<<
>>

3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов

Существует простой способ выбора уникальной функции полезности, представляющей данные предпочтения. Если зафиксировать некоторый вектор цен p, то можно поставить задачу для данного набора x ? X подобрать эквивалентный ему набор h ? X, который бы стоил как можно меньше в ценах p.

Тогда набору x в качестве величины полезности можно сопоставить стоимость набора h в ценах p, т. е. ph.

Рис. 3.14 иллюстрирует эту идею. Набор x' определяет кривую безразличия. Среди наборов на этой кривой h' имеет наименьшую стоимость в ценах p (наклон штриховой линии, проходящей через h' соответствует отношению цен). Так же точно h'' при тех же ценах имеет наименьшую стоимость среди наборов, эквивалентных x''. Поскольку x' лежит на более высокой кривой безразличия, чем x'', то его полезность ph' будет выше, чем полезность x'', равная ph''.

- Х2 Xl

Рис. 3.14. Функция расходов как функция полезности

Очевидно, что выбранная указанным способом функция полезности является функцией расходов (см. Определение 26 на с. 77). Действительно, нам известно (см. Теорему 26), что при фиксированных ценах p функция расходов e(p, x) = ph(p, x) = px(p, e(p, x)) представляет собой функцию полезности:

x у y ^ e(p, x) ^ e(p, y).

В этом разделе мы покажем, что знание системы функций спроса позволяет восстановить функцию расходов, а, следовательно, и предпочтения на множестве потребительских наборов, которые могут быть выбраны потребителем при некоторых значениях цен и доходов, т. е. на множестве значений спроса. В последующем мы обсудим, как имеющаяся информация о спросе потребителя позволяет восстановить (оценить) предпочтения и для остальных потребительских наборов.

Заметим сначала, что по лемме Шепарда (Теорема 29)

de(p, x)

- = hi(p, x),

dpi

где по определению h(p, x) = x(p, e(p, x)). Тем самым, мы имеем систему дифференциальных уравнений относительно функции расходов e(p, x) при фиксированном x:

^^ x) f f чч

= xi(p,e(p,x))

или

Vp e(p, x)= x(p, e(p, x)). (B)

К ней следует добавить граничные условия e(p', x) = R, где p' - вектор цен, который при доходе R может породить спрос x, т.

е. такой вектор цен, что x = x(p', R).

Решая эти уравнения, мы для каждого набора x из области значений функции спроса найдем значение функции расходов e(p, x) при всех возможных ценах p, т. е. минимальное значение расходов потребителя, достаточное, чтобы при ценах p обеспечить ему не меньший уровень полезности, чем тот, который обеспечивается набором x.

Будем предполагать в дальнейшем, что функция спроса имеет является непрерывно дифференцируемой (и по ценам, и по доходу). Можно заметить следующее. Если функция e(p) является решением системы дифференциальных уравнений (1X1), то она является дважды непрерывно дифференцируемой. Кроме того, l х l матрица S(p, R) с элементами Sj(p, R) = dxdi?'R) + дЖгддД)Xj(p, R) ("матрица замены") должна быть симметричной. Действительно, продифференцировав уравнения (1X1) по ценам, увидим, что матрица S совпадает с матрицей вторых производных по ценам функции e(-). Но последняя матрица должна быть симметричной (согласно теореме Юнга).

Оказывается, симметричность матрицы S является не только необходимым, но и достаточным условием существования и единственности решения системы (1X1). Это классический результат теории дифференциальных уравнений в частных производных (так называемая теорема Фробениуса). Кроме того, известно, что решение будет непрерывно дифференцируемой функцией параметров p', R, задающих граничные условия. Заметим, однако, что эти результаты гарантируют существование только локального решения. Для того, чтобы гарантировать существование глобального решения, нужны дополнительные предположения .

Пример 26:

Продемонстрируем восстановление функции расходов e(p, x) из функции спроса вида x(p, R)

( VTT-^; 7-Ч*2 ) . Мы не проверяем выполнение требуемых условий, так как, фактиче-

Vpip2+a.2(pi)2 ' (P2)2+"2Р1Р2 J ft- t- J J i > т

ски, все это уже было сделано в предыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:

de ep2 de a2epi

dpi P1P2 + a2(pi)2 dp2 (P2)2 + a2PiP2

Решим первое уравнение, рассматривая pi как переменную, а p2 и x как параметры.

Заметим, что оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Кроме того, дробь Щт,-г, допускает разложение Щг,-уг = - ^- . Используя это, можем

^ PlP2+a2(Pl)2 J 1 PlP2+a2(Pl)2 Pi P2+"2Pi J '

записать de Г dp1 Г a2dp1

+ const.

Интегрируя, получим

или

J e J pi J P2 + a2Pi ln(e) = ln(pi) - ln(p2 + a2pi) + const,

e = A Pi

P2 + a2 pI

где A зависит от P2 и x, которые мы при решении рассматривали как неизменные параметры: A = A(p2, x).

Подставим полученное выражение для e(p, x) во второе уравнение и получим дифференциальное уравнение для A:

dA p1 _ A P1 _ A a2p1 p1

dp2 p2 + a2p1 (p2 + a2p1)2 (p2)2 + a2p1p2 p2 + a2p1

или

dA ^ a2p1 A 1 ^ 1 dp2 (p2)2 + a2p1p2 p2 + a2p1 p2'

Отсюда

f dA Г dp2

-- = + const.

A p 2

Интегрируя, получим решение следующего вида: A(p2) = Bp2, где B - множитель, который зависит от набора x, который мы в данном случае рассматривали как постоянный параметр, т. е. A(p2, x) = B(x)p2.

Таким образом, получили следующее выражение для функции расходов:

f \ Ш \ P1P2

e(p, x) = B (x) ?-.

p2 + a2p1

Для вычисления B(x), требуется использовать граничные условия. Для этого сначала найдем цены, при которых потребитель предъявит спрос на данный набор x (другими словами, найдем обратную функцию спроса p(x, R)). Уравнения спроса

Rp2 a2Rp1 Х1 = -IT и X2 =

p1p2 + a2(p1)2 (p2)2 + a2p1p2

при этом следует рассматривать как систему уравнений относительно цен p1 и p2 . Данную систему несложно преобразовать к виду

/ХГ = _p2_ V ж2 ap1' p1X1 + p2 X2 = R.

Это дает линейные уравнения относительно p1 и p2, решая которые, найдем

R aR

P1 = , ^ и p2 =

+ (Vx! +

Подставив эти цены в функцию расходов, мы должны получить доход R:

p1p2

B(x) :-TT~ = R.

p2 + a2p1

Отсюда найдем выражение для B(x):

s R(p2 + a2p1)

B (x) = = Л/Ж1 + av/X2.

p1p2 Окончательно, получим следующую функцию расходов:

e(p, x) = -;-- (VX1 + aVx2).

p1p2 p2 + a2 p1

Как мы уже говорили, функция расходов при фиксированных ценах есть функция полезности. Поскольку первый множитель здесь не зависит от потребительского набора x, то он не представляет интереса при восстановлении предпочтений. Поэтому более простая функция B(x) = Y/xT + aY/ж2 тоже является функцией полезности, порождающей рассматриваемый спрос.

Заметим, что предложенное здесь решение можно упростить, положив (без потери общности) p2 = 1 и интегрируя только по первой цене. Д

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов:

  1. Оглавление
  2. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  3. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  4. 2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения
  5. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  6. 3.1.4 Задачи
  7. 3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений
  8. 3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов
  9. 3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве потребительских наборов
  10. 4.3 Восстановление технологического множества
  11. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  12. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  13. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения