<<
>>

7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели инвестиционного повеления.

Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели.

Рассмотрим задачу распределения одного блага - капитала - между несколькими активами k e K = {1,...,1}.

Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обозначать и (и > 0).

Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене). Пусть ffc - валовая доходность k-го актива, т. е. валовой доход на рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состояний мира дискретным, как и выше, то доходность ffc - дискретная случайная величина и принимает значения (s e S) с соответствующими вероятностями ps.

Инвестор должен выбрать размеры вложений в каждый из доступных активов k e K при следующих ограничениях:

7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) $ Можно покупать актив, но не эмитировать его, т. е.

zfc ^ 0.

$ Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т. е.

? zfc ^ W.

fceK

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения.

Вектор (zfcбудем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

x = ? zfc ffc.

fceK

Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x - дискретная случайная величина и принимает значения

xs ^ ] zfcrfcs

fceK

с вероятностями Р" .

Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана- Моргенштерна

U = E u(x) = ? Р^И^).

"es

В дальнейшем мы везде будем считать, что u(-) - дифференцируемая функция, причем производная u'(-) положительна и убывает (инвестор - рискофоб).

Поскольку капитал W - постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо величины вложений в k-й актив, , рассматривать долю этого актива в портфеле

afc = zfc/W.

Тогда

x = W ? afc ffc.

fceK

Получим следующую задачу:

U = E u(x) = E u(w ? akfk) ^ max.

? ak ^ 1, ak ^ 0, Vk G K.

keK ak keK

Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью ffc = ro (его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребования). Этот актив имеет одну и ту же доходность ro независимо от состояния мира. При этом

к = {0,...,о.

Еще одно предположение, которое принято делать - нет ограничения на неотрицательность вложений в безрисковый актив, т. е. может быть < 0. Интерпретация - можно взять кредит на любую сумму по той же ставке ro.

Так как производная u'(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому "бюджетное ограничение" в задаче инвестора выходит на равенство, т. е. ао = 1 - Y)fc=o afc. Исключив ао, преобразуем задачу инвестора к виду

E u(w(ro + У] afc(ffc - ro))) ^ max.

^^ ak

fc=o

При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной . Будем предполагать, что эти условия выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид

Е[и'(ж)и(П - rO)] < 0, Vk = 0.

Кроме того, если > 0, то это условие выполняется как равенство

Е[и'(ж)и(П - rO)] = 0.

или

Е[и'(ж)П] = r0 Е и'(ж).

Нетрудно проверить, что в силу свойств функции и(-) (инвестор - рискофоб) и линейности оператора Е, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями оптимальности портфеля.

Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива - безрисковый и один рискованный. Задача инвестора имеет вид:

Е и(и(а0г0 + а1г1)) ^ max .

"0,"1

а0 + а1 ^ 1, а1 ^ 0.

Исключив а0, получим следующую задачу одномерной максимизации:

U = Е и(и(г0 + a1(f1 - r0))) ^ max.

Обозначим максимизируемую функцию через U(а1) и вычислим ее производную:

dU (а1) = Е[и'(и(г0 + а1(г1 - г0)))и(г1 - Г0)] = да1

= и(Е[и'(ж)г1] - r0 Еи'(ж)).

Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (а1 > 0) либо граничным (а1 = 0).

Если в оптимальном портфеле а1 > 0, то dU(а1 )/да1 = 0, откуда

Е[и'(ж)г1] = r0 Еи'(ж).

Заметим, что в рассматриваемом случае и'(ж) является убывающей функцией П, поэтому

Е[и'(ж)г1] < Е и'(ж) Е f1.

(Ковариация и'(ж) и П отрицательна). Таким образом, поскольку Еи'(ж) > 0 (ожидание положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения состоит в том, что Г0 < Е П

Если в оптимальном портфеле а1 = 0, то ж = иг0 (т.

е. доход портфеля - не случайная величина). Значит,

dU (а1) '

- = ии (иг0)(Е П - Г0).

да1

Поскольку для граничного решения dU(aI)/daI ^ 0 и производная элементарной функции полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности граничного решения:

E f1 ^ rO.

Рис. 7.6. Возможные ситуации в случае выбора из двух активов

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в портфель (ai > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной (Eri > ro).

Тот факт, что для случая двух активов условие E fi > ro является достаточным, является частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсификации.

Теорема 92 ((теорема Самуэльсона о диверсификации9)):

Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(-), и пусть, кроме того, О функция u'(x) положительна и убывает; О доходности активов (статистически) независимы ; О ограничение ao ^ 0 несущественно;

выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.

Тогда любой актив k G K, ожидаемая доходность которого выше доходности безрискового актива (E f > ro) войдет в портфель, т. е. > 0. J

Доказательство: Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоянный множитель и > 0 можно сократить)

E[u'(X)(ffc - ro)] < 0, Vk = 0,

Предположим, что = 0, k = 0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины f и X должны быть между собой независимы (X зависит только от доходностей остальных активов). Следовательно, f и u'(X) также независимы (функции от независимых случайных величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим, что

E fk E u1 (X) ^ ro E u'(X).

Так как E u'(X) > 0, то E f. ^ ro. Следовательно, если E f > ro, то не может быть = 0, т. е. такой актив войдет в портфель. ?

Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его интерпретацию.

По определению ковариации для двух случайных величин ? и п выполнено

Е(?п) = Cov(?,n) + Е(?) Е(п).

С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k-й актив вошел в портфель, т. е. afc > 0),

Е[и'(ж)П] = r0 Еи'(ж).

можем записать в виде

COV(U'(X), П)
Е П = Г0 {ТТгл .

Е и'(ж)

Второе слагаемое этого выражения - величина

Cov(u'^), П)

Е и' (ж)

представляет собой превышение ожидаемой доходности k-го актива над доходностью безрискового актива и носит название премии за риск.

Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции его доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной, если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объясняется тем, что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны, то доходность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны, поскольку предельная полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следовательно, такой актив включается в оптимальный портфель, только если он характеризуется положительной премией за риск.

С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и доходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в оптимальный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за риск. Этот феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов ожидаемая чистая доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом от портфеля.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля):

  1. 1.2 СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  2. 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
  3. 7.6.1 Задачи
  4. 7.7.1 Задачи
  5. Оценка, практики взаимодействия системообразующих сегментов рынка капитала и реального сектора
  6. Представление ценового риска в процентной форме
  7. Элементы многопериодной модели
  8. Безрисковый актив
  9. Резюме
  10. 3.7 Арбитражная модель оценки требуемой доходности