<<
>>

9.4 Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

Предположим, что для неких целей государству требуется собрать определенную сумму налогов. Например, это может быть требование собрать столько налогов, чтобы на эту сумму можно было приобрести некоторый заданный набор благ .

Коль скоро Парето-оптимум в равновесии с налогами недостижим, то естественно поставить задачу уменьшить в каком-то смысле "бремя", связанное с налогами.

Обычные Парето-оптимальные состояния определяются на множестве всех (физически) допустимых состояний экономики. Поскольку при ограничении на сумму собранных налогов не все допустимые состояния могут быть реализованы как равновесие с налогами, то естественно рассматривать только состояния, которые могут быть реализованы как такое равновесие, и изменить соответствующим образом понятие оптимальности.

Обычный Парето-оптимум принято называть оптимумом первого ранга, а Парето-оптимум, который определяется на множестве всех тех состояний, которые могут быть реализованы с помощью равновесий из определенного класса - оптимумом второго ранга.

Определение 67:

Оптимум второго ранга - это такое состояние экономики из заданного множества состояний, для которого не существует другого состояния экономики из того же множества состояний, которое доминировало бы его по Парето.

Таким образом, можно сформулировать следующую задачу оптимального налогообложения: подобрать такие налоги, чтобы равновесие с этими налогами являлось оптимумом второго ранга при некотором заданном ограничении на сумму налогов. Рассмотрим квазилинейную сепарабельную экономику .

Нам достаточно рассмотреть одного репрезентативного потребителя с функцией полезности

u(x, z) = v(x) + Z = ? Vk (xk) + z keK

и одного репрезентативного производителя с функцией издержек

c(y) = ? ck(yk).

keK

Предполагаем, что запасы обычных благ равны нулю, поэтому материальные балансы для них имеют вид:

xk = yk.

Если в эту экономику вводятся налоги с единицы товара (unit taxes) на все блага, кроме последнего (по которому квазилинейна функция полезности) , то на каждом рынке существует две цены - цена производителя (P^) и цена потребителя (PH), которые связаны между собой соотношением

PH = Pfc + tk.

Из задачи потребителя получаем, что в равновесии (внутреннем в смысле xk > 0) выполнено условие первого порядка

PH = vk (xk).

Аналогично для репрезентативного производителя

Pfc = 4 (yk).

Таким образом, дифференциальная характеристика равновесия с налогами в рассматриваемой квазилинейной сепарабельной экономике имеет вид

vk (xk) = ck (xk) + tk.

Задача оптимального налогообложения состоит в том, чтобы собрать с рынков обычных благ определенную сумму налогов таким образом, чтобы благосостояние было максимальным, где благосостояние измеряется функцией (индикатором благосостояния)

W = v(x) - c(y).

Эквивалентная формулировка состоит в том, чтобы минимизировать чистые потери от налогов

DL = W - W,

где W - максимально возможный уровень благосостояния, достигаемый в Парето-оптимуме.

Внутреннее равновесие с налогами не может быть оптимумом первого ранга, поскольку в оптимуме предельная оценка должна совпадать с предельными издержками:

vk (xk) = ck(xfc)'

Другими словами, чистые потери в равновесии с налогами положительны (если только налоги не равны нулю).

Из сепарабельности следует, что общие чистые потери есть сумма чистых потерь по отдельным рынкам, измеряемых разностью

DLfc = vfc (xfc) - cfc (xfc) - (vfc (xfc) - cfc (xfc)) ' При дифференцируемости эти потери можно представить в виде интеграла:

Поскольку, как обычно в квазилинейной экономике, vk(?) представляет собой обратную функцию спроса, а ck(?) - обратную функцию предложения, то чистые потери на отдельном рынке геометрически равны площади "треугольника" между кривой спроса, кривой предложения, и прямой, представляющей объем продаж в равновесии с налогами (заштрихованная фигура на Рис.

9.6). Задача оптимального налогообложения сводится к минимизации суммы таких "треугольников" по всем рынкам.

Рис. 9.6. Чистые потери благосостояния на рынке k -го блага

Таким образом, ставится задача нахождения оптимума второго ранга путем выбора налоговых ставок tk , максимизирующих благосостояние при следующих ограничениях:

Состояние экономики должно быть равновесием с налогами.

Сбор налогов не должен быть меньше заданной величины R.

(Можно, наоборот, рассматривать максимизацию сбора налогов при ограничении на величину потерь благосостояния.)

В результате приходим к следующей задаче

fceK

fceK

vk(xfc) = ck(xfc) + tfc, Vk, tkxk > R.

keK

W = V vfc (xfc) - У2 Cfc (xfc) ^ max

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

L = ? Vk (xk) - ? Ck (xk) + A I ? tk xk - R I + ? ^k [vk (xk) - ck (xk) - tk ].

keK keK \keK / keK

Приравняем производные к нулю: dL

т^ = vk (xk) - 4 (xk) + Atk + ak (vk'(xk) - ck'(xk)) = 0, dL ,

- = Axk - ^k = 0. dtk

Отсюда, учитывая, что v^(xk) - ck(xk) = tk, и исключая множители Лагранжа Ok получаем, что искомое состояние должно описываться соотношением

tk + Atk + Axk (vk'(xk) - ck (xk)) = 0,

или

tk = 1"+Axk(-vk'(xk) + ck (xk))'

Учтем, что vk(?) - обратная функция спроса, а ck(?) - обратная функция предложения. Это позволяет записать формулу через эластичности спроса и предложения:

CD(x ) 1 vk(xk) (< 0)

?fc (xk ) = (<0)'

S ( ) = 1 ck(xk)

?k (xk ) = ckk(x) ~.

Кроме того, поскольку мы рассматриваем состояние равновесия с налогами, то можно заменить v'k (xk) на PH и ck (xk) на p^.

Окончательно, получаем формулу (формулу Рамсея)

t = (PL + tk = 1 + A A^D i + zd.

Подставив в эту формулу PH = р^ + tk, выразим из нее tk и разделим на р^:

11

= A |zD 1

pL 1 + A + A^

efc

При малой величине собираемых налогов, R, множитель Лагранжа, A, мал. Действительно, можно доказать, что при R = 0 множитель Лагранжа A равен нулю. Пусть это не так и A > 0. Воспользуемся тем, что

tk = 1+Axk(-vk'(xk) + ck (xk)).

При A > 0 из условий Куна - Таккера ограничение на сбор налогов должно выполняться как равенство, т.

е. keK tk xk = R = 0. Подставим в это ограничение tk:

A2

J2 xk(-vk'(xk) + ck'(xk)) = 0.

1 + A k?K

В предположении убывающей предельной полезности и убывающей отдачи от масштаба выражение слева должно быть положительным. Мы пришли к противоречию. Значит, при R = 0 множитель Лагранжа А должен быть равен нулю. При этом все ставки налогов должны быть нулевые. (Этим мы попутно доказали, что перераспределение между рынками с помощью налогов, т. е. субсидирование одних рынков за счет других, неэффективно.) В первом приближении при R близком к нулю мы можем записать

tk * Axk(-vk'(xk) + ck(xk)),

кроме того, дифференцируя условия равновесия, получаем

dtk = dxk (-vk'(xk) + ck(xk)),

При малых налогах (dtk ~ tk) из этого следует, что

dxk

* А.

xk

Таким образом, в первом приближении оптимальные налоги снижают объемы потребления (и производства) всех благ в равной пропорции.

Кроме того, малые оптимальные налоги (налоги при R близком к нулю) можно выразить через эластичности спроса и предложения в равновесии без налогов:

I * ^Ш + if) '

Таким образом, правило оптимального налогообложения Рамсея заключается в том, что относительные ставки налогов должны быть (в первом приближении) пропорциональны сумме обратных эластичностей спроса и предложения на соответствующих рынках:

.tk ^ 1 + 1 " I if '

Существенным ограничением данного правила является то, что предполагается независимость рынков (формально - сепарабельность). Если отказаться от этого предположения, то в формуле появятся перекрестные эластичности.

Другое существенное предположение изложенной модели - квазилинейность предпочтений. Различные правила налогообложения Рамсея получаются в рамках модели общего равновесия и при других упрощающих предположениях. В следующем параграфе мы рассмотрим одну из таких моделей.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 9.4 Оптимум второго ранга. Налог Рамсея:

  1. Оглавление
  2. 9.4 Оптимум второго ранга. Налог Рамсея
  3. Предметный указатель