<<
>>

3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя

В данном параграфе дополнительно предполагается, что функция спроса, непрямая функция полезности и функция расходов потребителя являются дифференцируемыми. (Условия,

гарантирующие дифференцируемость этих функций, приведены в приложении ??).

При выполнении условия дифференцируемости непрямой функции полезности, функции расходов и функций маршаллианского и хиксианского спросов выполняются три важных свойства теории потребителя: лемма Шепарда, тождество Роя и уравнение Слуцкого.

Связь между функциями расходов и (хиксианского) спроса описывается леммой Шепарда. Теорема 29 (Лемма Шепараа ):

Пусть решение взаимной (двойственной) задачи внутреннее и выполнены условия Теоремы 37, тогда

de(p, x)

- = hi(p, x).

dpi J

Доказательство: Учитывая значение этого результата для теории потребления, укажем несколько его обоснований.

Первое доказательство. По определению функции расходов e(p, x) = ph(p, x) Vp, x. Продифференцировав это тождество по pi, получим соотношение:

de(p,x) = h.(p x) + vp-dhj(p,x) dpi =hi(^ pj dp. .

Остается доказать, что второе слагаемое равно нулю.

Замечание: Данное свойство стоит проинтерпретировать. Хотя при изменении цен рассматриваемых благ потребитель меняет свое поведение, предпочитая, вообще говоря, другой потребительский набор, при расчете изменения расходов на приобретение нового набора в первом приближении можно не учитывать этого изменения спроса потребителя. Другими словами, новые расходы в первом приближении рассчитываются, как если бы оптимальный выбор остался неизменным, т. е. эти новые расходы равны стоимости старого набора в новых ценах. Изменение спроса проявляется лишь во втором приближении.

Докажем это. Пусть второе слагаемое не равно нулю, например, положительно, т. е. pdp > 0. Рассмотрим наборы вида h? = h(p - ee^ x), где e2, - i-й орт, е > 0. Согласно пункту (vi) Теоремы 25 из непрерывности предпочтений следует h(p, x) ~ x и h? ~ x.

Из pdp > 0 следует, что при достаточно малом е будет выполнено неравенство p(h(p, x) - h?) > 0. Но это неравенство противоречит тому, что h(p, x) минимизирует расходы. Невозможность pJp- < 0 доказывается аналогично, с помощью введения наборов вида h(p + eei, x).

Второе доказательство. Идея другого доказательства этого факта заключается в построении касательной для графика функции расходов.

Обозначим p_i = (p1,...,pi-1,pi+1,... ,pi), и p = (P., p_i). Пусть p* - некоторая точка. Зафиксируем все цены, кроме цены i-го блага p_ i = p* i. Покажем, что прямая P. hi (pi, p* i, x) + j p*hj(P., p-i, x) касается графика функции e(pi, p-i, x) в точке p*. Действительно, набор h(p*, x) при ценах p* требует минимальных расходов на приобретение из наборов, обеспечивающих тот же уровень благосостояния, что и потребительский набор x. При любых других ценах он допустим, но, вообще говоря, не минимизирует расходы. При ценах (pi, p* i) минимум расходов, необходимых для достижения того же уровня благосостояния, достигается на потребительской корзине h(p., p*x). Другими словами, справедливо следующее неравенство:

e(p., p-x) =

= p. hi (p., p-x) +J2 p*hj (p., p-x) < p.hi(p*, x) +J2 p*hj (p*, x).

При pi = p- здесь выполнено равенство. Таким образом, максимум функции f (pi) = e(pi, p-i, x)- pihi(p*, x) достигается в точке p-. Из необходимого условия максимума (f'(pi) = 0) следует доказываемое соотношение. ? p

м е,Д (расходы) pi hi (pi ,p-i ,x)+E j=ip*j hj (pi ,P-i,x)

e(p*,x) -

Рис. 3.4. Иллюстрация доказательства леммы Шепарда Второй способ доказательства иллюстрирует Рис. 3.4. Кривая e(pi, p-j, x) лежит под пря-

мой

pihi(pi, p-i, x) + p*hj(pi, p-i, x) j=i

и имеет с ней общую точку (p-, e(p*, x)) (точка A на рисунке). Значит, эта прямая является касательной к кривой e(pi, p-i, x). Наклон прямой равен hi(p*, x). Таким образом, производная функции e(pi, p-i, x) в точке p- равна hi(p*, x): hi(p, x).

de(p, x) dpi Из леммы Шепарда следует, что по функции расходов всегда можно построить функцию (хиксианского) спроса.

Отметим также, что из нее следует, что функции расходов является дважды непрерывно дифференцируемой, так как непрерывно дифференцируемым является хиксианский спрос.

Пример 18:

Выше (в Примере 15) мы нашли, что для потребителя с функцией полезности u(x) = Y/xi + ay/S2 функция расходов равна

e(p, x) =

pip2(yxi + a/X2)2

p2 + a2pi

Убедимся для данной функции расходов в выполнении леммы Шепарда для первого товара. Продифференцируем функцию расходов e(p, x) по p1 : (p2 + a2pi)2

de(p, x) = p2(/ж! + a/X2)2(p2 + a2pI) - a2pIp2(VxI + ayX)2 hi(p, x).

p2(yxr + )2

(p2 + a2pi)2 Вполне естественно, что в качестве результата дифференцирования мы получили найденный нами ранее в Примере 14 хиксианский спрос. Д

??он вообще по жизни француз Рене Руа :)

Теорема 30 (тождество Роя):

Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда

-М / ^ =

dp. / dR j

Доказательство: Для доказательства этого тождества воспользуемся одним из тождеств взаимности:

v(p,e(p, x)) = u(x). Продифференцируем это тождество по pi:

dv(p,e(p, x)) + dv(p, e(p, U)) de(p, x) = 0

dp. dR dp.

По лемме Шепарда dp - = hi(p, x), следовательно

^p^fox)) + д^(р,е(р,х)), ( ) = 0 dp. + dR hi(P, x) = °.

В качестве x возьмем x = x(p, R).

Воспользуемся тождествами h(p, x(p, R)) = x(p, R) и e(p, x(p, R)) = R. Из них следует, что верно соотношение

= x.(p, R).

dv(p,R) /dv(p,R)

dp. / dR

Пример 19:

Как показано ранее, для потребителя с функцией полезности u(x) = y/ST + непря

мая функция полезности равна v(p, R) = ^^p+a Pl). Проиллюстрируем тождество Роя для первого товара. Для этого найдем -gR и -^ 7:

dv(p, R) = 1 (p2 + a2pi)

dR = 2 У Rp2pi

и

dv(p, R) = 1 / p2pi a2pip2R - p2R(p2 + a2pi)

dpi 2 V R(p2 + a2pi) (p2pi)2

p2pi -R

V R(P2 + a2pi) (pi)2.

С учетом этого

dv(p,R) /dv(p, R) / p2pi R / /(p2 + a2pi) Rp2

dp. / dR У R(p2 + a2pI)(pI)2/ V Rp2pI pI(p2 + a2pI)'

Как и ожидалось, найденная функция представляет собой спрос на первый товар для функции полезности u(x) = ^ST + . A 3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя

Теорема 31 (уравнение Слуцкого ):

Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда

Xj (p,R).

dhi(p, x(p,R)) dxi(p,R) dxi(p,R)

+

dpj

dR

J
dpj Доказательство: Для доказательства воспользуемся одним из тождеств взаимности: x(p, e(p, x)) h(p, x). Продифференцируем это тождество по pj:

dxi(p, e(p, x)) + dxi(p, e(p, x)) de(p, x) dhi(p, x)

dR

dpj

dpj

dpj Воспользуемся леммой Шепарда dedp'x) = hi(p, x). В качестве потребительского набора x возьмем x(p, R). При этом в силу соотношений взаимности имеем hj(p, x(p, R)) = Xj(p, R) и e(p, x(p, R)) = R. Следовательно,

dhi(p, x(p,R)) _ dxi(p,R) dxi(p, R)

+ о тл xj ( p, R).

dpj

dR

dpj

Пример 20:

Проиллюстрируем уравнение Слуцкого для первого товара и второй цены для рассмотренной функции полезности u(x) = y/xI + a. Функция спроса для этой функции полезности равна x(p, R) = (pip2 )2; (Р2)"+a2piP2) . Функция хиксианского спроса равна hI(p, x) =

pjCV^T+УхЮ2 Няйдем 9xi(р'Д) Эх i(р'Д) (p R) и i(Р'Х(Р'Д)) : (p2+"2pi)2 . Найдем -g^ , дд X2(P,R) и g^ :

dp2

dxI(p, R) R(pIp2 + a2(pI)2) - RpIp2 dp2

(pip2 + a2 (pi )2)2 a2R

a2R(pi)2 (pi )2(p2 + a2 pi)2 (p2 + a2pi)2' a2Rpi

dxI(p,R) x2(p,R)= p2

dR

pi p2 + a2(pi)2 (p2)2 + a2pip2 a2R

a2Rpip2 p2pI (p2 + a2 pI)2 (p2 + a2pI)2' (/xi + a/x2)2 =

dhI(p, x) 2p2(p2 + a2pI)2 - 2(p2)2(p2 + a2pI)

dp2

(p2 + a2pi)4 (/xi + a/x2)2;

2a2pip2 (p2 + a2pi)3 (v(p, R))2 =

dhI(p, x(p, R)) 2a2pIp2

dp2

(p2 + a2pi)3 2a2p1p2 R(p2 + a2p1) 2a2R (p2 + a2pi)3

p2p1

(p2 + a2pi)2' Проверка уравнения Слуцкого для первого товара и второй цены состоит в проверке равенства:

dhI(p, x(p,R)) dxI(p,R) dxI(p, R)x2(p, R) dp2 dp2 dR

Подставляя вычисленные производные, получим

2a2 R a2R a2R

+

(p2 + a2pi)2 (p2 + a2pi)2 (p2 + a2pi)2' Очевидно, что это равенство верно. Д

Теорема 32 (свойства матрицы замены):

Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда матрица S = {} эффектов замены (матрица Слуцкого) является симметричной, отрицательно полуопределенной и вырожденной.З

Доказательство: Как было отмечено выше при обсуждении леммы Шепарда, при сделанных нами предположениях функция расходов является дважды непрерывно дифференцируемой. Тогда, в силу теоремы Юнга19, ее смешанные вторые производные совпадают, т. е.

d 2e(p, x) d 2e(p, x) dpj dp. dp.dpj

С учетом продифференцированного тождество Шепарда, получаем отсюда, что

dh.(p, x) dhj (p, x) dpj dp. '

Таким образом, матрица коэффициентов замены (матрица вторых производных функции расходов) рационального потребителя симметрична. Кроме того, поскольку функция расходов e(p, x) - вогнутая функция цен, то матрица коэффициентов замены является отрицательно полуопределенной. Вырожденность матрицы S читатель может доказать самостоятельно (см. задачу 125). I

Теперь получим основные соотношения, которые связывают производные спроса по ценам и доходу.

Теорема 33:

Пусть x(p, R) - решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда выполнены следующие свойства:

> p. + Xj(p, R) = 0 для всех j ;

i dPj j

w dxk(p,R) . Rdxk(p,R) =0 длявсех k; > \ R - и для всех k ,

^ dp. dR

^ dxi(p, R)

^pi "dR^ = 1 ,

Доказательство: Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. задачу 130). I

Данные соотношения должны быть знакомы читателю по курсам микроэкономики промежуточного уровня. Обычно они переформулируются в терминах эластичностей спроса по доходу и ценам. Определение 27:

Эластичностью спроса на i-ое благо по доходу называется величина

?R _ cR- m dxiR) R

ER = ER(p,R) =

dR Xi(p, R)'

Эластичностью спроса на i-ое благо по цене i-го называется величина

EP = EP (p R) = дxi(P, R) pj Eij = Eij (p,R) = -dp- Xj'

Доля дохода, затрачиваемого на покупку i-го блага - это

( m p.Xi(p, R) p.Xi(p,R) R) = ---- = '

px(p, R) R

В этих обозначениях Теорема 33 может быть переформулирована в следующем виде. Теорема 34:

Пусть x(p, R) - решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) непрерывно дифференцируемая функция. Тогда выполнены следующие свойства:

XI ^ R) = ^ R) для всех j; i

ER(p, R) = - X Epi(p, R) для всех k; i

X ^.(p, R)ER(p, R) = 1.

J

Доказательство: Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. задачу 130). I

Перечисленные в данном параграфе соотношения важны для характеризации спроса, порожденного моделью рационального поведения. В частности, полученные свойства функции расходов (и матрицы Слуцкого) вместе с некоторыми из тех, которые указаны в Теореме 26 на с. 77, являются не только необходимыми (как мы только что установили), но и достаточными (как покажем далее) условиями того, что некоторая функция цен и уровней полезности является функцией расходов рационального потребителя. Это дает возможность проверять согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рационального поведения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночного поведения (см. параграф 3.C).

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя:

  1. Оглавление
  2. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  3. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
  4. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
  5. 3.3.1 Сравнительная статика: зависимость спроса от дохода и цен. Закон спроса
  6. 3.3.3 Задачи
  7. 3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса
  8. 4.2 Задача производителя и ее свойства
  9. 5.2.3 Некоторые свойства общего равновесия
  10. 5.5.1 Задачи