<<
>>

17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации

Теоремы о непрерывности решений параметрической задачи оптимизации являющихся следствиями следующего утверждения, известного как теорема Бержа:

Теорема 187:

Предположим, что отображение X(o): Л ^ 2R , и функция f (o): { (х, Л) | Л е Л, х е X(А) } ^ R непрерывны в окрестности точки Л.

Тогда отображение х(-) является полунепрерывным сверху в точке Л. J

Поскольку постоянное отображение X(Л) = X является непрерывным, то следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы Бержа.

Теорема 188:

Пусть отображение х(-) ставит в соответствие параметру Л е Л (Л С Rm) множество точек, являющихся решениями следующей экстремальной задачи:

f (х, Л) ^ max .

xGX

Предположим, что функция f (o): { (х, Л) | Л е Л, х е X(Л) } ^ R непрерывна в окрестности точки Л. Тогда х(o) является полунепрерывным сверху в точке Л. J

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерыв- ность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).

Следующие теоремы являются следствиями теоремы Бержа (Теорема 187), поскольку, во-первых, полунепрерывное сверху однозначное отображение (функция) непрерывно, во-вторых, отображение, которое ставит в соответствии вектору цен бюджетное множество, непрерывно

Теорема 189:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(Р), х е X,

где р е R+, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р, то функция х(р) непрерывна в точке р. J

Теорема 190:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(р), х е X,

где р е R++, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р, то функция х(р) непрерывна в точке р. J

Теорема 191:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(р), х е X,

где р е R+, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р , то выпуклозначное отображение х(р) полунепрерывно сверху в точке р. J

Теорема 192:

Пусть x(p) - множество решений задачи

u(x) ^ max

x

px < в(Р), x € X,

где p € К++, X С К", X - замкнутое, выпуклое и множество и 0 € X.

Функция м(-) непрерывна и квазивогнута на X.

Если функция в(Р) непрерывна и положительна при p = p, то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке p. J

Теорема 193:

Предположим, что выполнены условия теоремы Бержа и x(A) непусто. Тогда x(-) непусто в некоторой окрестности точки A, а функция (o) является непрерывной в этой точке. J

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы.

Теорема 194:

Рассмотрим задачу (P) с постоянным отображением e(x) = в. Предположим, что существует пара (x, y), такая что y € r(x) и y € int в. Предположим, кроме того, что функция f (x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окрестности точки (x, y), и |vyyf (x, y)| = 0. Тогда решение задачи (P) существует и единственно при любых x из некоторой окрестности точки x, причем функция r(x) непрерывно дифференцируема в этой окрестности. J

Доказательство: Поскольку y является внутренним решением задачи (P) при x = x. Это означает, что пара (x, y) удовлетворяет условиям первого порядка:

Vy f (x, y) = 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относительно соотношения

Vyf (x, y) = 0

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности f(x) следует, что существует окрестность точки x, в которой f(x) € в.

Поскольку f(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f (x,y) строго вогнута по y, то f(x) является единственным решением задачи (P) при данном x. ?

По теореме о неявной функции См. напр., В. А. Зорич, Математический анализ I, М., МЦНМО, 2001, с. 568-69.??

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации:

  1. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  2. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  3. Оглавление
  4. 17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации
  5. 4.1, Стадии решения проектных задач
  6. 4,2. Основные положения методики решения проектных задач
  7. 1.3. Методы синтеза и выбора (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования развития экономической системы страны, условия существования решения соответствующих задач вариационного исчисления и условия влияния на них неуправляемых параметров 1.3.1. Исследование условий существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования непрерывной детерминированной динамической сис
  8. 4.2. ЭКСПЛИЦИТНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ И ЗАДАЧА ОБРАТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
  9. 3.1. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач
  10. ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
  11. Решение первой задачи ПП симплекс-методом.
  12. 15.4. Транспортная параметрическая задача.
  13. 15.5. Решение транспортной параметрической задачи.
  14. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
  15. Решение типовых задач при подготовке к экзамену (зачету).
  16. Управление решением стратегических задач
  17. 4.4. Человеко-машинные методы анализа и оптимизации на множестве согласованных решений
  18. 10.2. Частные методики решения вычислительных задач
  19. 10.5. Примеры решения некоторых задач
  20. Проблемно-ориентированные ИС и ИТ решения функциональных задач казначейства