<<
>>

2.4.1 Задачи

В следующих нескольких .задачах не предполагается, что предпочтения являются неоклассическими (см. пояснения в тексте параграфа).

^ 25. Алина Александровна Алексашенко предложила следующее определение функции полезности: "Будем называть u(-): X ^ R функцией полезности, соответствующей предпочтениям (У, , если для всякой пары альтернатив x, y ? X соотношение x У y выполнено тогда и только тогда, когда u(x) > u(y)".

Будет ли оно эквивалентно определению, приведенному в тексте? Ответ аргументируйте.

^ 26. Пусть допустимое множество альтернатив состоит из 4 альтернатив X = {a, b, c, d}. На этом множестве задано следующее нестрогое отношение предпочтения: ^ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (d, c), (b, a), (a, c), (b, c)}. Возможно ли построить функцию полезности, представляющую данные предпочтения? Если нет, то почему? Если да, то постройте ее.

Таблица 2.1. r^J У r^j У У r^j a r^J b У r^j У У c У r^j r^J d У r^J r^J c

a

b

c

a

d

b

^ 27. Для каждой из частей Таблицы 2.1 рассмотрите изображенные предпочтения, предполагая, что ^ = уи~. Ответьте на вопрос предыдущей задачи.

^ 28. Пусть X состоит из n-мерных векторов с неотрицательными компонентами, а нестрогое отношение предпочтения задано следующим образом: x ^ y, если все компоненты вектора x не меньше соответствующих компонент вектора y. Существует ли функция полезности, представляющая эти предпочтения? ^ 29. Рассмотрите предпочтения, заданные на R++:

(Ж1 , Ж2) ^ (yi, ^2) ^ (xi - "2)(yi - ^2) Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ f Z f;

(Ж1,Ж2) ^ (yi,y2) ^ xix2 Z yiy2 ;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ min{xi + x2,yi + y2} Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ min{xi,x2} - min{yi,y2} Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ xix2 Z min{yi,y2}.

Какие из них представимы функцией полезности? Попытайтесь записать такую функцию полезности в явном виде.

^ 30. Покажите, что суперпозиция возрастающей функции и функции полезности, представляющей некоторые предпочтения, также является функцией полезности, представляющей эти предпочтения.

Приведите пример, показывающий, что требование возрастания не может быть ослаблено до неубывания.

^ 31. Какие из нижеприведенных функций могут подходят в качестве преобразования, о котором речь идет в предыдущей задаче, если область значений исходной функции полезности - R+ ?

(a) f (x) = x2; (b) f (x) = x3 + x; (c) f (x) = ^; (d) f (x) = ex. ^ 32. Докажите, что если u(-) и u(-) - две функции полезности, представляющие одни и те же предпочтения, то существует возрастающая функция f (?), такая что u(-) является суперпозицией u(-) и f (?).

^ 33. Для каких из нижеприведенных множеств X можно утверждать, что произвольные неоклассические предпочтения (не обязательно непрерывные), заданные на множестве X могут быть представлены некоторой функцией полезности?

X = { x ? RN | xi - целые числа };

X = { x ? RN | 0 < xi < 1 };

X = RN;

X = R+;

X = { x ? RN | Xi - иррациональные числа };

X = { x ? RN | Xi = a\/2 + b\/3, где a и b - любые рациональные числа }.

^ 34. Покажите, что если неоклассические предпочтения заданы на конечном множестве альтернатив, то в этом множестве существует как наименьшая (наихудшая), так и наибольшая (наилучшая) альтернатива. (Этот факт был использован в доказательстве Теоремы 7.) ^ 35. В Теореме 7 докажите, рассмотрев все возможные случаи, что построенная функция является функцией полезности.

^ 36. Докажите, что если множество кривых безразличия для некоторых неоклассических предпочтений счетно, то существует функция полезности, представляющая эти предпочтения. ^ 37. Пусть X = Xi х X2, где Xi = {1, 2,...}, а X2 - множество всех рациональных чисел между 0 и 1 . Пусть на парах из X введено лексикографическое упорядочение. Докажите, что существует функция полезности, отвечающая этому упорядочению. Запишите ее явную формулу.

^ 38. Борис Бенедиктович Бахвалин на основании полного, транзитивного и непрерывного нестрогого отношения предпочтения построил следующую функцию полезности:

если Xi + X2 ^ 1, иначе.

Покажите, что эта функция не является непрерывной.

Нет ли здесь противоречия с непрерывностью предпочтений? Возможно ли на основании этих же предпочтений построить непрерывную функцию? Если да, то постройте ее, если нет, то поясните, почему построение невозможно. ^ 39. Продемонстрируйте, что лексикографические предпочтения на R+ не являются непрерывными, построив конкретные последовательности наборов {xn}, {yn}, которые бы противоречили Определению 8.

^ 40. Покажите, что если функция полезности u(x) непрерывна, то предпочтения, породившие эту функцию полезности, также являются непрерывными.

^ 41. Закончите доказательство Теоремы 8, показав, что для построенных окрестностей Vx и Vy, справедливо, что для любых x' ? VX П X и y' ? Vy П X выполнено x' У y'. ^ 42. Пусть на выпуклом множестве X заданы непрерывные предпочтения, и пусть для наборов x, y ? X выполнено x У y. Докажите, что найдется набор z ? X, такой что x У z У y. ^ 43. Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонны представляемые ею предпочтения.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.4.1 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  16. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  17. 3.1.4 Задачи
  18. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя