<<
>>

5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена

Приведем альтернативный вариант теоремы существования равновесия в модели обмена, в котором, в отличие от теоремы существования, приведенной в основном тексте, используются более слабые условия на избыточный спрос.

Теорема 70:

Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям: ^ E(p) непрерывна на S+-1 = j p > 0 pk = 1 }.

^ E(p) положительно однородна нулевой степени на S+-1.

^ Выполнено тождество pE(p) = 0 Vp e S+-1 (закон Вальраса).

^ Функции избыточного спроса ограничены снизу, т. е. существует число t, такое что

Ek(p) > t Vk, Vp e S1-1.

^ Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности, т. е. если pn e S1-1 и pn ^ p0 при n ^ то, причем существует благо k', такое что pk' =0, то

max(Ek(pn)) ^ то при n ^ то.

k

Тогда существует вектор p e , такой что E(p) =0. J

Доказательство: Доказательство условно разобьем на три этапа:

Построение отображения единичного симплекса S1-1 в себя.

Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и применение к нему теоремы о неподвижной точке.

Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных цен, рассматриваемой экономики.

Этап 1. Каждой цене p e S+-1 сопоставим множество

g(p) = { q e S1-1 | qE(p) ^ q'E(p) Vq' e S1-1 } ,

и тем самым, построим отображение g(-) из S+-1 в S1-1. Другими словами, значение отображения g(p) - множество всех векторов цен из S1-1, максимизирующих стоимость избыточного

спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому неравновесному вектору цен p ? S+"1 (т. е. в данном случае вектору p такому, что E(p) = 0) данное отображение ставит в соответствие подмножество (грань меньшей размерности) симплекса цен, а любому равновесному вектору - весь симплекс цен.

На границе симплекса цен 51_1\5+_1 определим g(p) по правилу:

g(p) = { Я ? S1-1 qp = 0 } = { q ? S1-1 qk = 0, если pk > 0 } .

Отметим, что множество g(p) непусто при любом p ? S1-1.

Этап 2.

Выпуклозначность построенного отображения очевидна в силу того, что условия, определяющие множества g(p), линейны. Таким образом, для доказательства существования неподвижной точки остается показать, что отображение g(-) имеет замкнутый график.

Предположим, что последовательности {pn} ? S1-1 и {qn} ? S1-1 с пределами p0 и q0 соответственно таковы, что qn ? g(pn). Покажем, что q0 ? g(p0). Возможны две ситуации: (1) p0 ? S+-1, (2) p0 ?S1-1\S+-1.

В случае p0 ? S+-1 существует N, такое что при n > N выполнено pn ? S+-1. Возьмем произвольный вектор q' ? S1-1. При n > N выполнено

qnE(pn) ^ q'E(pn).

Переходя к пределу, получим, что q0E(p0) ^ q'E(p0). Тем самым, мы показали, что в этом случае q0 ? g(p0).

Рассмотрим теперь случай, когда p0 ? S1-1 \S+-1. Пусть k - благо, для которого pk > 0 . Покажем, что при достаточно больших n выполнено qf = 0. Тем самым мы покажем, что q° = lim qf = 0, и, следовательно, q0 ? g(p0).

Если pn ? S1-1 \S+-1, то по определению отображения g(-) имеем qf = 0. Таким образом, нам осталось доказать в случае pn ? S+-1, что если pk > 0, то при достаточно больших n выполнено qf = 0. По закону Вальраса имеем

p?Efc(pn) = - Е РП'Ey (pn).

fc'=fc

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем

- Е pn Ey (pn) < -t Е pf = -1(1-pn).

fc'=fc fc'=fc

Отсюда

w (тПЛ t(1 - pf) Efc(p ) ^ n .

pn

Поскольку pf сходится к положительному пределу, это означает, что значение Ey(pn) ограничено сверху. С другой стороны, величина maxs{Es(pn)} стремится к бесконечности. Поэтому при достаточно больших n выполнено неравенство

Ey(pn) < max{Es(pn)}.

Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q ? g(pn) должен иметь qk = 0. Действительно, согласно определению g(-) для любого вектора q' из S1-1 должно быть выполнено q'E(pn) ^ qE(pn). Однако, если бы qk > 0, то при Ey(pn) < maxs{Es(pn)} мы могли бы построить на основе вектора q вектор q' для которого q'E(pn) > qE(pn). Действительно, пусть s - такое благо, для которого Ey (pn) < Es(pn).

Для получения требуемого противоречия можно взять q' = q - qkek + qkes, где ek и es - соответствующие орты.

Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(-) имеет замкнутый график.

Поскольку отображение g(-) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непустое компактное выпуклое множество S1-1 в себя, то к нему применима теорема Какутани, и существует неподвижная точка p e S1-1:

p e g(p).

Этап 3. Покажем, что неподвижная точка отображения g(-) является вектором цен равновесия.

Неподвижная точка p отображения g(-) не может принадлежать границе симплекса цен (S1-1\S+-1). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p e S1-1\S+-1 при всех q e g(p) должно быть выполнено равенство qp = 0. Если бы p e g(p), где p e S1-1\S+-1, то мы имели бы pp = ||pУ2 = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p = 0, не принадлежащая симплексу цен.

Таким образом, p > 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(p) = 0 . Покажем это формально.

Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(p) = 0 и p > 0, то существуют s и s', такие что Es(p) > 0 и Es' (p) < 0. Поскольку p e g(p) и p > 0, то по определению g(p) для любого q e S1-1 должно быть выполнено pE(p) ^ qE(p). Однако, так как Es(p) > Es' (p), то достаточно взять следующий вектор q : = ps + ps , = 0, qk = pk, k = s, s', чтобы получить pE(p) < qE(p). Мы пришли к противоречию.

Тем самым мы доказали существование цен p, при которых избыточный спрос равен нулю. ?

1

Рис. 5.11. Иллюстрация доказательства теоремы существования

Данное доказательство можно проиллюстрировать графически (см. Рис. 5.11). На рисунке B - неподвижная точка отображения g(-). Данное отображение определено на симплексе AC, и отображает точки отрезка AB, за исключением точки B, в точку C, точки отрезка BC, за исключением точки B, - в точку A, а точку B - во весь симплекс (отрезок AC).

Опираясь на доказанную Теорему 70, можно показать, что в моделях обмена при непрерывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей равновесие существует, если совокупные начальные запасы строго положительны, т. е. шЕ > 0. Это утверждение очевидно в силу того, что функция избыточного спроса в модели обмена при данных условиях на предпочтения потребителей является непрерывной, положительно однородной нулевой степени и удовлетворяет закону Вальра- са на S+-1. Ограниченность избыточного спроса снизу следует из того факта, что спрос потребителей неотрицателен (в качестве константы t можно взять t = - maxk wEk).

Для того, чтобы продемонстрировать выполнение условий Теоремы 70 для случая непрерывных, строго выпуклых и строго монотонных предпочтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна

из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально.

В силу того, что p0 ? S1-1 и шЕ > 0, имеем, что p0^s > 0. Таким образом, существует потребитель i, такой что p0^ > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого потребителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как

n0

pn стремиться к p0 , т. е.

max x^k(pn) ^ то при n ^ то,

k

что и доказывает, что

max Ek(pn) ^ то при n ^ то.

k

Теорема 71:

Пусть {pn} ? S1-1 - последовательность цен, причем pn ^ p0 при n ^ то, и существует благо к, такое что pk = 0. Предположим, что:

Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.

Начальные запасы потребителя ш таковы, что p0^ > 0 .

Тогда

max Xk(pn) ^ то при n ^ то. ,

k -I

Доказательство: Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т. е. существует некоторое число A, такое что 0 ^ Xk (p) ^ A для всех к ? K .В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность {pnt} такая, что

x(pnt) ^ x.

Так как x(pnt) - оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго монотонны, то при ценах pnt выполняется бюджетное равенство, т. е.

pnt x(pnt) = pnt ш.

Переходя в этом тождестве к пределу, получим, p0X = . Пусть pk = 0. Тогда в силу

kk

строгой монотонности предпочтений x + aek У x, где a - некоторое строго положительное число, а ek - орт. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое 5 > 0, что x У x, где x = x + aek - 5es, а s - номер товара, для которого p° > 0. Очевидно также, что

p0x = p0x + apk - 5p0 = p0x - 5p0 < p0x.

В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N, такое что x У x(pnt) для каждого t > N.

Так как pnt ^ p0 и x(pnt) ^ x, то

lim pnt (x(pnt) - x) = p0(x - x) > 0.

Из определения предела следует, что найдется число M, такое что для каждого t большего M справедливо, что pnt (x(pnt) - x) > 0, т. е.

pntx(pnt) > pntx.

Таким образом, мы получили, что при t > max{M, N} набор x строго лучше набора x(pnt) и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора x(pnt). Таким образом, не существует A такого, что 0 ^ Xk(p) ^ A для всех к, т. е. maxk Xk (pn) ^ то при n ^ то. ?

Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях. Теорема 72:

Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Хг = R+ Vi, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны, строго выпуклы и монотонны, а совокупные начальные запасы положительны (> 0). Тогда в этой экономике существует равновесие, такое что p e R++. J

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена:

  1. Оглавление
  2. 5.2.2 Модели общего равновесия
  3. 5.3 Существование общего равновесия
  4. 5.5.1 Задачи
  5. Приложение 5.A Теоремы существования равновесия
  6. 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
  7. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре
  8. 13.1.4 Существование равновесия при монополии
  9. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
  10. Существование равновесия при монополии
  11. Теоремы существования общего равновесия
  12. Экзамен по микроэкономике для студентов 5 курса
  13. 2.1. Макроэкономический анализ состояния национальной экономики на базе моделей IS, LM, IS-LM, общеэкономического равновесия Кейнса, исследование влияний экономических инструментов на условия равновесия и параметрическое регулирование статического равновесия национальной экономики на основе модели Кейнса
  14. 2.2. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование статического равновесия национальной экономики на базе модели маленькой открытой страны
  15. 4.1. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики 4.1.1. Описание модели, параметрическая идентификация и ретроспективный прогноз
  16. 4.1.2. Макроэкономический анализ на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики.
  17. Анализ источников экономического роста на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики.
  18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ 11.6.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ
  19. Понятие динамического равновесия в экономике. Простейшая модель равновесия