<<
>>

3.3.3 Задачи

^ 137. Выведите формулы (о) и (оо) (см. с. 92).

^ 138. Покажите, что если блага комплементарны ??/не определено/, то эффект замены отсутствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.

^ 139. Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых ??/не определено/ товаров

^ 140. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-заменителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла): "Благо 1 называется субститутом блага 2, если д^2 < 0". "Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если ^p2 > 0".

Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.

Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (приведите их) свободны от парадоксов такого типа.

^ 141. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обратное?

^ 142. Могут ли все блага быть малоценными, если предпочтения локально ненасыщаемы? ^ 143. Пусть все исходные данные те же, что и в Примере 21. Укажите геометрическое место точек, среди которых может находиться спрос потребителя, обладающего квазилинейными предпочтениями.

^ 144. В экономике присутствует два товара. Потребитель имеет локально ненасыщаемые предпочтения. Функция спроса на первый товар имеет вид X1(p, R) = ЗР1 . Найдите

компенсирующее изменение дохода по Слуцкому при p = (1,1), p' = (1, 4) и R = 121. ^ 145. Пусть непрямая функция полезности некоторого потребителя имеет вид v(p, R) = MIN{Ri p2}. Найдите компенсирующее изменение дохода по Хиксу при p = (1,1), p' = (1, 4) и 21.

^ 146. Пусть потребитель имеет однородную первой степени функцию полезности.

При ценах p = (1,1) и доходе R = 5 его функция спроса была равна x(p, R) = (2, 3).

Определите геометрическое место точек, которые могут представлять спрос потребителя, если на покупку первого товара ввели налог в размере 20% от цены, а доход потребителя остался неизменным.

Налог на доход потребителя??? изменился с 20 до 40 процентов. Ответьте на тот же вопрос.

^ 147. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид u(x) = Y^i=1 Ui(xi). Кроме того, предположим, что каждое слагаемое положительно

однородно степени a. Z 0. Покажите, что спрос данного потребителя удовлетворяет закону спроса.

3Ср. с Теоремой 80 в гл. 6 на с. 223.

^ 148. Пусть набор x является внутренним в потребительском множестве, и является спросом потребителя при некоторых ценах и доходе.

Докажите, используя уравнение Эйлера, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной степени a (0 < a < 1) функцией полезности, то левая часть в неравенстве ( ) равна нулю.

Дайте интерпретацию полученных результатов в их связи с законом спроса.

Докажите, пользуясь предыдущими результатами, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной первой степени функцией полезности, принимающей положительные значения, то выполнен закон спроса.

^ 149. Проверьте выполнение упоминавшихся в данном параграфе достаточных условий закона спроса в случае функции полезности вида

u(x) = x т Ax + b т x,

v ' 2

где A - симметричная положительно определенная матрица.

^ 150. Функция полезности Андрея Экономова, u(-), зависит от потребления двух благ. Его доход - Rn д. е., цена первого и второго блага - 1 д. е. Его шефы предлагает ему работу без изменения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цена второго в два раза выше. Экономов еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в A д.

е. Однако, он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на B д. е. Чему равны A и B ?

Решите задачу при u(x) = Ш1П{Ж?,Ж2} и R0 = 240.

Решите задачу при u(x) = 4Ж?Ж2 и Rn = 10.

^ 151. Николай Здоровяков потребляет только два блага - кофе и сигареты, причем может потреблять их только так, чтобы на чашку кофе приходилось три сигареты. Цена чашки кофе - 9 д. е., а цена сигареты - 2 д. е. Доход Николая составляет 180 д. е. в день. Правительство ввело 50%-й налог на сигареты. Найдите изменение потребительского излишка, компенсирующую и эквивалентную вариации. Сравните их (по абсолютной величине) с налоговыми доходами правительства, полученными от Николая.

^ 152. На потребление одного из благ (первое) введен налог, так что цена блага для потребителя для потребителя стала равной pi +1, где pi - исходная рыночная цена. Цены остальных благ и доход потребителя остались неизменными. Пусть if - эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увеличением цены блага, а T - поступление от налога, xi(pi) - функция спроса.

Объясните, почему величину -if - T можно назвать чистыми потерями от налога.

Запишите формулы для if и T и покажите, что чистые потери неотрицательны.

Предложите аналогичный измеритель чистых потерь, основанный на компенсирующей вариации. Совпадают ли эти два измерителя?

^ 153. не по теме задача?? Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе благо - деньги (используемые на приобретение других благ), и функция полезности квазилинейна: u(x) = V(X?) + X2. Пусть, далее, ri - резервная цена приобретения i -ой единицы первого блага и определяется соотношением

u(i - 1, x2 - (i - 1)ri) = u(i, x2 - iri).

(а) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на него удовлетворяет соотношению: rn ^ pi ^ rn-i. При каких условиях верно и обратное утверждение?

(b) 3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

(b) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) =Yi Г, а потребительский излишек

CS = v(n) + R - p1™

совпадает с "чистой" выгодой от приобретения первого блага

(c) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем самым потребление второго блага на величину компенсации).

^ 154. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности ?? и вычислите на этой основе их величины при l = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1,1), p1 = (2,1), когда...

предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;

блага абсолютно заменимы;

блага комплементарны;

предпочтения описываются функцией Кобба- Дугласа.

^ 155. Проделайте то же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда цена на первое благо падает (R0 = R1 = 100, p0 = (0,5,1), p1 = (1,1)). Сравните результаты.

^ 156. В ситуациях, рассмотренных в двух предыдущих задачах, проиллюстрируйте на графике поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек.

^ 157. В экономике есть два блага. Цена второго блага и доход потребителя остаются неизменными.

Для заданной на плоскости (x1,p) системы кривых спроса Хикса на первое благо изобразите возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо.

Укажите на графике соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек при (i) падении и (ii) росте цены первого блага.

Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка в разных ситуациях, различающихся типом благ (нормальное/ малоценное благо) и характером изменения цен (падение/рост)?

^ 158. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия экономической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и доход потребителя остались неизменными. Как соотносятся компенсирующая, эквивалентная вариации и потребительский излишек в случае если...

цена первого блага выросла и первый товар нормальный;

цена первого блага выросла и первый товар - товар Гиффена;

цена первого блага упала и первый товар малоценный;

цена первого блага упала и первый товар - товар Гиффена? Докажите соответствующие неравенства.

^ 159. Покажите, что при изменении одной цены ACS обладает свойством аддитивности. ^ 160. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R0, а цена первого блага меняется с p° до p1. Спрос потребителя таков, что эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна п.

(a) Проинтерпретируйте условие постоянства эластичности спроса по доходу как дифференциальное уравнение для спроса (рассматриваемого как функция дохода). Решите это уравнение и покажите, что

Объясните, почему из леммы Шепарда следует следующее дифференциальное уравнение для функции расходов (рассматриваемой как функция цены первого блага):

de

- = x I (p I, e). dpI

Подставив в это дифференциальное уравнение соотношение из пункта (а), решите его, исходя из того, что n < 1, и покажите, что

e(p°, x)I -n - e(pI, x)I -n = (1 - n)(R°)-4ACS,

pi °

где ACS = f ii x I(t, R°)dt - изменение потребительского излишка, связанное с рассматрива-

pi

емым изменением цены первого блага.

Выразите e(p °, xI) и e(p I, x I) через R° и эквивалентную вариацию, связанную с рассматриваемым изменением. Покажите, что при n < 1 эквивалентная вариация является функций эластичности, дохода и изменения потребительского излишка следующего вида: i

1-7 - R°.

if = R°

1 + VACS Получите аналогичную формулу для компенсирующей вариации при n < 1, выразив для этого e(p I,x°) и e(p I,x°) через R° и компенсирующую вариацию.

Получите формулы для эквивалентной и компенсирующей вариаций при n = 1.

^ 161. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R° , а цена первого блага меняется с p° до p . Непрямая функция полезности потребителя имеет форму Гормана

v(p,R) = a(p) + b(p)R.

(а) Записав определение компенсирующей вариации Cf с помощью непрямой функции полезности, покажите, что

v(p I, R°) - v(p I, R° - Cf) = v(p I, R°) - v(p°, R°). Выведите отсюда формулу

fЛ " dR = /p1 x I(,.*) dt,

./д1-cv dR Jpi dR

воспользовавшись тождеством Роя.

(b) Приняв во внимание форму непрямой функции полезности, покажите, что

Cf = /Pi x i(t,R°)-^dt.

Jpi b(p D

(с) Применяя тождество Роя и меняя порядок дифференцирования (gp-gR = дДзр"), покажите, что для непрямой функции полезности указанного вида выполнено

db(p i) dx i (p i,R),, , - -b(pi).

dp I dR

Решите соответствующее дифференциальное уравнение и выразите ^JpxY через J^1 ) dt.

(d) Покажите, пользуясь предыдущими результатами, что компенсирующая вариация вычисляется по следующей формуле Сида:

гч/ Г? J Г dx1(t, R0) | Р0л, CV = J expj - dR dtJx1(pbR0)dpb

(e) Покажите, что если в рассматриваемом случае эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна п, то формула Сида примет вид: R

- R0 ACS

0
1 - e R

CV = - п Подсказка: Введите обозначение

I(p1) = ACS(p1,p1) = Г' X1(t, R0)dt

-'p1

и воспользуйтесь тем, что X1(p1,R0) = I'(p1).

(f) С использованием формулы, выведенной в предыдущем пункте, продемонстрируйте, что компенсирующая вариация и потребительский излишек должны совпадать в случае квазилинейных предпочтений.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.3.3 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи