<<
>>

5.4.1 Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной суммы полезностей

Чтобы находить границу Парето, удобно пользоваться вспомогательной задачей. Сопоставим каждому из потребителей число aj ^ 0, такое что ?iei aj = 1, и рассмотрим следующую задачу максимизации взвешенной суммы полезностей на множестве допустимых состояний экономики:

Задача поиска оптимума Парето

EajUj (Xj) ^ max

x,y

jei

(X, у) GE. (Pa)

Здесь (x, y) G E означает, что (x, y) - допустимое состояние экономики E.

Чтобы показать связь этой задачи с Парето-границей, введем также вспомогательное понятие слабой Парето-границы.

Определение 50:

Допустимое состояние экономики (x, y) является строгим Парето-улучшением для допустимого состояния (x, y) или, другими словами, строго доминирует его по Парето, если для каждого потребителя i G I выполнено xi >-i xi.

Допустимое состояние экономики (x, y) принадлежит слабой границе Парето, WP, если не существует другого допустимого состояния, которое строго доминирует его по Парето.

Очевидно, что по определению обычная (сильная) граница Парето P всегда содержится в слабой границе Парето WP, т. е. P С WP.

Теорема 65:

Если (x, y) - решение задачи (Pa), то (x, y) принадлежит слабой границе Парето, а если, кроме того, ai > 0 Vi G I, то (x, y) принадлежит (сильной) границе Парето.

Пусть множества Xi выпуклы, функции полезности Ui(-) непрерывны и вогнуты, технологические множества Yj- выпуклы. Тогда если (x, y) принадлежит слабой границе Парето, то найдутся такие неотрицательные ai (Еie/ ai = 1), что (x, y) является решением задачи (Pa). J

Доказательство: (1) Предположим, что существует решение задачи (Pa), (x, y), которое не принадлежит слабой границе Парето. Тогда найдется такое допустимое состояние (x, y), что Ui(xi) > Ui(xi) Vi G I. При этом значение целевой функции задачи (Pa) будет больше в точке x, чем в точке x, а это противоречит тому, что (x, y) - решение задачи (Pа). Доказательство для случая положительных коэффициентов и обычной (сильной) границы Парето полностью аналогично.

(2) Пусть (x, y) принадлежит слабой границе Парето.

Введем обозначение

u(x) = (ui(xi),... ,Un(xn))

и рассмотрим следующее множество:

U- = { v G RN | 3(x, y) G E : v < u(x) } .

Множество U- непусто, так как u(x) G U-. Покажем, что U- - выпуклое множество. Пусть v' G U- и v" G U-. Это означает, что существуют допустимые состояния экономики, (x', y') и (x'', y''), такие что v' ^ u(x') и v'' ^ u(x''). Выпуклая комбинация этих состояний,

(ex' + (1 - e)x'', ey' + (1 - в)y''), где в G [0,1],

является допустимым состоянием экономики. Так как Ui(-) - вогнутые функции, то

u(ex' + (1 - e)x'') ^ eu(x') + (1 - e)u(x'').

Это означает, что ev' + (1 - в)v'' ^ u(ex' + (1 - e)x''), т. е. выпуклая комбинация точек из U- тоже принадлежит U- :

ev' + (1 - в)v'' G U-, при в G [0,1].

Множество u(x) + R++ = { v G RN | Vi > Ui(xti) Vi G I} также является непустым и выпуклым.

Поскольку (X, у) принадлежит слабой границе Парето, то рассмотренные множества не имеют общих точек:

U- П (u(X) + R++) = 0,
в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый потребитель имел бы большую полезность, чем в (X, у). По теореме отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость, т. е. существуют вектор a G RN, a = 0 и число b, такие что

av ^ b при v G U-

и av

^ b при v G u(X) + R++. Покажем, что a ^ 0. Предположим, что существует потребитель i, для которого aj < 0. Тогда если v G u(X) + R++, то v + tej G u(X) + R++, где t - положительное число, ej - i-й орт. Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v + tej) < b, а это противоречит тому, что v + tej G u(X) + R++.

Рассмотрим последовательность vN = u(X) + 1/N? 1, где 1 - вектор, состоящий из единиц. Поскольку vN G u(X) + R++ VN, то avN ^ b. Переходя к пределу, получим au(X) ^ b .С другой стороны, u(X) G U- и au(X) ^ b. Следовательно, au(X) = b.

Рис. 5.4.

Таким образом, мы доказали существование гиперплоскости в RN, с коэффициентами a 0, которая проходит через u(X) и разделяет множества U- и u(X) + R++ (см.

Рис. 5.4). Возьмем в качестве коэффициентов aj нормированные коэффициенты aj:

aj

aj =

Eje J aj

Не существует допустимого состояния (x, у), такого что

EajUj(xj) > Ea^X"). jei jei

Действительно, для такого состояния выполнено u(x) G U- , откуда au(x) ^ au(X). Разделив это неравенство на ? aj, получим au(x) ^ au(X). Это означает, что (X, у) является решением задачи (Pа). ?

Из этой теоремы следует, что множество решений задачи (Pа) при неотрицательных коэффициентах совпадает со слабой границей Парето и, следовательно, содержит в себе границу Парето. С другой стороны, множество решений задачи (Pa) при положительных коэффициентах содержится в границе Парето. Другими словами, эта задача позволяет получить для

границы Парето оценки сверху и снизу. Кроме того, если сильная и слабая границы Паре- то совпадают, то задача (Pа) полностью характеризует границу Парето. Следующая теорема предлагает возможные условия, при которых такое совпадение имеет место.

Теорема 66:

(1) Если у каждого потребителя Xi = R+, предпочтения строго монотонны и непрерывны, то сильная граница Парето совпадает со слабой: P = WP.

(2) Если предпочтения каждого потребителя полустрого монотонны и непрерывны, то все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также принадлежат и слабой границе Парето. J

Доказательство: (1) Поскольку P С WP, то достаточно доказать только, что WP С P. Пусть это не так, т. е. существует допустимое состояние (x, y), принадлежащее слабой границе Парето, но не сильной.

Поскольку (x, y) не принадлежит границе Парето, то существует другое допустимое состояние (x, y), такое что xi ^i xi Vi G I и 3iO G I : xi0 >-i0 xi0.

Из строгой монотонности следует, что xi0 0, поэтому xi0 не может быть нулевым вектором. Следовательно, потребитель iO потребляет хотя бы одно благо k в положительном количестве: Xi0k > 0. Пусть ek - k-й орт (вектор, где на k-м месте стоит 1, а на остальных местах - 0). Рассмотрим последовательность перераспределений (N = 1, 2,...)

xii0(N) = xi0 - Nek,

x i(N )=x i+NN-)ek Vi=IO.

По свойству строгой монотонности, имеем xxi(N) >-i xi(N) Vi = iO VN. Кроме того, для потребителя iO найдется достаточно большой номер N, такой что набор xxi0 (NV) допустим и (по свойству непрерывности предпочтений) xxi0 (NV) >-i0 xi0.

Таким образом, мы нашли допустимое распределение (xxi0(N"), y) которое строго доминирует допустимое распределение (x, y), чего быть не может, так (x, y) принадлежит слабой границе Парето.

(2) Доказательство второй части теоремы оставляется в качестве упражнения. ?

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 5.4.1 Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной суммы полезностей:

  1. Оглавление
  2. 3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса
  3. 4.2 Задача производителя и ее свойства
  4. 5.4.1 Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной суммы полезностей
  5. 5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето
  6. 5.4.3 Задачи
  7. 5.5 Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния
  8. 5.5.1 Задачи
  9. 5.2 Задачи к главе
  10. 6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
  11. 7.6.1 Задачи
  12. 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
  13. 10.2.1 Задачи