<<
>>

3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос

Рассмотрим вопрос о том, какие денежные средства требуются потребителю при данных ценах на достижение заданного уровня благосостояния и какие потребительский наборы обеспечивают минимальное значение потребительских расходов.

Ответы на эти вопросы можно получить с помощью следующей задачи:

ph -? min hex

h У x.

В этой задаче требование к минимально допустимому уровню благосостояния задается потребительским набором x. В верхнем лебеговском множестве набора x, L+(x) = { y el | y ^ x }, ищется самый дешевый (в ценах p) набор. На основе этой задачи приходим к понятию хикси- анского спроса.

Определение 25:

Отображение

h(p, x) = argmin ph

h€L+(x)

называется спросом по Хиксу (хиксианским спросом) . В случае если данное отображение является однозначным, h(p, x) называется функцией спроса по Хиксу .

Таким образом, хиксианский спрос при заданных p и x - это самый дешевый потребительский набор при заданных ценах p, среди всех наборов, которые не хуже, чем x, в то время как обычный (маршаллианский) спрос - это наилучший с точки зрения предпочтений индивидуума набор в бюджетном множестве. На Рис. 3.2 в случае двух благ иллюстрируется разница в понятиях маршаллианского и хиксианского спросов. хиксианский спрос

i

Х2 бюджетная прямая i ^ кривая безразличия

маршаллианский спрос Рис. 3.2. Маршаллианский и хиксианский спрос

Если предпочтения представимы функцией полезности u : X ^ R, отображение хиксианского спроса может быть найдено как решение параметрического семейства задач математического программирования:

ph ^ min

heX (H)

u(h) Z u(x),

каждая из которых обычно называется двойственной (взаимной) к соответствующей задаче потребителя (задаче поиска маршаллианского спроса).

Следующая теорема устанавливает основные свойства отображения (функции) хиксианского спроса.

Теорема 25 (свойства хиксианского спроса):

Пусть p e R++, предпочтения потребителя являются непрерывными.

Тогда

решение двойственной задачи потребителя существует, т. е. h(p, x) = 0 Vx e X;

если предпочтения потребителя выпуклы, то h(p, x) - выпуклое множество;

если предпочтения потребителя строго выпуклы, то h(p, x) - непрерывная функция;

отображение h(p, x) однородно нулевой степени по p, т. е. h(Ap, x) = h(p, x) (Л > 0);

если x' ~ x", то h(p, x') = h(p, x");

для каждого h e h(p, x) справедливо h ~ x. J

Доказательство: Доказательство в общих чертах идет по схеме доказательства Теоремы 23 и оставляется читателю в качестве упражнения. ?

Обсудим, как и в случае с маршаллианским спросом, необходимые и достаточные условия оптимума задачи минимизации расходов (поиска хиксианского спроса)

ph ^ min

hZ0 (H')

u(h) Z u(x),

Здесь предполагается, что X = R+, т. е. h Z 0 - условие того, что h - допустимый набор, и что функция полезности u(-) определена на более широком, чем X = R+, открытом множестве (например, R1), и является дифференцируемой.

Условия Куна- Таккера для задачи (H') в точке h имеют вид

(1) - p + AVu(h) < 0; (2) (-p + AVu(h))h = 0;

(3) A(u(h) - u(x)) = 0; (4) A Z 0.

Если набор h, допустимый в задаче (H'), удовлетворяет этим условиям при некотором множителе Лагранжа A, и функция полезности квазивогнута (предпочтения выпуклы), то по обратной теореме Куна- Таккера h является решением этой задачи. Действительно, поскольку целевая функция ph линейна, то она вогнута; ограничение же задается квазивогнутой функцией u(h) - u(x) .

С другой стороны, если h - решение рассматриваемой задачи, то (при выполнении условий регулярности) найдется множитель Лагранжа A, такой что для (h, A) выполнены условия Куна- Таккера. Предположение Vu(h) = 0 обеспечивает выполнение условий регулярности в форме Куна- Таккера.

Таким образом, приведенные условия являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор h (h x) являлся решением задачи минимизации расходов.

Для внутреннего набора h e int X в более общей задаче (H) условия Куна-Таккера принимают более простой вид:

- p + AVu(h) < 0;

A(u(h) - u(x)) = 0; (3) A Z 0.

Заметим попутно, что, как несложно увидеть, если x = x(p, R) - решение задачи потребителя при ценах p e R++ и доходе R > 0, и A - множитель Лагранжа, отвечающий этому решению, такой что A > 0, то множитель Лагранжа в соответствующей задаче поиска хиксианского спроса A должен быть равен ^.

(О взаимосвязи двух задач речь пойдет ниже в Теореме 27.)

Используя условия Куна- Таккера, найдем теперь функцию хиксианского спроса для случая, рассматривавшегося нами в Примере 11.

Пример 14 (продолжение Примера 11):

Для функции полезности u(x) = ^/XI + a^fx2 хиксианский спрос является решением следующей задачи:

+ p2h2 ^ min h^0

\J~h\ + a\J~h2 Z u(x).

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:

L(h, Л) = -pIhI - + A(v/hI + a\fh2 - u(x)).

Предположим, что решение является внутренним, т. е. hI > 0, h-2 > 0. При этом из условий Куна- Таккера получим

-pI + Л= 0, -Р2 + Ла27h2 = 0.

Несложно заметить, что из этих двух равенств следует Л > 0, а, значит, \fh\ + a\fh2 = u(x). Отсюда имеем ^^hL = 2i или h2 = (ap^j . Так как VhI + = u(x), то VhI +

a2piVh" = u(x) или hi = (pE2UXL)2, откуда, h2 = (Pf+g-)2.

Читатель может проверить, что невнутренние наборы, удовлетворяющие ограничению задачи, дают более высокое значение расходов, чем найденный набор, т. е. найденный набор является оптимумом, причем единственным. (что, впрочем очевидно, так как решение задачи минимизации расходов при строго вогнутой функции полезности (строго выпуклых предпочтениях) единственно, а условия Куна-Таккера в данном случае являются не только необходимыми, но и достаточными. Таким образом, хиксианский спрос равен

W \ ii P2u(x) \2 / apIu(x) h(p, x) 11 11

Р2 + a2pi / VP2 + a2pi

Проиллюстрируем теперь свойства функции хиксианского спроса, доказанные в Теореме 25. То, что хиксианский спрос однороден нулевой степени по ценам очевидно. Действительно,

, . . . tp2u(x) \2 / atpiu(x)

h(tp, x) 11 11

tp2 + a2tpi / ' \tp2 + a2tpi

2
p2u(x) \2 f apiu(x)

t0h(p, x).

P2 + a2pI / \P2 + a2pI

Проверим, что u(h(p, x)) = u(x). Подставив хиксианский спрос в функцию полезности, мы получим:

u(h(p, x)) = У hi(p, x) + ay^p, x)

/ p2u(x) / apIu(x) p2u(x) apIu(x)

= \/( ;-2- )2 + aW( )2 = r^- + a T^- = u(x). Д

у p2 + a2pI у p2 + a2pI p2 + a2pI P2 + a2pI

Аналогом непрямой функции полезности в двойственной задаче потребителя является функция расходов .

Определение 26:

Функция e(p, x) = ph, где h ? h(p, x) - хиксианский спрос приданных p и x, называется функцией расходов (затрат).

Другими словами, функция расходов e(p, x) - значение целевой функции двойственной задачи в точке оптимума при данных p и x. Согласно определению, для каждого достижимого уровня полезности функция расходов указывает минимальный уровень расходов (дохода), обеспечивающий такой уровень полезности.

Теорема 26 (свойства функции расходов):

Пусть выполнены предположения Теоремы 25. Тогда

функция e(p, x) однородна первой степени по ценам: e(Ap, x) = Ae(p, x) (A > 0);

функция e(p, x) не убывает по ценам: e(p', x) ^ e(p, x) при p ^ p';

функция e(p, x) - вогнутая функция цен p;

функция e(p, x) непрерывна;

x У y тогда и только тогда, когда e(p, x) ^ e(p, y); J

Доказательство: (i) Первый пункт утверждения следует из того, что решения двойственной задачи при векторе цен p и векторе цен Ap совпадают.

Пусть p' ^ p, p' = p, h ? h(p, x) и h' ? h(p', x). Тогда ph' ^ ph = e(p, x). С другой стороны, e(p', x) = p'h' ^ ph'. (Заметим, что если h' > 0, то e(p', x) > e(p, x).)

Мы должны показать, что для двух произвольных векторов pi и p2 при 0 ^ a ^ 1 выполняется e(api+(1-a)p2, x) ^ ae(pi, x)+(1-a)e(p2, x). Пусть h - решение двойственной задачи при ценах pa = api + (1-a)p2, т. е. h ? h(pa, x). Отметим, pah = e(pa, x). Допустимое множество { h ? X | h У x } не зависит от p, поэтому потребительский набор h допустим в двойственной задаче как при ценах pi, так и при ценах p2. Из определения функции расходов и допустимости h имеем e(pi,x) ^ pih и e(p2,x) ^ p2h. Отсюда

ae(pi, x) + (1 - a)e(p2, x) < pah = e(pa, x).

Доказательство непрерывности оставляем читателю в качестве упражнения. Заметим только, что непрерывность функции расходов по ценам следует из того, что она является вогнутой (как функция цен) и определена на открытом множестве (а любая вогнутая функция непрерывна во внутренности своей области определения).

(v^) Докажем, что из x У y следует e(p, x) ^ e(p, y). Так как x У y, то все потребительские наборы, допустимые в двойственной задаче при наборе параметров (p, x), являются допустимыми в этой задаче при наборе параметров (p, y). В том числе, допустимыми являются и наборы, принадлежащие h(p, x), а это и означает что e(p, x) ^ e(p, y).

(v^) Докажем, что из e(p, x) ^ e(p, y) следует x У y. Предположим противное, то есть y У x. При этом e(p, y) = e(p, x) и, значит, h(p, y) С h(p, x). Возьмем h ? h(p, y). В силу непрерывности предпочтений и того, что X - выпуклое множество и 0 ? X, существует такое число a < 1, что ah У x .В этом случае p ? (ah) = ae(p, y) < e(p, x), что противоречит определению e(p, x) . I

На основании пункта (v) можно говорить о функции e(p, x), как о функции полезности, которая представляет исходные предпочтения. Это свойство - одно из самых важных свойств функции расходов и является ключевым при обсуждении вопроса о восстановлении предпочтений по наблюдаемой функции спроса (см. параграф 3.C).

Проиллюстрируем теперь нахождение функции расходов.

Пример 15 (продолжение Примера 11):

Найдем функцию расходов e(p, x), соответствующую функции полезности u(x) = -^/х? + ay/X2. Как было показано выше, функция хиксианского спроса для рассматриваемого потре- ,2 / "" ",/"ч \ 2ч

бителя равна h(p,x) = ^(pp+a^) , (pf+U^pI) ) ' Из определения функции расходов имеем:

/ p2u(x) \2 / apIu(x) \2

e(p, x) = pIhI(p, x)+ p2^2(p, x) = pI ?-^ + p2 ?-^ =

VP2 + a2pI/ VP2 + a2pIz

= / u(x) ^ (pI(p2)2 + a2p2(pI)2) = ( U(x)2 ) (pIp2 + a2pI)pIp2 = Vp2 + a2pI / Vp2 + a2pI / u(X) ^2(pIp2 + a2pI)pIp2 = pIp2 (u(X))2
p2 + a2pI / p2 + a2pI

На примере данной функции проиллюстрируем выполнение свойств, доказанных в Теореме 26.

Покажем, что полученная функция однородна первой степени по ценам.

e = tpItp2(u(x))2 = tpip2(u(x))2 = te(p, x).

tp2 + a2 tpI p2 + a2pI

Проверим свойство неубывания по ценам. Отметим, что

( ) = pIp2(u(x))2 = (u(x))2 e(p, x)= p2 + a2pI = л + p2 .

PI P2

Действительно при росте при росте pI величина pI убывает, что в свою очередь влечет рост значения дроби (U(x))2 , и, тем самым, рост функции расходов.

Pi + Р2

Проверим теперь вогнутость функции расходов по ценам. Матрица вторых частных про-

изводных для функции расходов e(p, x) = pip2(u(2x)) равна

(X "

P2+"2Pl

u(x)) 2a2 pip2(u(x)

(p2+a2pi)3 (p2+a2pi)3

2a2pip2(u(x))2 2a2p2(u(x))2

У (p2 +a2pi)3 (p2+a2 pi)3

H

( 2a2p2(u(x))2 2a2pip2(u(x))2'

Несложно заметить, что первый главный последовательный минор отрицателен, а второй равен 0. Значит, главные последовательные миноры чередуют свой знак, начиная с первого, который отрицателен. Таким образом, матрица H отрицательно полуопределена и, соответственно, функция e(p, x) вогнута.

Наконец проверим, что x у y ^ e(p, x) ^ e(p, y). Действительно, в силу положительности цен имеем: e(p, x) > e(p, y) ^ pigUXf > ^ (u(x))2 > (u(y))2. Так как u(x) =

/Xi + a/x2 и, тем самым, неотрицательна, то условие (u(x))2 ^ (u(y))2 эквивалентно условию u(x) ^ u(y). То есть, e(p, x) ^ e(p, y) ^ u(x) ^ u(y). Откуда по определению функции полезности имеем, что e(p, x) ^ e(p, y) ^ x у y. Д

Рассмотрим теперь вопрос о взаимосвязи прямой и двойственной задач потребителя. Следующая теорема, называемая теоремой взаимности (двойственности), устанавливает условия совпадения решений прямой и двойственной задач потребителя.

Теорема 27 (теорема взаимности /двойственности/):

Пусть X = R++ и p ? R+++, а предпочтения потребителя непрерывны. Тогда

если предпочтения локально ненасыщаемы, то x ? x(p, R) влечёт x ? h(p, x);

для любого h ? h(p, x), где x ? X, выполнено h ? x(p, e(p, x)) = x(p, ph). J

Доказательство: (i) Предположим противное. Пусть x ? h(p, x), т. е. в двойственной задаче существует потребительский набор h' ^ x такой, что px > ph'. Из локальной ненасыщаемости предпочтений следует, что существует набор h'', такой что h'' У h' ^ x, и при этом px > ph''. А это противоречит оптимальности x в прямой задаче потребителя.

(ii) Случай h = 0 очевиден, поэтому будем исходить из того, что h = 0 (и, следовательно, ph > 0). Набор h допустим в прямой задаче потребителя при ценах p и доходе ph. Предположим, что он не является решением этой задачи. Тогда существует потребительский набор x = ph ? B(p, ph)) такой, что x' У h .В силу непрерывности предпочтений найдется 0 < a < 1 такое, что ax' h. Набор ax' стоит дешевле h в ценах p, а это противоречит оптимальности h в двойственной задаче потребителя. ?

Следующая теорема является следствием предыдущей и устанавливает другие связи между характеристиками прямой и взаимной задачи потребителя.

Теорема 28 (соотношения двойственности, следствие Теоремы 27):

Пусть выполнены все предположения Теоремы 27 (включая локальную ненасыщаемость предпочтений). Тогда верны следующие тождества:

для любого x ? x(p, R) выполнено e(p, x) = R;

для любого x ? x(p, R) выполнено x(p, R) = h(p, x);

v(p,e(p, x)) = u(x);

^p^fo x)) = x). J

Доказательство: (i) Теорема 27 показывает, что для любого x ? x(p, R) выполнено x ? h(p, x). Отсюда, по определению функции расходов, e(p, x) = px. В силу локальной ненасыщаемости предпочтений px = R.

То, что для любого x ? x(p, R) выполнено x(p, R) = h(p, x), является тривиальным следствием пунктов (i) и (iv).

Пусть h ? h(p, x) при некотором x ? X. Согласно пункту (vi) Теоремы 25 при непрерывности предпочтений должно выполняться u(h) = u(x). Кроме того, по доказанной теореме двойственности h ? x(p, e(p, x)), т. е. набор h оптимален в прямой задаче при ценах p и доходе e(p, x). Таким образом, по определению непрямой функции полезности v(p, e(p, x)) = u(h), откуда v(p, e(p, x)) = u(x).

Включение h(p, x) С x(p,e(p, x)) доказано в теореме двойственности. Докажем обратное включение. Пусть x ? x(p, e(p, x)). Из пункта (i) Теоремы 27 следует, что x ? h(p, x), а из пункта (i) доказываемой теоремы - что e(p, x) = e(p, x). Из пункта (v) Теоремы 26 следует, что x ~ x. Таким образом, h(p, x) = h(p, x), и поэтому x ? h(p, x). ?

Проиллюстрируем полезность установленных соотношений двойственности. Пусть, решив задачу потребителя, мы нашли функцию спроса и непрямую функцию полезности. Как демонстрируют следующие примеры, этой информации достаточно для того, чтобы найти функцию хиксианского спроса и функцию расходов, не решая соответствующую двойственную задачу.

Пример 16:

Как показано в Примерах 11 и 13, функции полезности u(x) = д/Х7 + aY/S2 соответствует маршаллианская функция спроса

( Rp2 a2RpI \

x(p, R) -

pip2 + a2(pi)2' (p2)2 + a2pip2

и непрямая функция полезности v(p, R) = . Из соотношения v(p, e(p, x)) = u(x),

имеем ^Je(p'XpPp+a Pl) = u(x). Отсюда несложно выразить расходы через полезность: e(p, x) =

p2+a2pi o С учетом этого легко наити хиксианскии спрос:

PlP2 (u(x))2\ If P2U(x) ( ap\u(x)

x) = x(p,e(p, x)) =x . 2 , .. , 2 , ,, , 2
у P2 + a2pI J \\P2 + a2pij \P2 + a2p 1

Эти формулы совпадают с теми, которые получены в Примерах 15 и 14. Д

Пример 17:

Для гомотетичных предпочтений (однородной функции полезности) непрямая функция полезности и спрос имеют следующий вид: v(p, R) = a(p)R и x(p, R) = Rx(p, 1) (см. Примеры 10 и 12). Используя соотношения двойственности, несложно увидеть, что функция расходов

и хиксианская функция спроса имеют вид

e(p,x) = ^, h(p,x) = x(p,e(p,x)) = u(p)x(p,1)- Д

Рис. 3.3. "Толстая" кривая безразличия

Рассмотрим теперь пример, когда хиксианский и маршаллианский спрос не совпадают. Для построения этого примера достаточно рассмотреть предпочтения, не обладающие свойством локальной ненасыщаемости. В качестве таковых, рассмотрим предпочтения, порождающие "толстую" кривую безразличия (такие кривые безразличия появятся, например, если взять в качестве функции полезности целую часть какой-нибудь "нормальной" функции полезности). Хиксианский спрос всегда будет лежать (случай двух благ) на левой границе "толстой" кривой безразличия. На Рис. 3.3 эта граница изображена темной линией. Маршаллианский же спрос может лежать внутри "толстой" кривой безразличия. (Найдите его на приведенном рисунке!)

В этом параграфе мы рассмотрели прямую и двойственную задачи потребителя, изучили их свойства и рассмотрели некоторые основные соотношения связывающие эти задачи. В следующем параграфе мы продолжим рассмотрение основных свойств данных задач, используя аппарат дифференциального исчисления.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос:

  1. Оглавление
  2. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  3. 3.1.4 Задачи
  4. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
  5. Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
  6. 3.B.3 Задачи
  7. 3.5 Задачи к главе
  8. 1.5. Двойственность в модели потребителя
  9. 2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  10. 3.2. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ
  11. 5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  12. Вопрос 149. Содержание финансового менеджмента и его место в системе управления организацией. Цели и задачи и предмет финансового менеджмента
  13. §2. Минимизация расходов потребителя при заданном уровне полезности.
  14. §2. Эффект замещения и эффект дохода.
  15. Задача операционного рычага
  16. 4.1. Приоритетные направления бюджетного финансирования расходов в области государственной закупочной деятельности
  17. Теория выбора местоположения с точки зрения минимизации издержек
  18. Фискальная политика. Мультипликатор государственных расходов и совокупный спрос
  19. Инвестиционные расходы и инвестиционный спрос
  20. Задача 2. Определите коэффициент эластичности спроса по формуле центральной точки и тип эластичности для трех товаров по данным таблицы.