<<
>>

2.5.1 Задачи

^ 44. A) "...выберем X1 ~ x2. Точка X1 представляет набор, содержащий 'экстремально большую' долю блага xi по сравнению с набором x2. Набор x2, наоборот, содержит экстремально большую долю другого блага, x2, по сравнению с набором x1.

Хотя каждый из наборов содержит относительно высокую долю одного из благ по сравнению с другим набором, для потребителя эти наборы равнозначны. При этом любая выпуклая комбинация x1 and x2, такая как x*, будет являться набором, содержащим более 'сбалансированное' сочетание xi и x2, чем каждый из 'экстремальных' наборов x1 или x2 " .

Б) "Условие выпуклости... чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает, что если каждый из двух векторов x', x'' предпочитается третьему вектору x, то любая их 'смесь' ax' + (1 - a)x'', 0 ^ a ^ 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы любите виноградный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы предпочтете выпить вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного соков. Однако в теоретических рассуждениях обычно рассматривают потребление за более длительный промежуток времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в приведенном выше примере означает, что если вы предпочитаете виноградный и томатный соки яблочному, то вы готовы также пить часть года первый из них, а оставшуюся часть - второй вместо яблочного круглый год. Такое допущение вполне правдоподобно, хотя возможны и возражения. Одно из них состоит в том, что предпочтение зависит от способа чередования напитков в течении года. Другое,

быть может, более существенное, относится к самому методу описания поведения: мои предпочтения могут меняться в зависимости от многих причин, например от самочувствия, так что говорить о предпочтении одного потребительского набора другому не имеет смысла" .

Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли вы с ними? Если нет, то почему? ^ 45.

Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемости. ^ 46. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обладают свойством монотонности.

^ 47. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. ^ 48. Покажите, что если непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X, то они не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости.

^ 49. ??Будем говорить, что предпочтения являются сильно монотонными, если они монотонны и существует по крайней мере одно благо, большее количество которого всегда предпочитается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со строгой монотонностью? Покажите, что из свойства сильной монотонности следует свойство локальной ненасыщаемости.

^ 50. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда и только тогда, когда выпукло любое верхнее лебеговское множество L+(x) = { y ? X | y У x }.

^ 51. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной.

^ 52. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

^ 53. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

^ 54. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений? ^ 55. Докажите Теорему 11.

^ 56. Покажите, что предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени) функцией полезности, являются гомотетичными.

^ 57. Покажите, что предпочтения, задаваемые квазилинейной функцией полезности, являются квазилинейными.

^ 58. Покажите, что предпочтения, задаваемые аддитивно-сепарабельной функцией полезности, являются сепарабельными.

^ 59.

Покажите, что непрерывные гомотетичные предпочтения представимы однородной функцией полезности.

^ 60. Известно, что непрерывные и гомотетичные предпочтения на R+ представимы адди- тивно-сепарабельной функцией полезности (т.е. u(x) = Uj(xj)). Покажите, что функция вида

u(x) = aiXp -

единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удовлетворяющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры а^ и р в случае, если, кроме того, предпочтения обладают свойством строгой монотонности? Докажите, что следующая

функция полезности (CES-функция)

u*(x) = 1/Р , (a) где J2 ai = 1, ai Z 0, соответствует тем же предпочтениям, что и u(x) =J2 flixf . ^ 61. Покажите, что функция полезности

u(x) = ^ aix01/Р

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция Кобба - Дугласа.

^ 62. Покажите, что функция полезности

u(x) = lim (У^ aixf) ^

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция min{xi, x2,..., xn}. ^ 63. Используя полученные в предыдущих задачах результаты, найдите в явной форме функции, представляющие те же предпочтения, что и функции

u(x) = lim (^(aixi)p) /Р ,

u(x) = lim (VVaixi)p) ^.

^ 64. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что предельная норма замены инвариантна относительно возрастающего преобразования функции полезности. Как связаны MRSj(x) и MRSji(x) ?

^ 65. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x) = ui(xi) + U2(x2)) тогда и только тогда, когда

MRSl2(x) . d2MRSi2(x) = dMRSi2(x) ^ dMRSi2(x) dx1dx2 dx1 dx2

^ 66. Функция полезности аддитивно-сепарабельна: u(x) =Y Ui(xi), причем каждая из элементарных функций Ui(-) вогнута. Покажите, что соответствующие предпочтения являются выпуклыми.

^ 67. ??непонятно как решать.. Пусть некоторые выпуклые неоклассические предпочтения, заданные на R+, представляются непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией вида u(x) = v(xi) + v(x2). Покажите, что функция v(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m и n справедливо v (Щx + (1 - Z fnv(x) + - v(y) и воспользуйтесь непрерывно

стью.)

^ 68. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R+, представимые следующими функциями полезности?

u(x) = x1 + x2;

u(x) = ^жГ + ;

u(x) = ^xi + x2;

u(x) = xrx2;

u(x) = ln(xi) + ^;

Ж1Ж2

(f) u(x) =

Ж1+Ж2 '

u(x) = xf + ;

u(x) = min{x1,x2};

u(x) = max{x1 , x2};

(j) u(x) = min{2x1 - x2, 2x2 - x1}; (k) u(x) = 28ж1 + 28x2 - 2xf - 3x1 X2 - 2xf; (l) u(x) = ln(x1 - 1) - 2 ln(2 - xf). Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих функций постройте эскизы кривых безразличия.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.5.1 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  16. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  17. 3.1.4 Задачи
  18. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
  19. 3.2.1 Задачи