<<
>>

17.1 Вогнутые и квазивогнутые функции

Будем предполагать, что X - подмножество Rn. Определение 97:

Функция f (?): X ^ R называется вогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X и a G [0, i] выполнено

f (ax + (i - a)y) > af (x) + (i - a)f (y).

Функция f(?) называется выпуклой, если -f(?) вогнута.

Определение 98:

Функция f (?): X ^ R называется строго вогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X, таких что x = y и a G (0, i) выполнено

f (ax + (i - a)y) > af (x) + (i - a)f (y).

Функция f(?) называется строго выпуклой, если -f (?) строго вогнута.

Заметим, что строго вогнутая функция является вогнутой. Линейная функция pт x является примером вогнутой, но не строго вогнутой функции.

Теорема 161:

Функция f (?): X ^ R является вогнутой тогда и только тогда, когда X выпукло и для всех x1,..., xk G X и a1,..., afc ^ 0, таких что $^=1 aj = i, выполнено

/к \ k f Y axA ^ Y af (x).

vj=1 J j=1 J

Данное свойство (как и определение вогнутой функции) является частным случаем неравенства Йен- сена: f (E x) ^ E f (x) (для таких случайных величин, x, у которых соответствующие математические ожидания существуют, в частности, для дискретных случайных величин).

Определение 99:

Верхним лебеговским множеством (superlevel set) функции f (?): X ^ R, соответствующим уровню t G R называется множество { x G X | f (x) ^ t }.

Теорема 162:

Всякое верхнее лебеговское множество вогнутой функции выпукло. J

Заметим, что это необходимое, но не достаточное условие вогнутости функции. Например, всякое верхнее лебеговское множество функции x3 выпукло, но сама она не вогнута (при x ^ 0 она строго выпукла, что несовместимо с вогнутостью). Указанное свойство является необходимым и достаточным для квазивогнутых функций, о которых речь ниже.

Определение 100:

Подграфиком функции f (?): X ^ R называется множество { (x, t) | x G X, t ^ f (x) } .

Теорема 163:

Подграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция вогнута. J

Теорема 164:

Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,.

.., m) - вогнутые функции. Тогда $j=i aj fj (х), где ai,. .., ak ^ 0, - вогнутая функция. В частности, сумма вогнутых функций вогнута.

Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,...,m) - строго вогнутые функции. Тогда aj fj (х), где

ai,..., ak ^ 0 и aj > 0 хотя бы для одного j, - строго вогнутая функция. В частности, сумма строго вогнутых функций строго вогнута. J

Теорема 165:

Пусть fj (o): X ^ R (j = 1,...,m) - вогнутые функции. Тогда их поточечный минимум minj=i m fj(х) - вогнутая функция. J

Аналогичное свойство верно и в общем случае (не обязательно конечного) семейства вогнутых функций.

Теорема 166:

Пусть f (х, y): X ^ R (j = 1,...,m) - семейство вогнутых по х функций, зависящих от параметра y е Y (где Y С Rm). Тогда их поточечный инфимум $(х) = infyey f (х, y) - вогнутая функция с областью определения { х е X | infyey f (х, y) > -то } . J

Теорема 167:

Пусть $(o): X ^ R - вогнутая функция и ее область значений Y является выпуклым множеством, и пусть h(-): Y ^ R - вогнутая неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f (х) = Л.($(х)) - вогнутая функция. J

Теорема 168:

Пусть множество X является открытым, а функция f (o): X ^ R дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее градиент Vf (o)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех х, y е X выполнено неравенство

f (y) < f (х) + Vf (Х)Т(У - х). J

Т. е. вогнутая функция лежит (не строго) ниже любой своей касательной.

Теорема 169:

Точка х е int(X) является минимумом дифференцируемой вогнутой функции f (o): X ^ R тогда и только тогда, когда Vf (х) = 0. J

Теорема 170:

Пусть множество X является открытым, функция f (o): X ^ R дважды дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее матрица Гессе V2f (o)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех х е X ее матрица Гессе V2f (х) отрицательно полуопределена. J

Теорема 171:

Пусть множество X является открытым.

Если функция f (o): X ^ R дважды дифференцируема и ее матрица Гессе V2f (х) отрицательно определена для всех х е X, то f (o) строго вогнута.J

Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция f (x) = -x4 является строго вогнутой,

но f"(0) = 0.

Теорема 172:

Выпуклая (вогнутая) функция f (o): X ^ R непрерывна на внутренности ее множества определения int(X). J

Определение 101:

Функция f (?): X ^ R называется квазивогнутой, если X выпукло и для всех x, y G X и a G [0, i] выполнено

f (ax +(i - a)y) > min(f (x),f (y)).

Определение 102:

Функция f (?): X ^ R называется строго квазивогнутой, если для всех x, y G X, таких что x = y,

и a G (0, i) выполнено

f (ax +(i - a)y) > min(f (x),f (y)).

Определение 103:

Функция f (?) называется квазивыпуклой, если -f(?) квазивогнута.

Определение 104:

Функция f (?) называется строго квазивыпуклой, если -f (?) строго квазивогнута. Теорема 173:

Всякое верхнее лебеговское множество квазивогнутой функции выпукло. J

???

Теорема 174:

Непрерывная функция f (?): X ^ R, где X С R, является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и выполнено по крайней мере одно из трех условий:

функция f (?) является неубывающей;

функция f (?) является невозрастающей;

существует точка x* G X, такая что на множестве X П (-гс>, x*] функция f (?) является неубывающей, а на на множестве X П [x*, - невозрастающей. J

Теорема 175:

Пусть $(o): X ^ R - квазивогнутая функция с областью значений Y, и пусть h(-): Y ^ R - неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f (x) = h(g(x)) - квазивогнутая функция. J

Теорема 176:

Пусть множество X является открытым, и функция f (?): X ^ R дифференцируема. Эта функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и для всех x, y G X, таких что f (y) ^ f (x), выполнено неравенство

Vf (x)T(y - x) > 0. J

Заметим, что для квазивогнутой функции (в отличие от вогнутой) из Vf (x) = 0 не следует, что точка x является максимумом этой функции. Теорема 177:

Пусть множество X является открытым. Если функция f (?): X ^ R дважды дифференцируема и квазивогнута, то для всех x G X и p G Rn, таких что pт Vf (x) = 0, выполнено p т V2f (x)p < 0.

Как следствие, для всех x G X, таких что Vf (x) = 0, матрица Гессе V2f (x) дважды дифференцируемой и квазивогнутой функции является отрицательно полуопределенной на гиперплоскости p т Vf (x) = 0. J

Обратное, вообще говоря, неверно, но имеется близкий аналог. Теорема 178:

Пусть множество X является открытым. Если функция f (?): X ^ R дважды дифференцируема и для всех x G X и p G Rn, таких что p = 0 и pт Vf (x) = 0, выполнено pт V2f (x)p < 0, то функция f (?) является квазивогнутой.

Другими словами, достаточным условием квазивогнутости дважды дифференцируемой функции является то, что ее матрица Гессе V2f (x) является отрицательно определенной на гиперплоскости pт Vf (x) = 0 при всех x G X, таких что Vf (x) = 0, и отрицательно определенной при x G X, таких что Vf (x) = 0. J

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 17.1 Вогнутые и квазивогнутые функции:

  1. Оглавление
  2. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  3. 2.5.1 Задачи
  4. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  5. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  6. Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
  7. 3.5 Задачи к главе
  8. 7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности
  9. 9.5 Правило оптимального налогообложения для "малых" потребителей
  10. 10.3.1 Задачи
  11. 11.3.1 Задачи
  12. 17.1 Вогнутые и квазивогнутые функции
  13. 17.9 Теоремы Куна-Таккера