<<
>>

3.1.4 Задачи

^ 90. Пусть допустимое потребительское множество

X = { x е R+ XiХ2 + xi ^ 1 }

потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p, R).

Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p, R) бюджетное множество пусто?

^ 91. Пусть допустимое потребительское множество

X = { x ? R+ Ж1Ж2 Z 2 } ,

потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество непусто?

^ 92. Пусть допустимое потребительское множество x1 ,x2 - целые

X = { x ? R+ потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя.

^ 93. Пусть допустимое потребительское множество X = R+, потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?

^ 94. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p. Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где h - время, которое потребитель посвящает работе, а w - почасовая ставка оплаты труда. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда бюджетное множество невыпукло.

^ 95. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дискретно).

В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt, исходя из вогнутой производственной функцией f (kt) производит некоторый товар, который может либо потребить ct, либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать) . Капитал предполагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1 > 5 > 0. Начальный запас капитала в нулевой момент времени равен ko. Предположим также, что значения ct, kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Покажите, что оно выпукло.

^ 96. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым? ^ 97. Докажите Теорему 22.

^ 98. При каких условиях в пунктах (vi) и (vii) Теоремы 22 нестрогие знаки (в том числе включения) могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще говоря, неверен.

^ 99. Для каждой из нижеприведенных функций найдите маршаллианскую функцию спроса, непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Проиллюстрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской функциями

спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов. (a) u(x) = xI + X2; (b) u(x) = /XI + /X2; (c) u(x) = /XT + X2;

(d) u(x) = XIX2; (e) u(x) = ln(XI) + Xf; (f) u(x) = ; (g) u(x) = x2 + x2; (h) u(x) = min{xI,Ж2}; (i) u(x) = max{xI,Ж2};

(j) u(x) = min{2x1 - x2, 2x2 - x1}; (k) u(x) = 28x1 + 28x2 - 2xF - 3x1x2 - 2x2; (l) u(x) = xF + x2 + 4x1 + 4x2 + 2x1x2 + 6. Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллианской функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса, функции расходов.

^ 100. Приведите пример функции полезности, для которой...

средства, расходуемые потребителем на приобретение каждого блага, составляют постоянную (и положительную) долю совокупных расходов потребителя;

спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и совокупных потребительских расходов;

спрос потребителя на первые l - 1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ;

спрос потребителя на первые l - 1 благо зависит лишь от цены данного блага;

структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к величине 1 блага, j = 1,..., l);

множество оптимальных потребительских наборов при некоторых значениях цен и доходов не является выпуклым множеством.

^ 101.

Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функция полезности v(p, R) имеет вид v(p, R) = a(p) + b(p)R для тех значений p и R, при которых оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количествах).

^ 102. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.

^ 103. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискретным (доступные уровни его потребления - целые числа), а потребитель имеет квазилинейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне 1, 2,...?

^ 104. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезности - выпуклая функция цен.

^ 105. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l-ое благо входит линейно, то хиксианский спрос на первые l - 1 благо не зависит от выбора кривой безразличия. Каков вид функции расходов в этом случае? При каких предположениях это справедливо?

^ 106. Докажите Теорему 25.

^ 107. Рассмотрите функцию полезности u = A-Х2 (A > 0), где Ж1 Z 0, 0 ^ Ж2 < A.

Является ли эта функция полезности вогнутой? Является ли она квазивогнутой? Изобразите на графике кривые безразличия.

Найдите функцию спроса. Какими свойствами она обладает?

^ 108. [ABB] Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y, z) = \fx + ^/y + y + z/(1 + z).

Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна.

Покажите, что если (x, y, z) ? R+ и z > 0, то (x, y + z, 0) У (x, y, z).

Пусть p > 0 и p2 = p3. Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство z(p, R) = 0.

Рассмотрите последовательность цен pn = (1,1/n, 1/n). Чему равны пределы z(pn, R)

и y(p^ R) ?

^ 109. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возможно (или докажите, что это невозможно), маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую функцию полезности и функцию расходов для потребителя с лексикографическими предпочтениями.

^ 110. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23-27 для случая, когда доход потребителя формируется за счет продажи начальных запасов w.

^ 111. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23-27 для случая, когда доход потребителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель. ^ 112. [MWG] Рассмотрите функцию расходов следующего вида:

e(p, x) = expi ^ ak ln(pk) + ( П ^k) u(x)

^keK ^keK ' '

При каких ограничениях на параметры ak, вк данная функция является функцией расходов? С учетом ответа на первый вопрос найдите отвечающую ей непрямую функцию полезности. ^ 113. Пусть непрямая функция полезности имеет вид a(p) + b(p)R. Какими свойствами должны обладать функции a(p) и b(p) для того, чтобы данная функция была непрямой функцией полезности рационального потребителя.

^ 114. Функция полезности называется псевдовогнутой, если из условия Vu(x)(y - x) ^ 0, следует, что u(y) ^ u(x). Покажите, что если функция полезности является псевдовогнутой, то условия Куна- Таккера являются достаточными условиями для нахождения решения задачи потребителя. Покажите, что любая вогнутая функция является псевдовогнутой, а любая псевдовогнутая функция является квазивогнутой.

^ 115. Пусть функция полезности равна u(x) = (Xi + X2 - 2)3. Цена на первый товар равна 1, а на второй - 2. Доход потребителя равен 3. Проверьте, что целевая функция квазивогнута и локально ненасыщаема. Покажите, что точка (1,1) удовлетворяет условиям Куна- Таккера, но не является оптимальной.

^ 116. Пусть функция спроса некоторого потребителя равна x(p, R) = (jR, (I-', а непрямая функция полезности равна v(p, R) = a ^ . Найдите функцию расходов и хикси-

р"р2 ;

анский спрос.

^ 117. Покажите, что функция v(p, R) = R + R удовлетворяет всем свойствам непрямой функции полезности и вычислите на ее основе функцию расходов и функции спроса (маршал- лианского и хиксианского).

^ 118. Проверьте выполнение соотношений двойственности (взаимности) в случае, если поведение потребителя описывается функцией полезности: u(x) = [XIX2], где [?] - оператор взятия целой части.

^ 119. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид u(x) = Y^i=i uj(Xj). Запишите достаточные условия оптимальности для задачи потребителя в предположении, что потребитель имеет выпуклые, локально ненасыщаемы предпочтения. Покажите, что если ui(Xi) ^ при Xi ^ 0, то потребитель покупает все блага в положительных количествах.

^ 120. Пусть обобщенная функция полезности, представляющая некоторые нетранзитивные предпочтения, имеет вид A(x, y) = y- I/2X1/2 + ln(X3) - X- i/2y2/2 - 1П(Уз). Найдите маршаллианский спрос данного потребителя. (Для пояснения обозначений см. Теорему 21 на с. 59.)

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.1.4 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности