<<
>>

3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности

Как уже отмечалось, гипотеза рациональности предполагает, что потребитель, ориентируясь на свои предпочтения (вкусы, оценки), выбирает наилучший вариант из числа доступных ему альтернатив, причем на предпочтения накладываются определенные ограничения, связанные с тем, что потребитель может сравнивать между собой любые возможные альтернативы, и что он последователен в своих оценках.

Модель поведения потребителя представляет собой

конкретизацию модели выбора на ситуацию, когда потребитель выбирает набор из бюджетного множества. В дальнейшем везде, не оговаривая это особо, будем исходить из рациональности потребителя, т. е. из того, что он обладает неоклассическими предпочтениями.

Пусть B С X - бюджетное множество. Задача потребителя состоит в том, чтобы подобрать такой набор x G B, который был бы не хуже любого другого набора из B . Результат решения задачи потребителя (множество оптимальных потребительских наборов) называется его спросом.

Определение 23:

Пусть (у, - предпочтения на X, B - совокупность бюджетных множеств B С X.

Тогда отображение x: B ^ 2 , определяемое как

x(B) = { xG B | x ^ y Vy GB } ,

или, эквивалентно,

x(B) = { x G B | если y У x, то y G B } ,

называется спросом Маршалла. В случае если x(B) - одноэлементное множество VB G B, то x(B) называется функцией спроса Маршалла .

Если предпочтения потребителя представимы функцией полезности u : X ^ R, то задачу потребителя можно записать как задачу максимизации полезности при бюджетном ограничении:

u(x) -> max. хев

Значение спроса для бюджетного множества B при этом задается следующим образом:

x(B) = argmax u(x). хев

Если потребитель имеет фиксированный доход и осуществляет выбор среди наборов из B(p, R), то задача потребителя при ценах p и доходе R принимает следующий вид: :

u(x) max

хех (C)

px ^ R.

Для удобства будем записывать спрос, соответствующий такой задаче, в виде x(p, R) (вместо общего обозначения x(B), которое использовали выше).

В качестве иллюстрации найдем функцию спроса для лексикографических предпочтений на X = R+ (их свойства обсуждались в Примере 4 на с.

27 и Примере 5 на с. 29).

Пример 9:

Пусть R > 0 и p G R++. Рассмотрим потребительский набор ^R-, и покажем, что он представляет собой спрос потребителей при ценах p и доходе R. Для любого потребительского набора x из бюджетного множества, в который второе благо входит в положительном количестве, справедливо, что первая компонента вектора x строго меньше, чем R. Таким образом,

по определению лексикографических предпочтений потребительский набор ^pR, 0j предпочтительнее любого другого потребительского набора, принадлежащего бюджетному множеству B (p, R). Д

Как известно из вводного курса микроэкономики и как, впрочем, несложно догадаться самостоятельно, задача нахождения спроса потребителя имеет достаточно прозрачную геометрическую интерпретацию. В типичном случае спрос представляет собой точку касания кривой безразличия и бюджетной линии, как это изображено на Рис. 3.1. Таким образом, для того чтобы найти спрос потребителя, необходимо нарисовать бюджетный треугольник, одну из кривых безразличия и двигая ее (на самом деле переходя от одной кривой безразличия к другой) найти точку касания с бюджетной линией.

Рис. 3.1. Маршаллианский спрос

Перейдем теперь к рассмотрению свойств функции спроса и задачи потребителя (C) в целом. Для определенности будем рассматривать случай потребителя с фиксированным доходом. Отметим, что многие из получаемых в дальнейшем результатов, без труда могут быть перенесены и на бюджетные множества общего вида.

Теорема 23 (свойства маршаллианского спроса):

Пусть p G R++, R > infxex px и потребитель имеет непрерывные предпочтения. Тогда

решение задачи потребителя существует, т. е. x(p, R) = 0;

если предпочтения потребителя выпуклы, то x(p, R) - выпуклое множество;

если предпочтения потребителя строго выпуклы, то x(p, R) - непрерывная функция;

отображение x(p, R) положительно однородно нулевой степени , т. е. x(Ap, AR) =

x(p, R) (A > 0);

если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса, т.

е. px = R для всех x G x(p, R);

если x(p, R) - отображение спроса при ценах p и доходе R, а x(p', R') - отображение спроса при ценах p' и доходе R', x G x(p, R), x' G x(p', R'), x' G B(p, R), xG B (p',R'), то x G x(p', R'). J

Доказательство: (i) Используя Теорему 22, получаем, что B(p, R) - компакт. В силу того, что непрерывные предпочтения представимы непрерывной функцией полезности, по теореме Вейерштрасса имеем, что x(p, R) = 0.

(ii) Пусть предпочтения индивидуума выпуклы, x(p, R) непусто, и x', x'' - два элемента из множества x(p, R), т. е. x', x'' G x(p, R). Рассмотрим потребительский набор xa = ax' +(1 - a)x'', где 0 < a < 1 .В силу сделанных предположений множество B (p, R) выпукло. Из этого с учетом того, что x', x'' G B(p, R), получаем xa G B(p, R), т. е. набор xa является допустимым в задаче потребителя. Так как x', x'' G x(p, R), то по определению отображения спроса имеем x' ~ x''. Из x' у x'' по свойству выпуклости предпочтений имеем xa у x'' .

Таким образом, xa принадлежит бюджетному множеству и не хуже любого набора из этого множества. Значит, xa G B(p, R).

Доказательство того, что x(p, R) - одноэлементное множество несложно, в общих чертах повторяет доказательство предыдущего и оставляется читателю в качестве упражнения. Докажем только непрерывность.

Рассмотрим последовательность {pn, RRA}^=I ^ {p, R}, где Rn > infxex pnx для каждого n и (p, R) > (0, infхех px), такую что порождаемая последовательность {xN}^=I решений задачи потребителя при ценах pn и доходах Rn (т. е. xn = x(pn, Rn)) сходится, т. е. {xN}^=I ^ x. Поскольку pnxn ^ Rn, то, переходя к пределу при n ^ то, получаем px ^ R. Для доказательства непрерывности функции спроса необходимо показать, что x = x(p, R), т. е. что x является оптимальным выбором потребителя при ценах p и доходе R.

Предположим противное, т. е. что существует набор x, такой что x У x и p x ^ R .В силу замкнутости множества допустимых альтернатив X справедливо, что

inf px = min px, хех хех

Пусть z - допустимый потребительский набор, соответствующий минимуму. Для него выполнено pz < R. Рассмотрим выпуклые комбинации xa = az + (1 - a)x (0 < a < 1). При достаточно малых значениях a в силу непрерывности имеем, что xa У x, и при этом pxa < R. Обозначим один из таких наборов через x.

Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n > N выполнено pnx < Rn. Пусть это не так, т. е. существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел {nfc }+=1, что pnkx Z Rnk Vk. Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы px Z R, что противоречит выбору x. Для каждого n такого, что pnx < Rn в силу оптимальности xn мы должны иметь xn У x. Так как предпочтения непрерывны, то, переходя к пределу, получаем x ^ x. Тем самым, мы пришли к противоречию. Это означает, что набор x оптимален при ценах p и доходе R, т. е. x = x(p, R). Таким образом, доказана непрерывность функции спроса x(p, R) по ценам и доходу.

Замечание: В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый график, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательства .

Доказательство несложно и оставляется читателю в качестве упражнения.

Пусть x(p, R) - отображение спроса, и закон Вальраса не выполнен, т. е. 3x G x(p, R) такой, что px < R. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности точки x должен существовать набор x, такой что x У x. Если выбрать достаточно малую окрестность, то x будет удовлетворять бюджетному ограничению (px ^ R), что противоречит оптимальности набора x.

Так как x G x(p, R) и x' G B(p, R), то x ^ x'. Аналогично из того, что x' G x(p', R') и x G B(p', R') следует x' ^ x. В силу транзитивности отношения ^ выполнено x ~ x', откуда по определению функции спроса имеем x G x(p', R'). ?

Поясним содержание данного утверждения. Первые пять пунктов данного утверждения достаточно прозрачны, и являются стандартными свойствами задач математического программирования. В них показано существование решения задачи потребителя и базовые свойства, которым удовлетворяет отображение спроса: однородность, выпуклость, выполнение закона Вальраса (в точке оптимума бюджетное ограничение выходит на равенство).

Свойство (vi) является вариантом слабой аксиомы выявленных предпочтений (см. Определение 20 на с. 50). Если в некоторой ситуации потребителю были доступны потребительские

наборы x, x' и был выбран (однозначно ) потребительский набор x, то тем самым, выбор явно указывает, что набор x лучше набора x'. Таким образом, если в какой либо другой ситуации рациональный потребитель выбирает набор x', то, следовательно, набор x ему недоступен (не удовлетворяет бюджетному ограничению). Данное свойство запрещает ситуацию, когда в двух ситуациях выбора в первой ситуации потребитель своим выбором сигнализирует, что x У x', и в то же время выбирает x', когда в другой ситуации ему доступны и x, и x'.

Следующий пример иллюстрирует дополнительные свойства, которым удовлетворяет спрос, порожденный гомотетичными предпочтениями.

Пример 10:

Будем исходить из того, что рассматриваемые гомотетичные предпочтения являются непрерывными. В этом случае их можно представить положительно однородной первой степени функцией полезности. Пусть x(p, R) и x(p, 1) - отображения спроса при ценах p и доходах R и 1 соответственно. Покажем, что x(p, R) = Rx(p, 1), то есть спрос однороден первой степени по доходу.

Докажем, что Rx(p, 1) С x(p, R). Для этого нужно доказать, что если x G x(p, 1), то Rx G x(p, R). Очевидно, что Rx G B(p, R). Покажем, что в B(p, R) нет наборов более предпочтительных, чем Rx. Пусть это не так и существует x G x(p, R), такой что u(x) > u(Rx). Для набора -x выполнено -x G B(p, 1), и, поскольку функция полезности однородна, -xj > u(x). Но существование такого набора противоречит тому, что x G x(p, 1). Таким образом, Rx G x(p, R).

Обратное включение, x(p, R) С Rx(p, 1), доказывается аналогично. Тем самым показано, что для случая положительно однородной функции полезности кривые Энгеля представляют собой конусы, выходящие из начала координат. Если спрос однозначен, то кривые Энгеля являются лучами. Доказательство несложно переделать для общего случая (не обязательно непрерывных) гомотетичных предпочтений. Д

Выше мы разобрали основные свойства маршаллианского спроса. Теперь остановимся на вопросе непосредственного нахождения спроса при заданных предпочтениях (функции полезности) при положительных ценах и доходе. Техника нахождения спроса потребителя опирается на применение теоремы Куна- Таккера к задаче потребителя (C) в предположении, что функция полезности u- является дифференцируемой. Лагранжиан для этой задачи имеет следующий вид:

L(x, A) = u(x) + A(R - px),

где A - множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.

Предположим, что множество допустимых потребительских наборов X задается неравенствами x ^ 0. Предположим также, что функция полезности задана на некотором открытом множестве, включающем в себя X (например, R1). Условия Куна- Таккера для набора x и множителя Лагранжа A имеют в таком случае следующий вид:

(1) Vu(x) - Ap ^ 0; (2) (Vu(x) - Ap)x = 0; (з) A(R - px) = 0; (4) A ^ 0.

Если x является решением задачи потребителя, то по теореме Куна- Таккера найдется A, такое что (x, A) удовлетворяют приведенным условиям.

(Можно и Слейтера...)

Величины x и A, удовлетворяющие условиям Куна- Таккера можно искать перебором, рассматривая все возможные варианты: каждая из переменных X может быть положительной, либо равной нулю; то же самое верно и для множителя Лагранжа A. Всего имеется

вариантов (часть из которых заведомо невозможны). Для каждого из вариантов следует рассмотреть, являются ли условия совместными. Если да, то найти соответствующее множество решений.

Рассмотрим свойства решений. Если функция полезности такова, что для всех допустимых наборов x хотя бы для одного блага Xi выполняется du(x)/dxi > 0, то, как следует из условия (1), для найденных решений Л > 0. По условию дополняющей нежесткости (3) из Л > 0 следует, что px = R (закон Вальраса). Выполнение закона Вальраса для оптимальных потребительских наборов гарантировано также в случае, когда предпочтения локально нена- сыщаемы (см. Теорему 23). Поскольку цены и доходы положительны, то из px = R следует, что хотя бы одно благо должно потребляться в положительном количестве.

Условие (1) означает, что для каждого из благ должно быть выполнено

du(x)

^ Лрг

dxi

Для тех же благ, которые потребляются в положительном количестве (Xi > 0) из условия дополняющей нежесткости (2) следует

du(x)

~я = Л^.

dxi

Предположим, что Л > 0 и k - такое благо, что Xi > 0, а i - любое другое благо. Исключая множитель Лагранжа из условий Куна- Таккера, имеем

- Z Шд^ = "ад* (x).

pfc du(x)/dxfc

Если благо i таково, что xi > 0 то это условие выполняется как равенство:

Pi du(x)/dxi

= MRSi* (x).

pfc du(x)/dxfc

Это свойство известно читателю из вводного курса микроэкономики и означает, что решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения /или замены ??/ любых двух благ отношению цен этих благ.

Так как Л > 0, то бюджетное ограничение должно выходить на равенство: px = R. Это второе условие первого порядка, которому должен удовлетворять оптимум рассматриваемой задачи.

Пусть нашлись некоторые x и Л, которые удовлетворяют условиям Куна- Таккера:

Таким образом, вышеприведенные гипотезы гарантируют нам положительность множителя Лагранжа Л, и существование такого товара для которого ui(x) > 0 и, значит, выполнено условие 2 сформулированной выше теоремы.

Рассмотрим теперь необходимые условия оптимальности в задаче потребителя. По теореме Куна- Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю и доход строго положителен) существует множитель Лагранжа Л Z 0 такой, что в оптимуме

dL(x, Л) dL(x, Л) п

-J ^ 0 и -= 0, если ж* > 0 dxfc dxfc

или

du(x) du(x)

- ^ Лр* и - = Лр*, если xfc > 0.

dxfc dxfc

Действительно, имеется l ограничений на неотрицательность потребления и бюджетное ограничение. При положительных ценах и доходах хотя бы одно из них не является активным.

Очевидно, что градиенты остальных ограничений будут линейно независимыми. Градиент бюджетного ограничения равен -p < 0, градиенты остальных ограничений имеют вид ег = (0,..., 0,1, 0,..., 0) (i-орт). Т. е. выполнены условия регулярности Куна- Таккера. и сравнить их, выбрав набор с максимальным значением полезности

Проиллюстрируем теперь применение достаточных условий оптимальности для нахождения функции спроса на примере.

Пример 11:

Пусть множество допустимых альтернатив X = R+, и предпочтения потребителя представимы функцией полезности u(x) = у/ХТ + a^fx^,, где a > 0. Данная функция строго вогнута (как сумма строго вогнутых функций). (Отметим также, что u(x) строго монотонна.) Предположим, что решение внутреннее. Тогда мы подпадаем под условия теоремы Куна- Таккера; при этом условия Куна- Таккера являются достаточными условиями оптимальности. Таким образом, если найдутся вектор x > 0 и множитель Лагранжа А ^ 0, такие что для них выполнены условия Куна- Таккера, то такой x является решением задачи. Поскольку целевая функция строго вогнута, то x - единственное решение задачи.

Функция Лагранжа для задачи потребителя с функцией полезности u(x) = у/Х1 + a^fx^. имеет вид:

L(x, А) = ^ХГ + ayX2 + A(R - Р1Х - P2X2). Условия Куна- Таккера:

(1) Zlf = ^ - АР1 = 0; (2) 2ff = ^ - АР2 = 0;

(3) = R - Р1Х1 - Р2Ж2 ^ 0; (4) А = (R - Р1Х - Р2Ж2М = 0.

Из этих условий заключаем, что А > 0, т. е. бюджетное ограничение выполняется как равенство:

Р1Х1 + Р2Ж2 = R.

Из первых двух уравнений имеем

Р1 ( РЛ2
- или x2 = a- x1.

aVXT Р2 V Р2у

Подставляя полученное выражение для Х2 в бюджетное ограничение, получим p1x1 + p2 (a-| x1 = R ^ (p1 + a2 (p1) ) x1 = R ^ x1 = Rp2

V I 'Aj 1 ' l у 1 I ^ I 1 ^ ^ ^ 1 , 9/ \9*

P2/ V P2 J P1P2 + a2(p1)2

Отсюда

a2Rp1

Х2

(P2)2 + a2p1p2'
Таким образом, функция маршаллианского спроса имеет вид

x(p, R)

Rp2 a2Rp1

P1P2 + A2(P1 )2' (P2)2 + A2P1P2 / ' Легко видеть, что полученная нами функция спроса удовлетворяет всем свойствам функции спроса, установленным в Теореме 23. (Проверьте это самостоятельно!) Д

Перейдем теперь к рассмотрению другого понятия, относящегося к потребительскому выбору, а именно понятия непрямой функции полезности.

Определение 24:

Непрямой функцией полезности называется функция, которая ценам p и доходу R сопоставляет значение полезности u(x), где x - решение задачи потребителя (т. е. x G x(p, R)).

Естественно, область определения непрямой функции полезности - это такие пары цен и доходов (p, R) при которых существует решение задачи потребителя. В нашем случае функция определена, например, при всех положительных ценах и доходах R > inf^x px в случае, когда предпочтения непрерывны.

Следующая теорема устанавливает основные свойства непрямой функции полезности. Эти свойства позволяют, в частности, делать выводы об изменении полезности потребителя при изменении бюджетного множества.

Теорема 24 (свойства непрямой функции полезности):

Пусть выполнены предположения Теоремы 23. Тогда

функция v(p, R) однородна нулевой степени по (p, R): v^p, ЛR) = v(p, R) (Л > 0);

функция v(p, R) не убывает по доходу (v(p, R') Z v(p, R) при R' > R), причем строго возрастает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы;

функция v(p, R) не возрастает по ценам (v(p, R) ^ v(p', R) при p Z p'), причем строго убывает по ценам, если предпочтения локально ненасыщаемы;

функция v(p, R) квазивыпукла по (p, R);

если предпочтения потребителя выпуклы, то функция v(p, R) непрерывна на множестве определения. J

Доказательство: (i) Однородность нулевой степени следует из определения непрямой функции полезности и однородности нулевой степени функции спроса x(p, R) (см. Теорему 23).

Покажем, что v(p, R) не убывает по R. Рассмотрим непрямую функцию полезности при двух разных уровнях дохода R' и R, таких что R' > R. Нестрогое неравенство v(p, R') Z v(p, R) следует из того, что при R' > R бюджетное множество B(p, R') содержит бюджетное множество B(p, R) . Если бы при R' > R мы имели v(p, R') = v(p, R), то наборы из x(p, R) принадлежали бы x(p, R'), но для них не выполнялся бы закон Вальраса. Этого при локальной ненасыщаемости предпочтений быть не может, значит, должно выполняться строгое неравенство v(p, R') > v(p, R).

Доказательство данного пункта в целом повторяет доказательство предыдущего и оставляется читателю в качестве упражнения.

Напомним, что функция f (x) называется квазивыпуклой, если функция - f (x) является квазивогнутой. Мы хотим показать квазивогнутость функции v(p, R), т. е. что для любого 0 ^ a ^ 1 выполнено

v(ap1 + (1 - a)p2, aR1 + (1 - a)R2) ^ max{v(p1, R1), v(p2, R2)}.

Пусть x - решение задачи потребителя при ценах pa = ap1 + (1 - a)p2 и доходе Ra = aR1 + (1 - a)R2, т. е. x G x(pa,Ra). Очевидно, что x является допустимым либо при ценах p1 доходе R1, либо при ценах p2 и доходе R2. Действительно, если бы это было неверно, тогда выполнялось бы p1x > R1 и p2x > R2. Взяв первое неравенство с весом a, а второе неравенство - с весом (1 - a) и сложив, получаем pax > Ra. Противоречие с тем, что x G x(pa,Ra). Таким образом, выполнено либо p1x ^ R1, либо p2x ^ R2. Без потери общности предположим, что p1x ^ R1. Из того, что v(p1,R1) есть по определению значение целевой функции на оптимальном решении задачи потребителя при ценах p1 и доходе R1 ,

следует что v(pi, Ri) ^ u(x), так как x - допустимое решение этой задачи. Тем более, должно выполняться и требуемое соотношение

u(x) = v(pa,Ra) < max{v(pi,Ri),v(p2,R2)}.

(v) В предположении строгой выпуклости предпочтений непрерывность непрямой функции полезности следует из определения и непрерывности функции x(p, R), которую мы доказали в Теореме 23 . I

Проиллюстрируем понятие непрямой функции полезности на примерах. Первый из них относится к гомотетичным предпочтениям.

Пример 12 (продолжение Примера 10):

Выше мы показали, что функция маршаллианского спроса при гомотетичности предпочтений (другими словами, при однородности функции полезности) однородна первой степени по доходу, т.е. x(p, R) = Rx(p, 1). Таким образом, v(p, R) = u(x(p, R)) = u(Rx(p, 1)) = u(x(p, 1))R = a(p)R, где в качестве a(p) выступает u(x(p, 1)). Д

Пример 13 (продолжение Примера 11):

Непрямая функция полезности будет иметь вид:

/ Rp2 a2Rpi

v(p, R) = \ , 2f x2 + V

PiP2 + a2(pi)2 у (P2)2 + a2pip2

Rp2 , a2Rpi R /p2 , 2 [Pi

+ aW- ?-= W ?-a 1

ypI(p2 + a2pI) Vp2(p2 + a2pI) у p2 + a2pI ^V pI У p2 J

= R (p2 + a2pI \ = R(P2 + a2pI) Vp2 + a2pi у y/pip2> J V pip2 .

Проверим выполнение свойств непрямой функции полезности, полученных нами в Теореме 24.

Возрастание непрямой функции полезности по доходу очевидно в силу возрастания функции yfx.

Убывание непрямой функции полезности по ценам следует из того факта, что функции Р-

и а2 убывают по ценам и v(p, R) = ^r(Р- + а2) .

Проверка квазивогнутости непрямой функции полезности достаточно громоздка, и мы ее проводить не будем. Желающие могут проделать ее самостоятельно. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности:

  1. Оглавление
  2. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  3. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  4. 3.1.4 Задачи
  5. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
  6. 3.3.3 Задачи
  7. Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
  8. 3.C.5 Задачи
  9. 7.4 Задача потребителя при риске
  10. 11.9 Задачи к главе
  11. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  12. 1.4. Задача потребителя. Характеристики потребительского выбора
  13. 1.5. Двойственность в модели потребителя
  14. 1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
  15. 1.2. Задача производителя и ее свойства
  16. Отношение предпочтения, функция полезности и бюджетное ограничение потребителя.
  17. В предыдущей главе мы вывели функции некомпенсированного (маршаллианского) спроса потребителя:
  18. ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ СПРОСА, ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ПОЛЕЗНОСТИ. РЫНОК И КОНКУРЕНЦИЯ