<<
>>

2.2 Бинарные отношения и их свойства

Чтобы мотивировать и пояснить понятие бинарного отношения, рассмотрим известную детскую игру "камень-ножницы-бумага". Предполагается, что: камень побеждает ножницы (тупит), ножницы побеждают бумагу (режут), бумага побеждает камень (оборачивает), в остальных случаях (например, камень - камень) - боевая ничья.

Будем говорить, что x находится в отношении R к y и писать x R y, в случае, если x побеждает y, где x и y принадлежат множеству {камень, ножницы, бумага}. Естественно отождествить отношение R с множеством, элементами которого являются упорядоченные пары (камень, ножницы), (ножницы, бумага), (бумага, камень) и только они. Отметим, что так определенное отношение (множество) R, очевидно, является подмножеством множества, состоящего из всевозможных упорядоченных пар, где каждый элемент пробегает множество {камень, ножницы, бумага}.

Этот простой пример приводит нас к следующему определению бинарного отношения.

Определение 1:

Пусть X - произвольное непустое множество. Декартовым квадратом множества X назовем множество, обозначаемое X х X, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары (x, y), где x, y пробегают все множество X. Под бинарным отношением R, заданным на множестве X, будем понимать, некоторое подмножество декартова квадрата X х X, т. е. формально Rc X х X.

Рис. 2.1. Бинарное отношение R, заданное на множестве X

Другими словами бинарное отношение - это некоторое множество упорядоченных пар (x, y), где x и y - элементы множества X. Понятие бинарного отношения имеет достаточно простую графическую иллюстрацию (см. Рис. 2.1).

При рассмотрении бинарных отношений в случае, когда пара (x, y) принадлежит множеству R, вместо (x, y) GR обычно пишут x R y и говорят, что x находится в отношении R к y.

Определим теперь некоторые свойства бинарных отношений, которые мы в дальнейшем будем использовать при рассмотрении предпочтений .

Определение 2:

Бинарное отношение R называется

рефлексивным, если Vx G X выполнено x R x

иррефлексивным , если x R x не выполняется ни при каком x G X (т.

е. Vx G X (x R

x));

симметричным, если Vx, y G X из x R y следует y R x;

асимметричным, если Vx, y G X из x R y следует, что y R x неверно;

транзитивным, если Vx, y, z G X выполнено

(x R y и y R z) ^ x R z;

отрицательно транзитивным, если Vx, y, z G X выполнено

p(x R y) и-I(y R z)) (x R z);

полным, если Vx, y G X выполнено либо x R y, либо y R x, либо и то и другое.

Проиллюстрируем эти свойства бинарных отношений на примерах.

Пример 1:

Пусть X - множество студентов, учащихся в этом учебном году в Новосибирском Государственном Университете, R - отношение "выше ростом, чем" заданное на X. Посмотрим, каким из указанных выше свойств удовлетворяет данное бинарное отношение.

Очевидно, что какого бы мы студента ни взяли, его рост не может быть больше его же роста, т. е., например, 175 не может быть больше 175. Таким образом, это отношение является иррефлексивным и не удовлетворяет свойству рефлексивности.

Это отношение также является асимметричным и не является симметричным. Действительно, пусть h(a) - рост некоторого студента a, а h(b) - рост студента b, и a R b, т. е. студент a имеет больший рост, чем b (h(a) > h(b)). Тогда вполне понятно, что неверно (h(b) > h(a)), что и означает, что неверно b R a. Таким образом, с учетом произвольности выбора a и b получили желаемое.

Проверим теперь, что данное отношение является транзитивным. Из множества X возьмем трех произвольных студентов a, b, c, чей рост составляет h(a), h(b) и h(c) соответственно, причем выполнено следующее: h(a) > h(b) и h(b) > h(c). Очевидно, что по свойству сравнения действительных чисел мы имеем, что h(a) > h(c). Это в точности означает, что a R c и мы, таким образом, показали транзитивность R.

Выполнение свойства отрицательной транзитивности мы проверим чуть позже, а сейчас перейдем к проверке свойства полноты. Как несложно понять, данное отношение не является полным, если среди студентов есть хотя бы двое с одинаковым ростом. В этом случае ни один из этих двух студентов не будет выше другого и, таким образом, мы имеем нарушение полноты.

Если же среди нашего множества X нет ни одной пары студентов с одинаковым ростом, то введенное на X отношение "выше ростом, чем" обладает свойством полноты. Д

Пример 2:

Пусть на множестве X = R+ задано отношение R по правилу (xi,x2) R (yi,V2) ^ Xi + y2 ^ yi + X2. Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение, заметим, что Xi + y2 ^ yi + X2 ^ Xi - X2 ^ yi - У2, т. е. (xi, X2) R (yi,y2) ^ Xi - X2 ^ yi - y2. Как несложно догадаться, данное бинарное отношение удовлетворяет тем же свойствам, что и отношение ^ на действительной прямой, т. е. полнота, транзитивность, рефлексивность. (Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение условий симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности.) Д

Замечание: При проверке указанных выше свойств предпочтений следует быть осторожным и не делать поспешных выводов. В частности, если окажется, что отношение не является рефлексивным, то из этого, вообще говоря, не следует, что отношение является иррефлексивным. Та же ситуация возникает при рассмотрении связки свойств симметричность/асимметричность.

Эти определения также легко проиллюстрировать графически в духе Рис. 2.1. Так, например, рефлексивность означает, что вся диагональ декартова квадрата X х X принадлежит R. Свойство симметричности означает, что множество R симметрично относительно диагонали декартова квадрата. Полнота означает, что если мы "согнем по диагонали" декартов квадрат, то в итоге получим треугольник без выколотых точек.

Выше мы ввели и обсудили ряд часто встречающихся свойств бинарных отношений. Теперь рассмотрим взаимосвязь между этими свойствами.

Теорема 1:

Каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

Каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

Каждое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение является асимметричным.

Отношение R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда J

Vx, y, z G X из x R y следует x R z или z R y. (a) Доказательство: Доказательство свойств тривиально. С целью демонстрации техники доказательства мы докажем только третий пункт теоремы.

Предположим противное, т. е. пусть отношение R иррефлексивно, транзитивно, но не является асимметричным. Тогда найдется пара x, y G X такая, что x R y и y R x. Так как отношение R транзитивно, то из x R y и y R x следует x R x. Получили противоречие с иррефлексивностью. ?

Пример 3 (продолжение Примера 1):

Нам осталось проверить свойство отрицательной транзитивности. Для его проверки воспользуемся представлением этого свойства из только что доказанного утверждения. Для этого из множества X возьмем трех произвольных студентов a, b, c, чей рост составляет h(a), h(b) и h(c) соответственно, причем выполнено h(a) > h(b). Очевидно, что каким бы ни был h(c), должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств h(a) > h(c) или h(c) > h(b). Таким образом, видим, что для данного отношения R выполнено свойство отрицательной транзитивности. Д

Теперь, вооружившись понятием бинарного отношения, мы можем перейти к обсуждению неоклассического подхода к моделированию предпочтений и выбора.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.2 Бинарные отношения и их свойства:

  1. Оглавление
  2. Классические (совершенные) рынки. Общее равновесие
  3. 2.1 Блага, множество допустимых альтернатив
  4. 2.2 Бинарные отношения и их свойства
  5. 2.2.1 Задачи
  6. 2.3 Неоклассические предпочтения
  7. 2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора
  8. 1.1. Отношения предпочтения
  9. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  10. 6.5. Информатика
  11. 6.5. Информатика организационно-экономическое управление — объект компьютеризации; понятия, виды и особенности информации; аппаратные и программные средства компьютерных систем
  12. Предисловие
  13. Наноэкономические характеристики экономики России
  14. Понятие и основные характеристики институтов
  15. Институциональное проектирование, институциональная селекция или институциональное протезирование?
  16. Точка зрения на предприятие субъектов ФУКО
  17. КОММЕНТАРИИ
  18. § 1.1. Научная методология логико-семантического анализа категорий кредита и лизинга