<<
>>

2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения

В самом общем смысле под полнотой предпочтений можно понимать то, что индивидуум всегда может определить, как он относится к паре альтернатив: является ли x для него более предпочтительной, чем y, или y для него более предпочтительна, чем x, или эти эти альтернативы эквивалентны.

При этом можно не накладывать ограничения, что эти ситуации несовместны, т. е. для двух альтернатив, x и y, выполняется хотя бы одно из трех соотношений: x У y, или x - y, или x ~ y. Тогда отношение "лучше или эквивалентно", вообще говоря, может не совпадать с отрицанием отношения - (т. е. с отношением "не хуже"), но уже не по причине неполноты, как это было в предыдущем пункте.

Мы не будем обсуждать это (слишком серьезное) отклонение от рациональности и будем в дальнейшем исходить из того, что всегда выполнено ровно одно из трех соотношений: x У y, или x - y, или x ~ y .В таком случае смысл нестрогого отношения предпочтения становится однозначным. Будем рассматривать предпочтения, которые могут быть нетранзитивными, т. е. такими что, например, возможно выполнение соотношений x ~ y, y ~ z и z У x для несовпадающих альтернатив x, y, z.

Определение 22:

Назовем предпочтения (У, У, полными, если они удовлетворяют следующим предположениям:

для любых x, y X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений:

x У y, или x - y, или x ~ y;

выполнено У = Уи~. Теорема 20:

Если предпочтения (У, У, полные, то они обладают следующими свойствами:

нестрогое отношение предпочтения У является полным и рефлексивным;

строгое отношение предпочтения У является иррефлексивным и асимметричным;

отношение безразличия ~ является рефлексивным и симметричным. J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ?

Такие предпочтения можно использовать для моделирования коллективного выбора, например, голосования простым большинством в случае, если каждый из участников голосова-

47

ния имеет неоклассические предпочтения .

Как обсуждалось выше, условие транзитивности является ограничительным при моделировании поведения потребителя.

Поэтому представляется вполне естественным задаваться вопросом о свойствах предпочтений и о существовании функции полезности в случае, если строгое отношение предпочтения У не обладает свойством отрицательной транзитивности, или, что эквивалентно, нестрогое отношение предпочтения не обладает свойством транзитивности.

При полноте предпочтений правила выбора C^(A) и C^(A) совпадают, и поэтому не возникает проблем с определением правила выбора. В то же время, нетранзитивность предпочтений, так же как и неполнота, может приводить к тому, что правило выбора может быть пустым даже если ситуация выбора A "хорошо устроена". Например, при выборе из трех альтернатив, таких что x У y У z У x, значение правила выбора будет пустым.

Как показывает приведенная выше Теорема 6 (с. 26), при нетранзитивности не существует функции полезности в смысле Определения 7 (с. 25), т. е. показателя, заданного на отдельных альтернативах и оценивающего уровень благосостояния при выборе данной альтернативы. Но, тем не менее, даже в этом случае можно построить некоторый индикатор, который давал бы полное описание рассматриваемых предпочтений. Такой индикатор может быть задан на парах альтернатив и сравнивать две альтернативы между собой.

Идея состоит в том, чтобы подобный индикатор (Д(-)) удовлетворял следующим условиям:

(Д1) Д^, y) > 0 тогда и только тогда, когда x У y;

(Д2) Д^, y) < 0 тогда и только тогда, когда y У x;

(Д3) Д^, y) = 0 тогда и только тогда, когда x ~ y;

(Д4) Д^, y) = -Д(У, x).

Так построенная функция может считаться обобщенной функцией полезности. Нетрудно понять, что если предпочтения представимы обычной функцией полезности u(-), то в качестве Д^, y) можно взять функцию u(x) - u(y).

Следующая теорема дает условия существования "обобщенной функции полезности", соответствующей полным, но, возможно, нетранзитивным предпочтениям. Для доказательства существования такой функции используется некоторый аналог условия непрерывности предпочтений (замкнутость ^).

Пары альтернатив в доказательстве обозначаются p, q, r, s. Типичная пара альтернатив имеет структуру p = (x, y), где x, y G X. Порядок альтернатив в паре при этом существенен.

Теорема 21:

Пусть на X С R1 заданы полные предпочтения (У, , такие что бинарное отношение ^ замкнуто (в R1 х R1). Тогда существует непрерывная функция Д: X х X м R, удовлетворяющая условиям (Д1)-(Д4). J

Доказательство: Рассмотрим отношение безразличия ~. Так как предпочтения полные, то оно рефлексивно. Таким образом, оно непусто, если рассматривать его как подмножество множества X х X (в него входят все пары вида (x, x)). Кроме того, из замкнутости ^ следует замкнутость ~.

Пусть d(p, q) = |p - q| - евклидово расстояние на R1 х R1. Определим функцию d*(-): X х X м R так, чтобы паре альтернатив p G X х X она сопоставляла наименьшее расстояние

между p и парой эквивалентных друг другу альтернатив (т. е. q ? ~):

d*(p) = m? d(p, q).

Инфимум конечен, поскольку расстояние ограничено снизу нулем. Покажем, что так определенная функция является непрерывной. Рассмотрим две произвольные пары альтернатив p, q ? X х X. Для любой пары эквивалентных между собой альтернатив r ? ~ в силу неравенства треугольника имеем d(p, r) ^ d(p, q) + d(q, r). Следовательно,

d*(p) = inf d(p, s) ^ d(p, q) + d(q, r). Так как левая часть последнего неравенства не зависит от r, то

d*(p) ^ d(p, q) + mf d(q, s) = d(p, q) + d*(q). С другой стороны, по аналогии можно доказать, что выполнено

d*(q) < d(p, q)+ d*(p). Комбинируя два последних неравенства, находим

d*(q) - d*(p)| < d(p, q),

откуда очевидным образом следует непрерывность функции d*(-).

Поскольку расстояние неотрицательно, то d*(p) ^ 0. Кроме того, данная функция обладает тем свойством, что d*(p) = 0 тогда и только тогда, когда p представляет собой пару эквивалентных альтернатив (p ? ~). Действительно, если p ? ~, то d*(p) = d(p, p) = 0. Обратно, пусть для пары альтернатив выполнено p ? ~. В силу замкнутости ~ дополнение к ~ - открытое множество, и, значит, точка p содержится в этом дополнении вместе с некоторой е-окрестностью. Поскольку около p нет пар эквивалентных альтернатив, которые бы находились от p ближе, чем на расстоянии е, то по определению d*(-) должно быть выполнено d*(p) ^ е > 0. Положим

A(x y) = I d*(x, y), если x У y, I -d*(y,x), если y У x.

Непрерывность Д(-) следует из непрерывности d*(-). Проверку того, что так определенная функция Д(-) удовлетворяет условиям (Д1)-(Д4) оставляем в качестве упражнения. ?

Очевидно, что если в качестве базового индикатора полезности взять функцию Д^, y), то возможно систематическое построение микроэкономической теории на основе полных предпочтений, которые не обязательно являются транзитивными .

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения:

  1. Оглавление
  2. 2.B.1 Непротиворечивые, но неполные предпочтения
  3. 2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения
  4. Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения
  5. 3.1.4 Задачи
  6. Предметный указатель
  7. 1.1. Отношения предпочтения
  8. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  9. 1.7. Концепция выявленных предпочтений
  10. 5.1.4. Эволюция теории полезности
  11. 5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу
  12. 1.1. Радикальные преобразования в сфере услуг
  13. РАЗДЕЛ 4. Кривые безразличия
  14. РАЗДЕЛ 5. Поиск ренты в экономике России
  15. 4.3. Рациональный коллективный выбор
  16. 1. ВВЕДЕНИЕ
  17. 4.3. Рациональный коллективный выбор
  18. 3.2. Теорема Рыбчинского
  19. ПОРЯДКОВАЯ ТЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА. кривые безразличия