<<
>>

3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве потребительских наборов

Из проведенного выше анализа следует, что знание системы функций спроса (полученной на основе максимизации полезности) позволяет восстановить предпочтения (представляющие их функции полезности) на каждом потребительском наборе, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R.

Однако, вообще говоря, не все возможные потребительские наборы принадлежат области значений системы функций спроса.

Так, функции полезности u(xI,x2) = min{2xI - Ж2, 2x2 - XI} соответствует система функций спроса, для которой xI(p, R) = X2(p, R). Как несложно понять, предложенное правило не позволяет задать полезность для наборов (xI,x2) таких, что xi = x2.

Заметим, что хотя, вообще говоря, нам не удалось построить полностью функцию полезности, но зато, фактически, мы построили полностью непрямую функцию полезности v(p, R) = e(p0, x(p, R)). Непрямую функцию полезности такого вида принято называть денежной непрямой функцией полезности (см. Определение ?? на с. ??). Денежная непрямая полезность p(q; p, R) - это непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), если рассматривать последнюю как функцию полезности.

Мы столкнулись здесь с частным проявлением общей проблемы: хотя каждая функция полезности однозначно определяет непрямую функцию полезности, обратное, вообще говоря, неверно. Т. е. по непрямой функции полезности v(p, R) = u(x(p, R)) не всегда можно восстановить обычную функцию полезности.

Тем не менее, по информации, содержащейся в функции спроса или непрямой функции полезности, можно построить некоторые аппроксимации для соответствующей прямой функции полезности. Эта аппроксимация оказывается достаточно хорошей в том смысле, что совпадает с функцией полезности всюду на множестве значений функции спроса и порождает по существу тот же спрос, что и данная функция полезности. Покажем это.

Пусть функция полезности u(-) определена на множестве допустимых потребительских наборов X, однако она известна (восстановлена) только на множестве X, где X - множество значений функции спроса, определенной на P х R++, где P - некоторое множество цен.

Можно доопределить функцию полезности на множестве X\X на основе выявленных предпочтений, что, как мы покажем, дает оценку сверху для функции полезности в точке x ? X\X.

Приведем соответствующее построение. Рассмотрим некоторый набор x из X. По определению x = x(p, R) при некоторых ценах p и доходе R. Если при этих ценах и доходах рассматриваемый набор x мог быть куплен, то можно с уверенностью сказать, что набор x не может быть лучше, чем x. По аналогии с анализом выявленных предпочтений можно сказать, что набор x выявленно не лучше, чем x. Таким образом, для рассматриваемой функции полезности должно выполняться соотношение u(x) ^ u(x) = u(x(p, R)). Следовательно, u(x) ^ v(p, R) при всех ценах и доходах, таких что px ^ R. Это дает следующую оценку для u(x):

u(x) < inf { v(p, R) | p ? P, px < R } .

(Поскольку непрямая функция полезности v(p, R) положительно однородна нулевой степени, то в качестве дохода R здесь можно взять произвольное положительное число, например, R = 1.)

Возникает идея рассматривать в качестве аппроксимации функции полезности эту оценку, полученную на основе выявленных предпочтений, а именно,

u*(x) = inf { v(p, R) | p ? P, px < R } .

Другими словами, в качестве полезности набора x выбираем значение следующей задачи:

v(p, R) ^ inf

pep (9)

px ^ R.

Заметим, что в общем случае речь должна идти об инфимуме, а не о минимуме. Это объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не обязательно является замкнутым. В частности, целевая функция (непрямая функция полезности) может быть не определена в случае, когда хотя бы одна из цен обращается в ноль. В силу этого замена ин- фимума на минимум невозможна, так как последний может, вообще говоря, не существовать. В то же время, инфимум существует, хотя при некотором значении параметров и может быть равен -то.

В принципе, данная процедура позволяет построить "функцию полезности" u*(x) на множестве всех наборов благ. Однако ясно, что она может не везде совпадать с исходной функцией полезности.

Мы можем быть уверены только, что u*(x) ^ u(x), поскольку это непосредственно следует из определения функции u*(-). Если x - вектор, который не реализуется как спрос участника ни при каких ценах и доходе (при которых x является допустимым в задаче потребителя), то u(x) может быть меньше u*(x). Приведем соответствующий пример.

Пример 27:

Рассмотрим случай приведенной выше функции полезности

и(ж1,ж2) = min{2x1 - ж2, 2ж2 - ж1}.

Тогда непрямая функция полезности (как и в случае леонтьевской функции полезности u(x1, Ж2)

min{x1,x2}) имеет вид v(p,R) = JRR Г. Найдем значение u*(x) при P = R++, т. е. значе-

MMAX {p1 ,p2 } +

ние задачи

R o f

inf

max{p1,p2} PI,P2>o p1X1 + p2X2 ^ R.

Рассмотрим сначала случай положительного потребительского набора (Ж1,Ж2 > 0). Из "бюджетного ограничения" следует что p. ^ R, откуда max{p1,p2} ^ MIN{Ri ж2}. Таким образом, u*(x1,x2) ^ min{x1,x2}. Покажем, что это точная нижняя граница, построив соответствующую последовательность цен. Пусть, например, Ж1 ^ Ж2. Рассмотрим последовательность {(p?,p2)}, где

PI = R2L, P- = R (1 - 2- x1 2n ж2 V 2ny

Для этой последовательности цен p™ ^ p- , поэтому

R R ж2

v(pn,R) =

max{pn,p2} p22 (1 -

Таким образом, u*(x1,x2) = ж2 = min{x1,x2}. При ж1 ^ ж2 аналогично u*(x1,x2) = ж1 = min{x1, ж2}.

Если ж. = 0, то найдется допустимая последовательность с p- = n, которая обеспечивает u*(x1,x2) = 0 = min{жL,ж2}. Таким образом, u*(ж1,ж2) = min{жL,ж2} при любом допустимом наборе x. Д

Несмотря на возможность несовпадения, данная аппроксимация обладает свойствами, делающими ее полезной для моделирования поведения потребителя: во-первых, u*(x) = u(x) для всех точек x из области значений функции спроса, во-вторых, функция u*(-) порождает по существу тот же спрос, что и исходная функция полезности.

Теорема 39:

Пусть u(-) - исходная функция полезности, v(-, ?) - соответствующая ей непрямая функция полезности, а функция u*(-) построена на основе задачи (ф) указанным выше способом. Предположим, что x - оптимальный потребительский набор при ценах p ? P и доходе R > 0, т. е. x ? x(p, R). Тогда верно следующее:

Вектор цен p является решением задачи (ф) с x = x и R = R, и выполнено u(x) =

v(p,R) = u*(x).

Набор x является решением задачи потребителя с функцией полезности u*(-) при при ценах p ? P и доходе R > 0. J

Доказательство: (i) Пусть p ? P - произвольный вектор, являющийся допустимым в задаче (ф) c x = x и R = R, т. е. px ^ R. Это неравенство, с другой стороны, означает, что x допустим в задаче потребителя при ценах p и доходе R. Этот набор не может иметь большую полезность, чем набор x ? x(p, R), являющийся оптимальным в задаче потребителя при ценах p и доходе R, т. е. u(x) ^ u(x), или v(p, R) ^ v(p, R). Отсюда следует, что p оптимален в задаче (ф) c x = x и R = R. Таким образом, мы получили, что v(p, R) = u*(x).

(ii) Пусть x - произвольный потребительский набор, удовлетворяющий бюджетному ограничению при ценах p и доходе R: p x ^ R. Рассмотрим задачу (ф) с x = x си R = R. Цены p являются допустимыми в этой задаче, а u*(x) - значение этой задачи. Поэтому v(p, R) ^ u*(x). Как только что доказано, u*(x) = v(p, R), поэтому u*(x) ^ u*(x). I

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве потребительских наборов:

  1. Оглавление
  2. 2.3 Неоклассические предпочтения
  3. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  4. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  5. Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения
  6. 3.B.1 Оценки для верхнего лебеговского множества
  7. 3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов
  8. 3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве потребительских наборов
  9. 3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса
  10. 5.5.1 Задачи
  11. 6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  12. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  13. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
  14. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя