<<
>>

5.5.1 Задачи

^ 290. Привести пример равновесия в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, в котором первая теорема благосостояния была бы не применима из-за нарушения предположений, и равновесие нарушало бы ее утверждение.

Можно привести графический пример, либо указать конкретные начальные запасы, Ui, U2, функции полезности Wi(-), U2(-) и равновесие (p, x).

^ 291. Привести пример равновесия в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, в котором первая теорема благосостояния была бы не применима из-за нарушения предположений, но утверждение первой теоремы благосостояния оставалось бы справедливым.

^ 292. Привести пример экономики обмена с двумя потребителями и двумя благами, графический или с конкретными начальными запасами и, функциями полезности Wi(-), U2(-), и состоянием этой экономики x, для которой вторая теорема благосостояния не применима и

утверждение второй теоремы благосостояния остается справедливым.

утверждение второй теоремы благосостояния неверно.

^ 293. Сформулируйте предположения первой теоремы благосостояния для экономики обмена.

^ 294. Сформулируйте предположения второй теоремы благосостояния для экономики обмена.

^ 295. Сформулируйте и докажите теоремы благосостояния в модели обмена в условиях строгой монотонности, строгой выпуклости предпочтений и положительности совокупных начальных запасов.

^ 296. Для каждого из предположений второй теоремы благосостояния покажите (приведя соответствующий пример), что отказ от этого предположения приводит к тому, что утверждение теоремы оказывается неверным.

^ 297. Что можно сказать о соотношениях предельных норм замены товаров в потреблении и производстве в точке равновесия? Связано ли это соотношение с отсутствием Парето-улуч- шающего изменения состояния? Если данное соотношение нарушается, как следует строить Парето-улучшение данного состояния экономики?

^ 298.

Пусть допустимые потребительские наборы задаются неравенствами Xj ^ 0. Какие из функций полезности представляют предпочтения, удовлетворяющие условиям первой и (или) второй теоремы благосостояния? 1) и(ж1,ж2) = ж1 , 2) и(ж1,ж2) = -ж1 , 3) и(ж1,ж2) = const, 4) и(ж1,ж2) 22 = Ж1 + Ж2 , 5) и(ж1,ж2) = ^жТ + ^, 6) и(ж1,ж2) = ш1П(Жт,Ж2 }, 7) и(ж1,ж2) = ехр(ж1)ж2, 8) и(ж1,ж2) = ж1 ж2 , 9) и(ж1,ж2) = ж1 - 3ж2 , 10) и(ж1, ж2) = ж1 + 2ж2.

^ 299. Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. Какие дополнительные условия гарантируют, что на основе точки начальных запасов можно построить равновесие?

^ 300. Пусть в экономике обмена с двумя потребителями их функции полезности равны

uI(XI) = ж^ + ж^2,

и

U2(X2) = X2I + Ж22.

Найти Парето-границу. Какие из точек Парето-границы можно реализовать как равновесие подбором цен и распределения собственности? Решите эту задачу в случае, когда

суммарные начальные запасы двух благ одинаковы,

суммарные начальные запасы двух благ различаются.

^ 301. В классической экономике обмена с двумя потребителями, функции полезности последних, заданные на R+, равны

uI = ^ЖГ - уЖ, U2 = 6 + xI - Ж2,

ui = min{xi, ж2}, u2 = 6 - xi + ж2,

UI = , U2 =6 - XI - Ж2 .

В каких из трех экономик окажется, что. . .

любое равновесие Парето-оптимально (почему именно в этих, а в других - нет?),

любое Парето-оптимальное состояние X > 0 можно превратить в равновесие подбором распределения собственности (почему именно в этих, а в других - нет?).

^ 302. Сформулируйте и докажите вариант первой теоремы благосостояния (о Парето-опти- мальности равновесий) на основе сопоставления дифференциальных характеристик Парето- оптимальных и равновесных состояний. Какие дополнительные предположения о свойствах функций полезности (помимо дифференцируемости) необходимо сделать?

^ 303. Первая теорема благосостояния (о Парето-оптимальности равновесий) доказывается от противного: предполагаем, что существует альтернативное к равновесному состояние (X, Y), более желательный для некоторого потребителя i.

Условие локальной ненасыщаемости (сформулировать) используется для того, чтобы проверить, что:

альтернативный вариант дороже чем равновесный для потребителя i; Б) спрос сбалансирован с предложением в равновесии;

Укажите словами верный вариант взамен приведенных и запишите его формулой. ^ 304. В доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптимума), не использующем дифференцируемость, условие выпуклости используется для того, чтобы

применить теорему к множествам

Сформулируйте применяемую теорему и определение соответствующих множеств. ^ 305. В доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптимума), использующем дифференцируемость, условие выпуклости используется для того чтобы с помощью теоремы доказать, что соответствующие компоненты построенного

состояния экономики являются решениями задач Сформулируйте применяемую теорему, соответствующие задачи и способ применения теоремы. ^ 306. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-опти- мума как равновесия), использующем дифференцируемость, условия на градиенты функций

нужны для того, чтобы применить Теорему к задаче

^ 307. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптиму- ма как равновесия) при отсутствии свойства локальной ненасыщаемости не удается показать,

что , так как может оказаться что

(сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное рисунком).

^ 308. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптиму- ма как равновесия) при невыполнении условия выпуклости предпочтений не удается показать,

что , так как может оказаться что

(сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное рисунком). ^ 309. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптиму- ма как равновесия) при невыполнении условия, что рассматриваемая точка - внутренняя,

не удается показать, что , так как может оказаться что

(сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните,

сказанное рисунком).

^ 310. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о Парето-оптимальности равновесных распределений) при невыполнении условия локальной ненасыщаемости, не удается показать, что , так как может оказаться что

ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное рисунком).

^ 311. Пусть два потребителя (потребление первого обозначим Ж , потребление второго обозначим z) в классической ситуации обмена имеют функции полезности

ux(x) = ж? + ж2, uz (z) = czi + dz2,

где x ^ 0, z ^ 0, и обладают начальными запасами шх и шх.

а) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ш) можно гарантировать, что состояние экономики, не улучшаемое по Парето, можно реализовать как равновесие?

Предположим, что в этой экономике осуществилось равновесие.

б) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ш) можно гарантировать, что оно не улучшаемо по Парето?

в) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ш) можно утверждать, что для обоих потребителей оно не лучше, чем начальное состояние?

г) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ш) можно утверждать, что для одного из потребителей оно не лучше, чем начальное состояние? О каком из потребителей идет речь? ^ 312. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности их(жГ,ж2) = lnЖг + lnЖ2, а другой - uz(zI, Z2) (Жг,Ж2, ZI,Z2 ^ 0). Начальные запасы равны шх = (1,1) и шх = (2,1).

Укажите функцию uz (?) и равновесие Вальраса такие, что равновесное состояние не является Парето-оптимальным состоянием данной экономики.

Какое условие теоремы (какой?) при этом будет нарушаться? Объяснить, почему это равновесие не Парето-оптимально. ^ 313. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(жГ,ж2), а другой - uz(zI, z2) = zI +z2 (Ж1, Ж2, zI, z2 ^ 0). Начальные запасы равны шх = (4,1) и шх = (2, 2).

Укажите функцию ux(-) и равновесие Вальраса в соответствующей экономике такие, что равновесное состояние этой экономики не является Парето-оптимальным. Объяснить, почему это равновесие не Парето-оптимально.

Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается? ^ 314. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности их(жГ, Ж2) = 2Жг + Ж2, а другой - uz(zI,z2) (Ж1, Ж2, zI, z2 ^ 0). Начальные запасы равны шх = (3, 2) и шх = (2,1).

Укажите функцию uz(?) такую, что не каждый Парето-оптимум можно реализовать как равновесие. Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается?

Какие именно Парето-оптимальные состояния нельзя реализовать как равновесие. Объяснить, почему.

^ 315. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной производственной функцией g(y) = -yI - и один потребитель с функцией полезности и(жГ,ж2).

Начальные запасы равны (^1,^2) = (2, 0). Известно, что функция полезности может быть одного из трех видов: u = ШШ(АЖТ, Вж2), u = тах(Аж1, Вж2) или же u = АЖТ + Вж2. Выберите функцию и подберите параметры А и B так, чтобы точка (ж1,ж2) = (1,1) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на графике с помощью множества производственных возможностей и кривых безразличия.

^ 316. В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности и^ж^жш), где жгА,жш ^ 0. Суммарные начальные запасы равны (WEA,^EB) = (2, 2). Известно, что U2 = У/ж2А + ж2В, а функция полезности 1-го может быть одного из трех видов: uI = a ln(1 + ЖТА) + в 1П(1+ЖТВ), uI = аж1А +вж1в или же UT = а(ж1^)2+в(ж1в)2. Выберите функцию и подберите параметры a и в так, чтобы точка (ЖТА, ЖТВ) = (2, 0) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме Эджворта.

^ 317. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной производственной функцией g(y) = -yI - У2 и один потребитель с функцией полезности u(жL,ж2). Начальные запасы равны (^1,^2) = (1, 3). Известно, что функция полезности может быть одного из трех видов: u = ШШ(АЖТ,Ж2) , u = АЖТ + ж2 или же u = тах(ж1ж2, A). Выберите функцию и подберите параметр A так, чтобы точка (ж1, ж2) = (1, 1) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему ее нельзя реализовать как равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на графике с помощью множества производственных возможностей и кривых безразличия.

^ 318. В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности ^(ж^жш), где жгА,жш ^ 0. Суммарные начальные запасы равны (WEA,^EB) = (2, 2). Известно, что uI = (ЖТА)2 + (ЖТВ)2, а функция полезности 2-го может быть одного из трех видов: u2 = тах(ж2А, a+ ж2В), u2 = аж2А + ж2В или же u2 = аж2Аж2В. Выберите функцию и подберите параметр a так, чтобы точка (ЖТА, ЖТВ) = (1, 2) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме Эджворта.

^ 319. Какие из нижеприведенных функций полезности соответствуют условиям 1-й теоремы благосостояния?

I. ^ж^ж^ = -1/ЖТ - 1/ж2, II. ^ж^ж^ = ЖТ - ж2, III. ^ж^ж^ = 100,

а) I и II.

б) I и III.

в) II и III.

г) только I.

^ 320. Для выполнения первой теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезности удовлетворяла свойствам. . .

а) только локальной ненасыщаемости,

б) локальной ненасыщаемости и вогнутости,

в) дифференцируемости и вогнутости,

г) только вогнутости.

^ 321. Для выполнения второй теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезности удовлетворяла свойствам. . .

а) локальной ненасыщаемости,

б) локальной ненасыщаемости и вогнутости,

в) вогнутости,

г) вогнутости и дифференцируемости.

^ 322. Если функция полезности одного из потребителей является локально ненасыщаемой, то.. .

а) первая теорема благосостояния несправедлива;

б) бюджетное ограничение выполняется как равенство;

в) точка равновесия не является внутренней;

г) вторая теорема благосостояния несправедлива.

^ 323. Вторая теорема благосостояния может не выполняться, если...

а) у одного из потребителей в его множестве потребительских наборов есть наилучший набор;

б) технологические множества выпуклы;

в) функция полезности хотя бы одного из потребителей недифференцируема;

г) функция полезности хотя бы одного из потребителей локально ненасыщаема.

^ 324. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид

UI = Ж11 + 2уЖ2 и U2 = 2^ж2Г + Ж22.

Начальные запасы 1-го потребителя равны (1, 3), а 2-го - (2,1).

Пусть ж1Г = 2, ж12 = 1, ж21 = 1, ж22 = 3, рГ = 1, p2 = 1, ТГ = -1, T2 = 1.

(а) Покажите формально, что (p, x, T) является равновесием с трансфертами.

(б) Является ли это равновесие оптимальным по Парето? Обоснуйте свой ответ.

^ 325. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет вид

u = 2^жГ + ж2,

а его начальные запасы равны (3,1). Технология единственного предприятия задана неявной производственной функцией

g = -У1 +

Пусть жГ = 4, ж2 = 3/4, уГ = 1, y2 = -1/4.

(а) Покажите формально, что (x, y) является Парето-оптимальным состоянием.

(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.

^ 326. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид

UI = Ж11 + и U2 = 2^ж2Г + Ж22.

Начальные запасы 1-го потребителя равны (2, 4), а 2-го - (1,1). Пусть ж1Г = 1, ж12 = 2, ж21 = 2, ж22 = 3.

(а) Покажите формально, что x является Парето-оптимальным состоянием.

(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.

^ 327. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет вид

u = Жг + 2^52,

а его начальные запасы равны (3, 0). Технология единственного предприятия задана неявной производственной функцией

g = Уг - У2.

Пусть Жг =2 , Ж2 = 4, yI = -1, y2 = 4, pI =2, p2 = 1.

(а) Покажите формально, что (p, x, y) является равновесием.

(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.

^ 328. При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена (с m потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтениями, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распределение, состоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие? При каких ценах?

^ 329. Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. При каких дополнительных условиях можно гарантировать существование и единственность равновесия в этой экономике?

^ 330. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями полезности uI = ж1, u2 = ж1, совокупные начальные запасы которых положительны > 0. Покажите формально, что:

а) Любая точка ящика Эджворта (xI ? [0,wT] х [0, ]) принадлежит слабой и сильной границе Парето.

б) Каждую из точек ящика Эджворта можно реализовать как равновесие, и при этом p2 = 0.

^ 331. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями 12

полезности uI = ж1, u2 = ж2 совокупные начальные запасы экономики положительны (> 0 ). Покажите формально, что:

а) Правая (ж1 = , ж2 ? [0, ]) и нижняя (ж1 ? [0,wT], ж1 = 0) стороны ящика Эджворта составляют слабую границу Парето, а правый нижний угол (xI = (W>t)) - сильную Парето-границу.

б) Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых неотрицательных ценах.

^ 332. Пусть, как и в Примере 3???, потребители имеют линейные функции полезности с положительными коэффициентами,

Ut = а1ж1 + в1ж1 и u2 = а2ж1 + в2ж2,

совокупные начальные запасы экономики положительны (> 0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от значений коэффициентов.

^ 333. Пусть в ситуации Примера 4??? (uI = ln ж1 +ln ж2, u2 = ж1 + ж2) совокупные начальные запасы экономики положительны (> 0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от величины начальных запасов.

^ 334. Первый потребитель имеет функцию полезности с "толстой" кривой безразличия

{ГУ"1 rv"2 гу1 гу2 ^ О

ж1 ж1, ЖТЖТ < ^,

2, 2 ^ ж1ж1 ^ 3, и u2 = ж2 + ж2.

1 2 1 2 ЖТЖТ ±, ЖТЖТ ^ О
В ситуации Примера ???5 при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите формально сильную и слабую границы Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие. Как соотносятся между собой эти три множества?

^ 335. В ситуации Примера 6??? (uT = -(ж1 - 1)2 - (ж2 - 1)2, u2 = 2жт + ж2) при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие.

^ 336. В ситуации Примера 7??? (Ui = ж1 + у^Ж^, U2 = ж2) при положительных совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие.

^ 337. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми предпочтениями потребителей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов? ^ 338. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми выпуклыми предпочтениями потребителей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов?

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 5.5.1 Задачи:

  1. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
  2. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  3. 1.2. Сущность, цели и задачи PR
  4. Бизнес-план позволяет решать целый ряд задач, но основными из них являются следующие:
  5. Тема 2 СУЩНОСТЬ, ЗАДАЧИ И ФУНКЦИИ БАНКОВСКОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  6. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ ОБЕСПЕЧИВАЕТ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ:
  7. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  8. ГЛАВА 2. Модели и алгоритмы решения задачи распределения производственных ресурсов промышленного предприятия
  9. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  10. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  11. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  12. 2.4.1 Задачи
  13. 2.5.1 Задачи
  14. 2.B.3 Задачи
  15. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности