна в повторялась бесконечное число раз, то сотрудничество между игроками могло бы иметь место.

Мы ранее не вводили в рассмотрение бесконечные игры, однако их основные элементы можно определить по аналогии с конечными играми. Выигрыш в бесконечно повторяющейся игре рассчитывается по формуле j-1

u

j o

Е№) j=1

В отличие от игры с конечным числом повторений, в бесконечно повторяющейся игре Ауманна возможно возникновение сотрудничества. Рассмотрим стратегии следующего вида:

Сотрудничать, если на предыдущих ходах другой игрок сотрудничал (в том числе, в первом раунде

тоже сотрудничать).

Не сотрудничать, если хотя бы на одном из предыдущих раундов другой игрок взял 1 доллар себе. Такую стратегию называют триггерной.

Если дисконтирующие множители ^1,^2 достаточно высоки, то такие стратегии будут составлять совершенное в подыграх равновесие.

Рассмотрим, при каких условиях игроку выгодно придерживаться триггерной стратегии, если его партнер также ее придерживается.

Поскольку после того, как игрок взял 1 доллар себе, его партнер во всей дальнейшей игре будет поступать таким же образом, то отказавшемуся от сотрудничества игроку будет выгодно брать 1 доллар себе во всей дальнейшей игре. Таким образом, если отказ от сотрудничества произойдет в k-м раунде, то игрок не может получить больше, чем

k-1

j-1 o ioo + №)fc-1 o 101 + ]Т №)j-1 o 1. j=1 j=fc+1

Если же не один из игроков не будет отклонятся от триггерной стратегии, то их выигрыши составят

j-1 o ioo.

j=1

Таким образом, чтобы отклоняться было не выгодно, должно быть выполнено неравенство

^ k-1 ^

j-1 o ioo > j-1 o ioo + №)k-1 o ioi + ? j-1 o i

j=1 j = 1 j = k + 1

или

^ QQf -|

V № j-1 o 99 > (0,)k-1 o i ^ l- > i ^ 990, > i - ^ > -.

z-' i - o, ioo

j=k+1 '

Таким образом, если дисконтирующие множители малы, то будущие выигрыши имеют малое значение для игроков и им будет выгодно отклонится от триггерных стратегий. Если же дисконтирующие множители достаточно велики, то триггерные стратегии будут составлять равновесие, в котором будет иметь место сотрудничество.

Следует отметить, однако, что рассмотренное равновесие будет не единственным совершенным в подыграх равновесием в бесконечно повторяющейся игре Ауманна. На самом деле в бесконечно повторяющихся играх практически всегда равновесий бесконечно много. В частности, стратегии, согласно которым независимо от предыстории игроки всегда берут 1 доллар себе, тоже составляют равновесие.

Существует теорема (в англоязычной литературе она известна под названием Folk Theorem, что на русский можно перевести как "Народная теорема"), утверждающая, что в бесконечно повторяющейся конечной статической игре с полной информацией любой "разумный" вектор выигрышей может возникнуть в некотором совершенном в подыграх равновесии, если дисконтирующие множители достаточно близки к единице. Под разумным вектором выигрышей мы понимаем такой вектор выигрышей, который является выпуклой комбинацией выигрышей исходной игры (с точностью до множителей 1 - Jj, необходимых для того, чтобы сделать выигрыши сопоставимыми), и кроме того, в нем каждый элемент должен быть не меньше некоторой пороговой величины. В разных вариантах теоремы пороговая величина разная: это либо выигрыш в каком-либо равновесии Нэша исходной игры, либо минимаксный выигрыш .

Эту теорему можно интерпретировать как утверждение о том, что в бесконечно повторяющейся игре "почти все возможно". Кроме того, из теоремы можно сделать вывод, что в бесконечно повторяющейся игре совершенных в подыграх равновесий бывает, как правило, "слишком много". Понятно, что это снижает ценность полученного выше результата о возникновении сотрудничества в игре Ауманна.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 16.7.1 Сотрудничество в повторяющихся играх:

  1. Оглавление
  2. 14.4.3 Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)
  3. 16.7.1 Сотрудничество в повторяющихся играх
  4. 16.7.2 Игры торга
  5. Предметный указатель
  6. СОДЕРЖАНИЕ
  7. 5. Линамические байесовские игры. Совершенное байесовское равновесие
  8. Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)
  9. Использованная литература
  10. Введение