<<
>>

3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса

В предыдущих пунктах данного параграфа мы предполагали, что рассматриваемые функции спроса порождены задачей максимизации некоторой функции полезности. В этом пункте мы откажемся от данного априорного предположения и укажем на те свойства функций спроса, которые позволяют построить предпочтения, приводящие к тем же функциям спроса (т.

е. рационализовать рассматриваемый спрос). Предположим, что функция x(p, R) определена на P х R++, где P С R++ - некоторое открытое выпуклое множество векторов цен (например, P = R++), и X С R1 - область значений этой функции. Необходимые условия того, что данная функция порождена моделью рационального поведения, нам известны:

Функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

Функция спроса x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса (p, x(p, R)) = R (если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы).

? Матрица замены

29

является симметричной и отрицательно полуопределенной

29Отрицательная полуопределенность матрица замены является следствием закона спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому, который, в свою очередь, следует из слабой аксиомы выявленных предпочтений (см. пункт 3.3.1). Поэтому отрицательную полуопределенность матрицы замены здесь можно заменить на требование выполнения для спроса слабой аксиомы выявленных предпочтений.

дж. + дж. ж dpj dR j

Возникает вопрос о том, можно ли рационализовать эту "функцию спроса" некоторой функцией полезности на X. Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т. е. любая функция, удовлетворяющая этим условиям (и еще некоторым техническим условиям, которые упоминались ранее), может быть порождена моделью рационального поведения.

Заметим, что приведенные условия не являются независимыми, поскольку из последних двух следует первое, так что фактически выполнение закона Вальраса для данных функций спроса и симметричность и отрицательная полуопределенной матрицы коэффициентов замены являются достаточными условиями существования предпочтений, порождающих эти функции спроса.

Покажем это.

Теорема 40:

Пусть функция спроса x(p, R) дифференцируема по ценам и доходу, удовлетворяет закону Вальраса (px(p, R) = R), а матрица коэффициентов замены + x-j , является симметричной, тогда функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу. J

Доказательство: Рассмотрим вектор-функцию fi(t) = xi(tp,tR), где i - одно из благ. В силу дифференцируемости функции спроса по ценам и доходу для любого t > 0 имеем, что (при проведении этих выкладок для упрощения записи аргументы (tp, tR) функции спроса и ее производных будем опускать):

,.//. \ dxi dxi л v-v dxi dxi

fi(t) = j dP" pj + dR"R = j j + dRpx =

^ /dxi dxi \ (dxi dxi A (dx- , dx- \

= j pj + dRpj j = j p4dP" + dRj = j p4dP" + dRx"J =

E9x j ^-> dx j

pj dp-+xi j pj dRj = -xi+xi = 0. j i j

При проведении этих преобразований мы воспользовались тождествами p- + xi = 0

и 2- P-dj = 1, которые получаются путем дифференцирования уравнения закона Вальраса (см. Теорему 33 на с. 89). Таким образом, fi(t) - константа и, тем самым, для любого t верно, что fi(t) = fi(1), откуда x(tp,tR) = x(p, R) = t0x(p, R). Последнее и означает, что функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу. ?

Перейдем теперь к построению предпочтений, рационализирующих данные "функции спроса". По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, когда априорно предполагается, что данный спрос порожден задачей максимизации полезности, для этих функций можно определить "функцию расходов" на P х X, так что она удовлетворяет дифференциальным уравнениям

Vpe^ x) = x(p,e(p, x))

с граничными условиями e(p', x) = R, где p' - такой вектор цен, что x ? x(p', R). При этом полученная функция e(-, ?) обладает следующими свойствами:

Функция e(p, x) дифференцируема по p.

Функция e(p, x) однородна первой степени по p.

Функция e(p, x) не убывает по p, если функция спроса неотрицательна.

Функция e(p, x) вогнута по p, в силу отрицательной полуопределенности матрицы Слуцкого.

o Если для некоторого p верно соотношение e(p, x) = e(p, x'), то оно также верно и для любого p', т.

е. e(p', x) = e(p', x'). (Данное свойство ни что иное, как следствие единственности решения предложенного дифференциального уравнения.)

Покажем, что при любом фиксированном векторе цен q ? P для функции полезности u(x) = e(q, x) функция x(p, R) задает спрос потребителя. Предварительно докажем ряд вспомогательных утверждений. Первое из них показывает, что упорядочение потребительских наборов на основе полученных таким образом "функций расходов" не зависит от выбора конкретной функции расходов, т. е. фиксированного вектора цен, используемого для расчета стоимости потребительских наборов.

Теорема 41:

Пусть x, x' ? X и при некотором векторе цен p ? P выполнено

e(p, x) ^ e(p, x').

Тогда аналогичное соотношение выполняется для любого другого вектора цен q ? P:

e(q, x) ^ e(q, x'). J

Доказательство: Случай, когда для некоторого p ? P справедливо соотношение e(p, x) = e(p, x'), очевиден, как уже упоминалось, в силу единственности решения. Поэтому разберем случай, когда для некоторых цен p ? P выполнено e(p, x) > e(p, x'). Предположим противное, а именно, что нашлись такие цены q ? P, для которых e(q, x) < e(q, x'). Рассмотрим функцию f (t) = e(p + t(q - p), x) - e(p + t(q - p), x'). Эта функция непрерывна, так как непрерывна по ценам функция e(-, ?). Кроме того, f (0) > 0 > f (1), откуда в силу непрерывности следует существование такого t, что f (1) = 0. Другими словами найдется такой вектор q ? P, что для него справедливо равенство e(q, x) = e(q, x'). Но это означает, что равенство должно выполняться и для первоначального вектора цен, т. е. e(p, x) = e(p, x'). Противоречие. I

Заметим теперь, что поскольку e(p, x) однородна первой степени по p, то по формуле Эйлера e(p, x) = pVpe(p, x) для всех x ? X и p ? P. По построению функции e(-, ?), если набор x является значением спроса при ценах p, т. е. x = x(p, px), то x = Vpe(p, x) (откуда следует, что e(p, x) = px). Данные свойства функции e(-, ?) позволяют установить следующее утверждение.

Теорема 42:

Для каждого набора x ? X и вектора цен p' ? P выполнено e(p', x) ^ p'x. J

Доказательство: Поскольку x ? X, то этот набор представим в виде x = x(p, R) при некоторых p ? P и R > 0. Вогнутость функции e(-, ?) по ценам влечет, что e(-, ?) как функция цен лежит ниже своей касательной, поэтому выполнено неравенство

e(p',x) ^ e(p,x) + (p' - p)Vpe(p,x),

откуда, сократив e(p, x) и pVpe(p, x), получим

e(p', x) ^ p'Vpe(p, x).

Подставляя вместо градиента x, получаем требуемое соотношение. I

Поясним смысл доказываемого неравенства. Пусть e(-, ?) - функция расходов рационального потребителя. По определению e(p', x) - это минимальные расходы в ценах p' на достижение по крайней мере того уровня благосостояния, который обеспечивается вектором x. Сам вектор x может не минимизировать расходы, поэтому, вообще говоря, e(p', x) ^ p'x.

Другими словами, выполнение неравенства e(p', x) ^ p'x - это одно из свойств функции расходов рационального потребителя. Таким образом, Теорема 42, фактически, устанавливает, что сконструированная как решение дифференциального уравнения "функция расходов" не противоречит одному из естественных требований, связанных с рациональностью.Более того, как тривиальное следствие Теоремы 42 получаем, что данная "функция расходов", рассматриваемая как функция полезности, действительно рационализует предпочтения, т. е. порождает точно такой же спрос, как тот, на основе которого она построена.

Пусть x' - некоторый набор из X. Для этого набора найдутся цены p' ? P, такие что x' = x(p', p'x'). Из доказанной только что теоремы следует, что если взять X в качестве множества потребительских наборов, e(-, ?) как функцию второго аргумента в качестве функции полезности, p' в качестве вектора цен, а e(p', x') в качестве дохода, то x' является решением соответствующей задачи потребителя. Другими словами, x' является решением задачи

e(p', x) ^ max xex

p'x ^ e(p', x').

Действительно, возьмем произвольный набор x ? XX, такой что p'x ^ e(p', x'). По доказанной теореме для него выполнено p'x ^ e(p', x), и, следовательно, e(p', x') ^ e(p', x).

Заметим далее, что в качестве функции полезности в задаче потребителя мы могли бы взять e(q, ?) с любым вектором цен q ? P. Отсюда следует, что функция e(q, ?) рационализует x(-, ?) на XX .А именно, при всех ценах и доходах x(p, R) является решением соответствующей задачи потребителя:

e(q, x) ^ max px ^ R.

Отметим, что в данном случае условие симметричности "матрицы замены" S - это условие математической интегрируемости (т. е. условие существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений), а ее отрицательная полуопределенность - условие экономической интегрируемости, которое гарантирует, что найденное решение рационализует спрос.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса:

  1. Оглавление
  2. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  3. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  4. 3.3.1 Сравнительная статика: зависимость спроса от дохода и цен. Закон спроса
  5. Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
  6. 3.B.3 Задачи
  7. 3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений
  8. 3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса
  9. 5.2.4 Избыточный спрос
  10. 6.2.1 Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса
  11. 6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  12. Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса
  13. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  14. 1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
  15. 1.5. Рационализуемые стратегии
  16. Глава III Спрос на деньги: теория и практика оценки
  17. § 1. Спрос на деньги: история проблемы