<<
>>

5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре

??

Ниже будет предложено утверждение (о существовании квазиравновесия), на основе которого могут быть установлены различные условия существования равновесия (доказаны теоремы о существовании равновесия) в модели Эрроу- Дебре.

Предваряя это утверждение, сформулируем вспомогательную задачу, решение которой при определенных условиях совпадает с решением обычной задачи потребителя.

Вместе с тем решения этой задачи ведут себя "достаточно хорошо" при изменении ее параметров (отображение, которое ставит в соответствие вектору цен множество решений данной задачи является полунепрерывным сверху), чем мы и воспользуемся при доказательстве существования квазиравновесия и равновесия.

Модифицированная задача потребителя:

Найти хг, такой что

pxi ^ вг,

Хг не хуже, чем любой другой набор хг e Хг, (C*) который стоит в ценах p дешевле, чем вг.

Нижеследующее утверждение устанавливает свойства решений данной задачи. Это, в частности, характеристика условий, при которых решение модифицированной задачи потребителя (C*), является самым дешевым из тех, которые не хуже для этого потребителя, чем Хг. В свою очередь, такая задача минимизации потребительских расходов является взаимной к обычной задаче потребителя, и при определенных условиях эти задачи, фактически, являются эквивалентными (см. Теорему ?? в главе ??). В данном утверждении, таким образом, приведены условия, при которых решение задачи (C*) является решением обычной задачи потребителя. Теорема 73:

Предположим, что предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, и Хг является решением задачи (C*) при ценах p и доходе вг.

Тогда любой набор хг e Хг, который не хуже Хг, стоит не дешевле вг (pxг ^ вг).

Потребительский набор Хг удовлетворяет соотношению pХг = вг и минимизирует затраты на достижение уровня благосостояния, определяемого вектором Хг, при ценах p, т. е. решает следующую задачу:

pxг ^ min

Хг ^г Хг. -I

Доказательство: (1) Пусть Хг - решение задачи (C*).

Пусть существует допустимый набор Хг, который стоит меньше вг (pxг < вг), и который не хуже Хг. Тогда найдется окрестность набора Хг , все наборы в которой которой стоят дешевле вг . В этой окрестности существует потребительский набор, который лучше Хг, а значит и лучше, чем Хг, в противоречие тому, что Хг - решение задачи (C*).

Пункт (2) является очевидным следствием пункта (1). ?

Теорема 74:

Предположим, что x^ является решением задачи (C*) при ценах p и доходе вг, множество Xj выпукло, предпочтения потребителя непрерывны, и существует xj ? Xj : pxj < вг. Тогда xj является решением задачи потребителя . J

Доказательство: Утверждение доказывается аналогично пункту (2) теоремы взаимности (см. Теорему ?? главы ??). ?

Введем сначала следующее вспомогательное понятие. Определение 52:

Набор (p, x, y) называется квазиравновесием экономики Эрроу- Дебре, если выполняются следующие условия:

^ Для каждого потребителя xj удовлетворяет условиям задачи (C*) при ценах p и доходах ei = p+ Eje J Yijpyj .

^ yj является решением задачи j-го производителя при ценах p. ^ Выполнены балансы по каждому благу:

ЕXik = Е yjk + Е wik Vk.

ie/ jeJ ie/

Заметим, что на приобретение потребительского набора, соответствующего квазиравновесию, каждый потребитель тратит весь свой бюджет, т. е. бюджетное ограничение выполняется как равенство. Действительно, если хотя бы одно неравенство строгое, то совокупное потребление стоит дешевле совокупного бюджета, а это противоречит допустимости квазиравновесия.

Понятие квазиравновесия отличается от понятия равновесия только формулировкой задачи потребителя. Полунепрерывность спроса для задачи (C*) имеет место при более общих условиях, чем для обычной задачи потребителя. Соответственно, условия существования квазиравновесия оказываются достаточно общими (см. приведенную ниже Теорему 75). Выполнение же условий совпадения квазиравновесия и равновесия для многих моделей общего равновесия проверяется достаточно просто. Поэтому представляется удобным разделить условия существования равновесия на условия существования квазиравновесия и условия совпадения квазиравновесия и равновесия.

Это позволяет установить на основе одной Теоремы 75 серию теорем существования равновесия. С технической точки зрения преимущество такого двух- этапного подхода заключается в том, что в его рамках условия совпадения решения задачи (C *) и обычной задачи потребителя требуется обеспечить и проверить только в найденной точке квазиравновесия, а не при всех возможных параметрах задачи потребителя, а это, как правило, существенно проще. С содержательной точки зрения такой подход удачен тем, что не требует чрезмерно "смелых" предположений о предпочтениях потребителей и множествах допустимых потребительских наборов.

Теорема 75:

Предположим, что:

^ Для каждого производителя j ? J технологическое множество Yj выпукло, замкнуто, и содержит нулевой вектор (допустимость бездеятельности).

^ Для каждого потребителя i ? I предпочтения ^ локально ненасыщаемы, выпуклы и непрерывны, Xj - выпуклое замкнутое множество , Xj С R+, шг ? Xj.

Пересечение множества производственных возможностей экономики и множества допустимых совокупных потребительских наборов,

Z = (Е Yj + иЕ) П Е Хг,

jeJ ге1

ограничено.

Тогда в этой экономике существует квазиравновесие (p, Х, у), такое что p = 0. J

Доказательство: Прежде, чем приступить к собственно доказательству теоремы, рассмотрим следствия предположения о множестве Z. Поскольку Хг С R+, то множество Z не содержит векторов с отрицательными элементами. Ограниченность множества Z означает, что найдется такое число N, что если z e Z, то 0 ^ zk ^ N для всех благ k e K.

Пусть (Х, у) - произвольное допустимое состояние рассматриваемой экономики. Поскольку все потребительские наборы Хг допустимы, то они не содержат отрицательных элементов и, следовательно, их сумма тоже неотрицательна: ?ге1 Хг ^ 0. Очевидно, что

Е Хг = иЕ + Е yj e Z.

ге1 jeJ

Отсюда следует, что суммарное потребление по каждому благу k e K должно удовлетворять ограничениям 0 ^ Yге1 жгк ^ N, и что такому же ограничению удовлетворяют наборы всех потребителей: 0 ^ Жгк < N.

Заметим, что поскольку технологические множества содержат нулевые векторы, то иЕ + XjeJ yj e Z, где J - произвольное подмножество множества предприятий J. В частности, иЕ e Z и иЕ + у" e Z для любого предприятия j. Отсюда следует, что для любого блага k e K выполнены неравенства

0 ^ wEfc ^ N и 0 ^ wEfc + yjfc ^ N.

Комбинируя эти неравенства, получим оценку |yjk| ^ N. Кроме того, поскольку иг e Хг, и, следовательно, начальные запасы неотрицательны, то для каждого потребителя выполнено 0 < ^ < N.

Подобно рассмотренным ранее доказательствам существования, мы будем искать квазиравновесие как неподвижную точку некоторого специальным образом сконструированного отображения из выпуклого, компактного, непустого множества В = XХг х Xj=I Y х P в себя. Здесь

Хг = { Хг e Хг | а^ < N + е Vk e K } , Yj = { yj e Yj | j | < N + e Vk e K } ,

P = { p ^ 0 | ||p||2 < 1 } ,

где e - произвольное положительное число. Типичный элемент множества В будем обозначать через в, где в = ^{Хг}г€!, {yj}jeJ, p).

Покажем, что каждое из этих множеств выпукло, непусто, замкнуто и ограничено, а значит, их произведение В тоже выпукло, непусто, замкнуто и ограничено. Замкнутость и выпуклость модифицированных множеств допустимых потребительских наборов Хг и технологических множеств Y' следует из того, что они являются пересечениями выпуклых замкнутых множеств. Множество Хг непусто, поскольку содержит по крайней мере начальные запасы иг (иг e Хг и ^гй ^ N). Кроме того, 0 e Y, т. е. эти множества тоже непусты. Замкнутость, выпуклость и непустота множества цен P очевидна.

Рассмотрим отображение : В ^ В следующего вида:

?>(0) = Х?"(0) X Xje/ jeJ

где отдельные компоненты определяются следующим образом:

?xj(0) = { xj ? Xj | pxj < &(p, У), xj ^ xj' Vxj' ? Xj : pxj' < &(p, y) } ,

где e*(p, У) = pw. + max{0, EjeJ Yjpyj} + 1 - ||p||2,

?yj (0) = argmax pyj, yj eYj

?p(0) = argmax] p' (E x - шЕ - E yj p'e^ ie/ jeJ

Поясним смысл компонент отображения .

Отображение ?xj(0) сопоставляет каждому вектору цен и состоянию экономики решение задачи (C*) с Xj = Xj и ej = e"(p, У) . Заметим, что используемое здесь определение дохода потребителя e"(p, У) гарантирует непустоту модифицированного бюджетного множества { xj ? Xj | pxj ^ e*(p, У) } при любых производственных планах y и ценах p ? P. Бюджетное множество изменено по двум направлениям. Во-первых, в него включаются только потребительские наборы из модифицированного множества потребительских наборов Xj (которое является замкнутым и ограниченным). Во-вторых, если доходы от прибыли предприятий отрицательны, то потребитель не несет соответствующие убытки. В-третьих, к доходам потребителя добавляется "субсидия" 1 - ||p||2 (обеспечивающая, в частности, при p = 0 наличие в потребительском множестве наборов, которые стоят меньше, чем доходы потребителя).

Отображение ?yj (0) сопоставляет вектору цен решение задачи производителя на модифицированном ("усеченном") технологическом множестве Yj. Отображение ?p(0) ставит в соответствие вектору избыточного спроса такие векторы цен из множества P, при которых этот избыточный спрос имеет максимальную стоимость.

Докажем, что если 0 = (x, y, p) - неподвижная точка отображения , т. е.

0 ? ?(0),

то она является квазиравновесием рассматриваемой экономики. Для этого, в соответствии с определением квазиравновесия, требуется показать, что

(x, у) - допустимое состояние экономики,

x - решение задачи потребителя (C*) для каждого i ? I,

yj - решение задачи потребителя для каждого j ? J.

Докажем, что в данном состоянии выполнены балансы. Другими словами, докажем, что равен нулю избыточный спрос 0 = Еje/ x - wE - ЕjeJ yj. Пусть это не так, т. е. 0 = 0. Поскольку выполнено p ? (0), то p является решением следующей задачи:

p0 ^ max .

p: ||рУ2<1

Как мы предположили, 0 = 0, поэтому, как несложно проверить, решение данной задачи единственно и имеет вид p = 0/||0||, причем ||p||2 = 1. Соответствующий максимум равен p0 = ||0||2/||0|| = ||0||. Так как e = 0, то pe > 0.

Поскольку каждый производственный план y0j максимизирует прибыль при ценах p0 и 0 ? Yj, то pyj ^ 0. Таким образом, доход потребителя в точке 0 имеет обычный вид: e*(p, У) = p W + Eje J Yj p y j.

Складывая бюджетные неравенства, соответствующие точке в, по всем потребителям, получим, что для экономики в целом выполнено соотношение:

pE Хг ^ Е ^(p, У) = pUs + PE yj,

ге1 ге1 jeJ

т. е. pв ^ 0. С другой стороны, как мы видели, pв > 0. Получили противоречие. Таким образом мы доказали, что в = 0, т. е. рассматриваемое состояние сбалансировано.

По определению отображения все потребительские наборы и векторы чистого выпуска в в допустимы. Таким образом, в соответствует допустимому состоянию экономики. Чтобы доказать, что в является квазиравновесием, нам остается показать, что Хг и Уг являются решениями соответствующих задач потребителя и производителя при ценах p.

Дополнительные количественные ограничения в условиях, определяющих отображения ^жг(-) и (o), выполнены как строгие неравенства, поскольку в соответствует допустимому состоянию экономики:

Хгй < N < N + е, j | < N < N + е.

Нам требуется показать, что эти ограничения несущественны в том смысле, что если их убрать, то решения соответствующих задач потребителя и производителя не изменятся .

Предположим, что для потребителя i это не так, и, следовательно, существует такой набор Хг e Хг, что pХг < вгф, у) и Хг >-г Хг. Поскольку < N + е, то на отрезке, соединяющем Хг и Хг, найдется набор Хг' (достаточно близкий к Хг), такой что x^ ^ N + е. Для этого набора, с одной стороны, pxг' < вг(PУ), а с другой стороны, Хг' ^г Хг (поскольку предпочтения выпуклы), а это согласно Теореме 73 противоречит тому, что Хг e .

Похожим образом доказывается, что yj при ценах p максимизирует прибыль на всем множестве Yj. Если это не так, то найдется вектор yj e Yj, который дает более высокую прибыль. Поскольку |yjfc| < N + е, то на отрезке между уj и yj найдется yj', для которого |yj'k | < N + е, и который дает более высокую прибыль, чем yj, а этого не может быть по определению множества ^ o (в).

Покажем теперь, что ||p||2 = 1. Бюджетные ограничения потребителей должны выполняться как равенства, поскольку предпочтения локально ненасыщаемы (см. Теорему 73). Сложив все бюджетные ограничения, получим,

pJ2 Хг = J2 вг№, У) = pus + pJ2 yj + m(1 - HP ||2).

ге1 ге1 jeJ

Поскольку, как мы показали, экономика сбалансирована, то отсюда следует, что 1 - hpH2 = 0.

Таким образом, в действительно является квазиравновесием, причем p = 0.

Выше мы показали, что В выпукло, непусто, замкнуто и ограничено. Для того, чтобы показать, что рассматриваемая неподвижная точка существует, требуется проверить выполнение других условий теоремы Какутани: что значение отображения ^(в) при всех в e В непусто и выпукло, а также, что это отображение полунепрерывно сверху (имеет замкнутый график).

Очевидно, что множества ^ o (в) и ^р(в) непусты, поскольку каждое из них является множеством решений задачи максимизации непрерывной (линейной) функции на компактном множестве.

Множество { Хг e Хг | pxг ^ вг(p, у) } содержит иг и является компактным. Задача нахождения наилучшего набора на этом множестве имеет хотя бы одно решение, поскольку предпочтения потребителя предполагаются непрерывными (следовательно, их можно представить непрерывной функцией полезности). Любое такое решение принадлежит и множеству

?xj(0). Действительно, пусть x. - такое решение, т. е. x. не хуже любого набора xj' ? X., такого что pxj' ^ ^(p, У). Очевидно, что x также не хуже любого набора xj' ? X., такого что pxj' < ^.(P, У) , а это и означает по определению, что x. ? ?x.(0). Отсюда следует, что множество ?x.(0) непусто.

Множество решений задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве представляет собой выпуклое множество, поэтому множества ?yj(0) и ?p(0) выпуклы.

Докажем выпуклость множества ?xj(0). Пусть xj и xj' - два различных набора, принадлежащие этому множеству. Рассмотрим их выпуклую комбинацию xa = axj + (1 - a)xj' (a ? (0,1)). Покажем, что xa тоже принадлежит ?x.(0). Поскольку модифицированное бюджетное множество выпукло, то xa ему принадлежит. Нужно показать, что xa не хуже любого набора из модифицированного бюджетного множества, который стоит дешевле e.(p, У). Пусть это не так, и существует набор x ? X. , такой что px. < e.(p, У), который лучше xa. По определению ?x.(0) наборы xj и xj' должны быть не хуже x.. Следовательно, оба они лучше своей выпуклой комбинации xa. Но это невозможно, поскольку по условию теоремы предпочтения потребителя выпуклы.

Для доказательства теоремы осталось проверить, что построенное отображение множества В в себя имеет замкнутый график. Предположим, что последовательности {0n} ? В и {0n} ? В с пределами 00 и 00 соответственно таковы, что 0n ? ?(0n). Нам требуется показать, что 0° ? ?(00).

Покажем, что x° ? ?xj(0°). Поскольку xn ? ?xj(0n), то pnxn ^ в(pn, yn). С учетом того, что в(') является непрерывной функцией, в этих неравенствах можно перейти к пределу: p°x° ^ в(p°, У°). Так как множество X. замкнуто, то x° лежит в X. как предел последовательности, целиком принадлежащей X.. Пусть xj ? X. - набор, такой что он лучше x°. Покажем, что он не может стоить меньше в.(p, y). Действительно, поскольку предпочтения непрерывны, то найдется номер M, такой что xj У xn при n > M. При этом при по определению множеств ?x.(0°) при n > M должно выполняться pnxj ^ e(pn, Уп). Переходя к пределу, получим p°xj ^ в(p°, У°). Тем самым, мы доказали полунепрерывность сверху отображения

Доказательство полунепрерывности сверху отображений ?yj(') и ?p(') не представляет особой сложности. Оно аналогично соответствующей части доказательства Теоремы 70 (и является следствием теоремы Бержа; см. Теорему 187 в Математическом приложении). ?

Как анонсировалось выше, на основе Теоремы 75 (с учетом Теорем 73 и 74) можно доказать несколько различных вариантов теорем существования вальрасовского равновесия в модели Эрроу- Дебре при дополнительных предположениях, гарантирующих, что найденное квазиравновесие является равновесием.

Теорема 76:

Пусть выполнены условия Теоремы 75, и ш. ? int X. для всех i ? 118.

В рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу (p, x, y), такое что p0 = 0 .

Если предпочтения хотя бы одного из потребителей (i') монотонны, и выполнено Xj/ + R+ С X./, то в рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу (p, x, y), такое что p 0. J

Доказательство: (1) Пусть 0 = (p, x, y) - квазиравновесие в экономике Эрроу-Дебре, в котором не все цены равны нулю (согласно Теореме 75 оно существует). Покажем, что это квазиравновесие является равновесием. Рассмотрим произвольного потребителя i. Доход данного потребителя в квазиравновесии имеет вид в. = pш. + ЕjeJ Yjpyj. Второе слагаемое - доход от прибыли предприятий - неотрицательная величина, поскольку по предположению

8Например, множества допустимых потребительских наборов имеют вид Xi = R+ , и i > 0.

0 G Yj. Таким образом, рШг ^ вг. Набор xf = Шг - ер при достаточно малом е > 0 является допустимым для потребителя i. Стоимость этого набора в ценах р = 0 меньше вг, поскольку pxf = рШг - е||р||2 < рШг ^ вг. Согласно Теореме 74 наличие такого набора xf означает, что набор Xj, являющийся решением модифицированной задачи потребителя (C*) при ценах р и доходе вг, должен быть также решением соответствующей обычной задачи потребителя. Таким образом, (р, X, у) является также и вальрасовским равновесием.

(2) Как показано в предыдущем пункте, каждое квазиравновесие является равновесием. Покажем, что в квазиравновесии все цены неотрицательны. Пусть это не так и pk < 0 для некоторого блага k. Увеличивая количество этого блага у потребителя i', найдем допустимый набор, который не хуже набора Xj/ (по монотонности предпочтений) и стоит меньше его. Это, согласно Теореме 73, противоречит тому, что Xj/ - решение задачи (C*). I

Теорема 77:

Пусть выполнены условия Теоремы 75, для каждого потребителя i G I множество допустимых потребительских наборов удовлетворяет условию Xj + R+ С Xj и содержит некоторый набор xj, такой что xj Шг, предпочтения строго монотонны. Пусть также Y^i Шг > Yiei xi. Тогда в рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу (р, x, у), такое что р > 0. J

Доказательство: Согласно Теореме 75 существует квазиравновесие в = (р, x, у). По аналогии с предыдущей теоремой доказывается, что в этом квазиравновесии р 0. Умножая неравенство Yiei ш% >Yiei xi на цены, получим р^iei шг > р^xj, откуда следует, что хотя бы для одного потребителя i' выполнено рx^ < рш^/ ^ вг. Таким образом, по Теореме 74 xj/ является решением задачи этого потребителя.

Покажем, что в квазиравновесии все цены положительны. Пусть это не так и pk =0 для некоторого блага k. Увеличивая количество этого блага у потребителя i', найдем допустимый набор, который лучше набора xj/ (по строгой монотонности предпочтений) и стоит столько же. Это противоречит тому, что xj/ - решение задачи потребителя. Таким образом, р > 0.

Для произвольного потребителя, умножая соотношение xj Шг на положительные цены, получим pXj < рШг ^ вг. Таким образом, по Теореме 74 xj является решением задачи потребителя. I

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре:

  1. Оглавление
  2. 5.2.2 Модели общего равновесия
  3. 5.3 Существование общего равновесия
  4. Приложение 5.A Теоремы существования равновесия
  5. 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
  6. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу-Дебре
  7. 8.1 Модель Эрроу-Дебре экономики с риском
  8. 8.2 Теоремы благосостояния для экономики Эрроу-Дебре
  9. 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
  10. 13.1.4 Существование равновесия при монополии
  11. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
  12. Предметный указатель
  13. Существование равновесия при монополии
  14. Теоремы существования общего равновесия
  15. 2.1. Макроэкономический анализ состояния национальной экономики на базе моделей IS, LM, IS-LM, общеэкономического равновесия Кейнса, исследование влияний экономических инструментов на условия равновесия и параметрическое регулирование статического равновесия национальной экономики на основе модели Кейнса
  16. 2.2. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование статического равновесия национальной экономики на базе модели маленькой открытой страны
  17. 4.1. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование эволюции национальной экономики на базе вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики 4.1.1. Описание модели, параметрическая идентификация и ретроспективный прогноз