<<
>>

16.7.2 Игры торга

Теперь мы рассмотрим важный класс игр, моделирующих достижение соглашений между экономическими субъектами, - так называемые игры торга. В таких играх в условиях полной информации решения всегда Парето-оптимальны.

Игра 15.

"Торг"

Два игрока (A и B) делят между собой некоторую сумму денег (или любое бесконечно делимое благо). Будем считать, что общее количество равно 1. Дележ можно задать долей, x е [0,1], достающейся игроку A. Если игрок A получает x, то игрок B, соответственно, получает 1 - x. Торг происходит в несколько раундов. На каждом раунде один из игроков предлагает дележ Xj, где j - номер раунда. Другой игрок может либо отклонить, либо принять этот дележ. Если дележ принимается, то торг заканчивается и игроки получают свои доли (xj, 1 - Xj). Если дележ отклоняется, то настает очередь другого игрока предложить свой дележ. Игрок A предлагает дележ в раундах с нечетными номерами, а игрок B - в раундах с четными номерами. Если за n раундов игроки не договорятся, то игра заканчивается и каждый игрок получает 0 .

Предполагается, что игроки предпочитают получить деньги как можно раньше, поэтому полученная сумма денег умножается на дисконтирующий множитель, то есть если игроки договорятся на j -м раунде, то их выигрыши составят Jj 1xj- и Jj 1(1 - xj) соответственно, где Ja, Jb е (0,1) - дисконтирующие множители. <

Рассмотрим эту игру при n = 3. На Рис. 16.30 показано дерево игры.

x1 1-x1

JB (1-x3)

Игрок A Игрок B Игрок B

Игрок A Игрок A Игрок B 2)

f JAX2 I Jb (1-X2)

Проанализируем эту игру, используя обратную индукцию. В последнем раунде игрок B заведомо примет предложение игрока A, если JB (1 - x3) > 0, т. е. если x3 < 1. Если x3 = 1, то игроку B все равно, принять или отклонить предложение. Игроку A выгодно назвать x3 как можно большим. Значит, в равновесной стратегии не может быть x3 < 1 , ведь игрок A тогда мог бы немного увеличить x3 , не изменив выбора игрока B , и увеличил бы при этом свой выигрыш.

Таким образом, в равновесии x3 = 1. Чтобы при этом действительно было равновесие, игрок B должен в своей стратегии быть "благожелательным" по отношению к A, то есть принять его предложение; в противном случае игрок A мог бы предложить x3 меньше 1 и увеличить при этом свой выигрыш.

Анализ 3-го раунда показывает, что игрок A должен будет предложить x3 = 1 , а игрок B должен будет принять этот де-

леж. Мы можем теперь "свернуть" игру, заменив 3-й раунд на конечный узел с выигрышами OA и 0.

Во 2-м раунде игрок A выбирает между OA (если отклоняет предложение) и OAx (если принимает). Таким образом, если Х2 > OA , то он примет предложенный дележ, а если x < OA , то отклонит. При Х2 = OA игроку A все равно, какой выбор сделать. Игрок B предпочтет получить выигрыш OB (i - x2), а не 0, поэтому он не станет предлагать x < OA .С другой стороны любой дележ Х2 > OA не является равновесным, поскольку игрок B в этом случае может уменьшить x, не меняя выбора игрока A, и, тем самым, увеличить свой выигрыш. Таким образом, в равновесии x = OA .

Чтобы этот выбор был равновесным, требуется, чтобы в равновесии игрок A принял дележ x = OA ,

40

несмотря на то, что отказ от этого дележа должен принести ему такой же выигрыш .

Остается торг, состоящий из одного раунда, в котором игроки получат OA и OB(i - OA) , если не придут к соглашению (см. Рис. 16.31). Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что уже в первом раунде игроки придут к соглашению: игрок B примет дележ x = i - OB (i - OA) , предложенный игроком A. Выигрыши при этом составят i - OB (i - OA) и OB (i - OA) .

О торге в условиях полной информации можно сделать два замечания:

Торг заканчивается на первом раунде.

Равновесный исход Парето-оптимален.

Рис. 16.32 показывает графический способ нахождения равновесия в игре "Торг" при n = 3. На этом графике видно, как изменяется граница Парето от раунда к раунду, сжимаясь в сторону начала координат из-за дисконтирования. Процесс нахождения решения изображен толстой кривой, выходящей из начала координат.

Рис.

16.32. ??

Задачи

^ 710. Постройте по своему имени и фамилии игру, как это описано в задаче 682 на с. 645. Найдите в этой игре границу Парето. Есть ли среди равновесий Нэша Парето-оптимальные?

^ 711. Объясните, почему в антагонистической игре (игре, в которой сумма выигрышей игроков - постоянная величина) любой исход является Парето-оптимальным.

^ 712. Объясните, в чем состоит аналогия между аукционом, в котором игрок платит названную им цену, и игрой Ауманна (дилеммой заключенных). Представьте аукцион с двумя участниками как игру и сравните множество равновесий Нэша с границей Парето.

^ 713. Рассчитайте общие выигрыши (в каждой из конечных вершин) в повторяющейся дважды игре Ауманна, изображенной на Рис. 16.29, считая, что дисконтирующие множители обоих игроков равны 1/2.

^ 714. При каких значениях дисконтирующих множителей пара стратегий следующего вида будет совершенным в подыграх равновесием в повторяющейся игре Ауманна: "В первом раунде сотрудничать. В остальных раундах поступать так же, как другой игрок в предыдущем раунде"? ^ 715. Найдите совершенное в подыграх равновесие в бесконечно продолжающемся торге. Решение может опираться на тот факт, что через каждые два раунда подыгра, начинающаяся с текущей вершины, повторяет исходную игру с точностью до дисконтирования. Таким образом, естественно искать стационарное равновесие. Найдите такое равновесие и покажите, что оно является совершенным в подыграх равновесием. Будет ли это равновесие оптимальным по Парето?

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 16.7.2 Игры торга:

  1. Оглавление
  2. 12.1.1 Формулировка теоремы Майерсона-Саттертуэйта
  3. Приложение 12.A Доказательство теоремы Майерсона-Саттертуэйта
  4. 16.7.2 Игры торга
  5. СОДЕРЖАНИЕ
  6. 5. Линамические байесовские игры. Совершенное байесовское равновесие
  7. 2.5. Повторяющиеся игры
  8. 6.4. Приложения кооперативных игр
  9. «ИГРА НА ПРОЦЕНТАХ»
  10. ИГРЫ С СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
  11. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ТОРГ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
  12. ПРИМЕРЫ
  13. 3. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЦИИ
  14. Торговые посредники, биржи, аукционы и международные торги
  15. Глава 7 Сфальсифицированная игра
  16. Как я начал играть на бирже
  17. 1.5. Психология игры
  18. 4.1. Компьютеры в игре
  19. Валютная система Российской Федерации