<<
>>

2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких условиях можно рационализовать не отдельные наблюдения за выбором индивидуума, а в целом функцию выбора C(A) , заданную на некотором достаточно богатом множестве ситуаций выбора A, другими словами, при каких условиях можно сказать, что эта функция выбора могла быть порождена неоклассическими предпочтениями .

Определение 18:

Неоклассические предпочтения (У, -) рационализуют правило выбора C(?) на множестве ситуаций выбора A, если множество выбора C*(o), порожденное этими предпочтениями, совпадает с исходным:

C(A) = C*(A) для всех A ? A

Если потребитель имеет неоклассические предпочтения и делает выбор на их основе, то соответствующая функция выбора обладает следующими очевидными свойствами:

Все альтернативы из C(A) эквивалентны:

x, y ? C(A) ^ x - y;

Если альтернативы x и y принадлежат ситуации выбора A, причем x может быть выбрана, а y нет, то x лучше, чем y.

Т. е.

x ? C(A), y ? A, y ?C(A) ^ x У y;

По аналогии с предыдущим разделом (пункт 2.A.1) можем ввести понятие выявленных предпочтений. Идея этого понятия состоит в том, что если была выбрана альтернатива x в ситуации выбора, когда была доступна также альтернатива y, значит, x не может быть хуже y . Если же, дополнительно известно, что альтернатива y не могла быть выбрана, значит, x лучше y.

Определение 19:

Альтернатива x непосредственно нестрого выявленно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A).

Альтернатива x непосредственно строго выявленно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A), но y ? C(A).

Нам понадобятся здесь только непосредственные выявленные предпочтения (в отличие от многошаговых косвенных, которые использовались ранее). Для обозначения непосредственных выявленных предпочтений будем использовать символы и .

Если C(A) - неоклассическое правило выбора, то, оно должно удовлетворять ряду свойств.

В частности, как обсуждалось выше, отношения и обладают очевидными свойствами:

()

x |> y влечет x ^ y x y влечет x У y

Интуитивно ясно, что если бы для произвольной функции выбора C(A) мы нашли неоклассические предпочтения, удовлетворяющие этим свойствам, то тем самым мы бы "почти" рационализовали C(A). Следующая теорема подтверждает эту интуицию.

Теорема 13:

Пусть неоклассические предпочтения (У, У, связаны с правилом выбора C(A) условиями (^=). Тогда правило выбора C*(A), порожденное этими предпочтениями, совпадает с правилом выбора C(A) на всех ситуациях выбора из A, для которых выбор согласно C(A) не пуст, т. е.

C*(A) = C(A) для всех A ? A, таких что C(A) = 0. J

Доказательство:

(C (A) с C *(A))

Пусть x ? C(A). Тогда по определению нестрогого выявленного предпочтения x |> y для всех y ? A. Следовательно, x У y для всех y ? A. Отсюда видно, что x ? C*(A).

(C*(A) с C(A))

Пусть x ? C* (A), где C(A) непусто, и пусть y - некоторая альтернатива из C(A). Поскольку y ? A, то из условия x ? C*(A) следует, что x |> y и поэтому x У y. Выполнение соотношения x ? C(A), означало бы, что y [> x (так как y ? C(A)), т. е. что y У x У y, а этого быть не может. Значит, x ? C(A). ?

Одним из непосредственных следствий неоклассической рациональности выбора является так называемая "слабая аксиома выявленных предпочтений" ( Weak Axiom of Revealed Preference, WARP), являющаяся ослабленным вариантом обобщенной аксиомы выявленных

39

предпочтений из предыдущего раздела . Определение 20:

Слабая аксиома выявленных предпочтений: Пусть A и A' - две ситуации выбора, и альтернативы x, y принадлежат как A, так и A'. Если x ? C(A), а y ? C(A'), то x ? C(A').

То, что неоклассическое правило выбора действительно должно удовлетворять слабой аксиоме выявленных предпочтений, следует из ( ). Для того, чтобы это показать, переформулируем слабую аксиому выявленных предпочтений в терминах выявленных предпочтений:

Если x (непосредственно) выявленно не хуже y, то y не может быть (непосредственно) выявленно лучше x, т.

е. соотношения x y и y x не могут быть верными одновременно.

Для того, чтобы данное условие было верным, на самом деле достаточно менее строгой рациональности (см. параграф 2.B на с. 54). А именно, достаточно, чтобы нестрогое отношение предпочтения У было транзитивным, как демонстрирует следующая теорема.

Теорема 14:

Пусть правило выбора задано на основе нестрогого отношения предпочтения У следующим образом (так, же как выше для неоклассических предпочтений; см. Определение 6):

C(A) = { x ? A | Vy ? A x У y } ,

и отношение У транзитивно. Тогда это правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений. J

Доказательство: Пусть в некоторой ситуации выбора A как x, так и y можно было выбрать (x, y ? A) и среди выбранных альтернатив была альтернатива x (x ? C(A)), другими словами, пусть x |> y. По определению правила выбора C(A) это влечет x ^ y. Пусть в некоторой другой ситуации выбора A' как x, так и y можно было выбрать (x, y ? A') и среди выбранных альтернатив была альтернатива y (y ? C(A')). По определению правила выбора это означает, что y ^ z Vz ? A'. Из транзитивности следует, что то же самое должно быть верным для x, т. е. x ^ z Vz ? A'. Таким образом, x ? C(A'), то есть слабая аксиома выявленных предпочтений выполнена. ?

Другое следствие того, что выбор делается на основе неоклассических предпочтений, состоит в том, что из конечного набора альтернатив индивидуум всегда может сделать выбор. Другими словами, выполнено следующее утверждение.

Теорема 15:

Если ситуация выбора A A состоит из конечного числа альтернатив, то для правила выбора C(?), соответствующего неоклассическим предпочтениям, выполнено C(A) = 0. J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения (см. задачу 34 на с. 34). ?

Таким образом, выполнение "слабой аксиомы выявленных предпочтений" и непустота выбора из конечного числа альтернатив являются необходимыми условиями рационализуемости функции выбора.

Следующая теорема указывает возможный набор достаточных условий для рационализуе- мости в смысле условий (^=). В ней указанные необходимые условия рационализуемости функции выбора дополняются предположением о том, что множество ситуаций выбора является достаточно "богатым" .

Теорема 16:

Пусть правило выбора C(?) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом

если ситуация выбора A A состоит из конечного числа альтернатив, то множество C(A) непусто;

О C(A) удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;

О множество ситуаций выбора A содержит все двух- и трехэлементные подмножества X;

и пусть на основе этого правила выбора задано нестрогое отношение предпочтения так, что оно совпадает с нестрогим отношением выявленного предпочтения , а на основе

нестрогого отношения предпочтения определенны обычным образом предпочтения (У, -).

Тогда предпочтения (У, -) являются неоклассическими и связаны с C(A) соотношениями (^=). J

Доказательство: Для того, чтобы доказать, что предпочтения (У, У, являются неоклассическими, достаточно доказать, что бинарное отношение |> (и, следовательно, У) является полным и транзитивным.

Полнота. Пусть x, y - две альтернативы из X. Ситуация выбора {x, y} должна принадлежать A, так как это двухэлементное подмножество X. Поскольку по условию C({x, y}) непусто, то либо x ? C({x, y}), либо y ? C({x, y}). То есть выполнено хотя бы одно из соотношений x y, y x.

Транзитивность. Пусть x, y, z - три альтернативы из X, такие что x |> y и y |> z. Ситуация выбора {x, y, z} должна принадлежать A, так как это трехэлементное подмножество X.

Покажем, что x ? C({x, y, z}). Если y ? C({x, y, z}), то из слабой аксиомы выявленных предпочтений следует, что x ? C({x, y, z}), поскольку x l> y. Если же z ? C({x, y, z}), то, аналогично, y ?C ({x, y, z}) и поэтому опять x ?C ({x, y, z}) .Поскольку C ({x, y, z}) непусто, то в любом случае x ? C({x, y, z}). Это влечет за собой, что x |> z.

Условие, что x |> y влечет x У y, выполнено по определению У. Докажем, что x [> y влечет x У y.

Из x [> y по слабой аксиоме выявленных предпочтений следует, что y |> x не может выполняться, т. е. не может быть y У x. Как только что доказано, отношение У полное, поэтому x У y, откуда по обычному определению отношения У следует x У y. ?

Сформулированные утверждения (Теоремы 13 и 16) показывают, что при определенных условиях подход, берущий за основу правило выбора, эквивалентен подходу, берущему за основу предпочтения, т. е. правило выбора можно рационализовать неоклассическими предпочтениями. Для этого достаточно предположить, что множество ситуаций выбора A, на котором определено правило выбора, достаточно богато, правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений, и выбор на A непуст. Теорема 17:

Пусть правило выбора C(?) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом

о множество C (A) непусто для всех ситуаций выбора A ? A;

о C(A) удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;

о множество ситуаций выбора A содержит все двух- и трехэлементные подмножества X.

Тогда существуют неоклассические предпочтения которые рационализуют это правило

выбора. J

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора:

  1. Оглавление
  2. 2.3 Неоклассические предпочтения
  3. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  4. 2.4.1 Задачи
  5. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  6. Приложение 2.A Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения
  7. 2.A.1 Рационализация наблюдаемого выбора
  8. 2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора
  9. 2.B.1 Непротиворечивые, но неполные предпочтения
  10. 2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения
  11. Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения
  12. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  13. Приложение 3.B Выявленные предпочтения в модели потребителя
  14. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  15. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  16. 5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу