<<
>>

2.4 Представление предпочтений функцией полезности

В этом параграфе мы рассмотрим условия, при выполнении которых можно получить числовой индикатор полезности - функцию полезности16 - с некоторыми наперед заданными

свойствами.

Под функцией полезности потребителя традиционно понимается некоторая веще- ственнозначная функция, упорядочивающая альтернативы из множества допустимых альтернатив X таким же образом, как и предпочтения . Функция полезности является удобным инструментом анализа выбора потребителя, особенно в приложениях теории. Например, с помощью нее удобно изучать вопросы сравнительной статики - как изменяется потребительский выбор при изменении параметров модели.

Определение 7:

Будем говорить, что функция u(-): X м R является функцией полезности, соответствующей предпочтениям (У, -) (другими словами, представляющей эти предпочтения), если для всякой пары потребительских наборов x, y ? X соотношение x y выполнено тогда и только тогда, когда u(x) Z u(y).

Замечание: Следует понимать, что если некоторые предпочтения могут быть представлены функцией полезности u(-), то данные предпочтения могут быть представлены также и суперпозицией f (u(-)), где f (?) - некоторая возрастающая функция (см. задачу 30). Т. е. при наличии хотя бы одной функции, представляющей предпочтения потребителя, мы автоматически имеем бесконечное множество функций полезности, таким же точно образом упорядочивающих потребительские наборы, и, соответственно, эквивалентных с точки зрения описания потребительских предпочтений. Некоторые из этого бесконечного множества функций полезности могут быть более удобными для анализа, чем другие, например, обладать такими свойствами как непрерывность, дифференцируемость, вогнутость, квазилинейность, сепарабельность и т. п. (см. далее).

В связи с приведенным определением естественно возникает вопрос о том, какие свойства предпочтений (и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантируют существование функции полезности, представляющей эти предпочтения.

Вначале приведем утверждение, которое дает нам необходимое условие существования функции полезности.

Заметим, прежде всего, что Определение 7 намеренно сформулировано таким образом, чтобы учесть возможность того, что предпочтения не являются неоклассическими. Для самых "ходовых" случаев неполной рациональности (см. параграф 2.B) предпочтения можно описать, если задать нестрогое отношение предпочтения. При этом оно определяется как

У = У U ~ ("лучше или безразлично"). Если для каждой пары наборов x,y ? X выполнено не более, чем одно из соотношений x У y, x - y, x ~ y , то, зная У, отношения У и ~ можно однозначно восстановить по следующим правилам:

x У y, если x У y и (y У x); (P4)

x ~ y, если x У y и y У x. (P5)

В нижеприведенной теореме мы будем исходить именно из этих допущений. Теорема 6:

Если существует функция полезности, представляющая предпочтения (У, У, , заданные на X, то эти предпочтения являются неоклассическими. J

Доказательство: Поскольку отношение ^, заданное на множестве определения функции полезности (подмножестве R), является полным и транзитивным, то отношение У на X тоже полно и транзитивно. Кроме того, очевидно, что (P5) совпадает с (P3), а (P4) при полноте У эквивалентно (P1). Таким образом, согласно пункту (ii) Теоремы 3 рассматриваемые предпочтения являются неоклассическими. ?

Как несложно понять, если предпочтения являются неоклассическими, то для того, чтобы проверить, представляет ли их данная функция u(-), достаточно проверить, что для всякой пары альтернатив x, y ? X соотношение x У y верно тогда и только тогда, когда u(x) > u(y).

В дальнейшем в этой главе (за исключением задач и приложения, посвященного предпочтениям, отличным от неоклассических) мы будем рассматривать только неоклассические предпочтения и во многих случаях не будем оговаривать это особо, говоря просто "предпочтения".

Отметим, что когда множество альтернатив не более чем счетное (например, счетное), условие, что предпочтения являются неоклассическими, является достаточным для существования функции полезности.

(Множество альтернатив будет счетным, например, когда все блага потребляются только в целых количествах.)

Теорема 7:

Если множество альтернатив X не более чем счетно, то для любых неоклассических предпочтений на X существует представляющая их функция полезности. J

Доказательство: Поскольку множество альтернатив X не более чем счетно, то его можно представить в виде последовательности альтернатив x%, i = 1, 2,.... Доказательство утверждения строится в виде алгоритма.

Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной последовательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе xN+1. Рассмотрим два подмножества множества AN = {x1,..., xN}: xN+1 У x

AN = { x ? AN | x У xN+1 } и AN = { x ? AN Обозначим через x такой элемент множества A+ , что x У x для всех x ? AN . В случае неединственности такого элемента берем любой из них. Аналогичным образом обозначим через x такой элемент множества AN, что x У x для всех x ? AN. Существование x (при непустом множестве AN) и x (при непустом множестве AN) следует из полноты и транзитивности отношения У. Доказательство этого оставляется в качестве упражнения .

Возможны 4 случая:

= 0. Тогда можно взять u(xN +1) = u(x) + 1.

А^ = 0. Тогда можно взять u(xN +1) = u(x) - 1.

AN = 0, А- = 0, AN n AN = 0. Тогда можно взять u(xN+1) = (u(x) + u(x))/2.

AN = 0, A- = 0, А+ П AN = 0. В этом случае берем u(xN+1) = u(x), где x - произвольный элемент множества AN П AN (по построению все элементы множества AN П AN имеют одну и ту же полезность).

Чтобы закончить описание алгоритма, положим A1 = {x1} и ^(x1) = 0. Заметим, что при таком построении функции полезности свойство

x ^ y ^ u(x) Z u(y)

выполнено для всех x, y G

AN

при произвольном N (см. задачу 35). Поэтому построенная таким образом функция u(-) действительно является функцией полезности. ?

Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае неверно. Это показывает, пример предпочтений на основе лексикографического упорядочения потребительских наборов из R+. Пример 4:

Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно ранжирует наборы подобно правилу расположения слов в словаре. В двумерном случае (X = R+) чем больше первого блага, тем лучше набор, а если количество первого блага в двух наборах одинаково, то имеет значение количество второго блага. Таким образом, согласно этому упорядочению x лучше y (x >-L y), если Ж1 > y1 или же если Ж1 = У1 и Ж2 > У2. Таким образом заданное упорядочение >-L удовлетворяет свойствам асимметричности и отрицательной транзитивности. Однако соответствующие неоклассические предпочтения не представляются никаким численным индикатором полезности. Докажем это.

Предположим противное. Пусть существует соответствующая этим предпочтениям функция полезности, т. е. функция (принимающая действительные значения), такая что

x yL y ^ UL(X1, Ж2) > UL(y1, У2).

Сопоставим каждому неотрицательному действительному числу Ж1 некоторое 'рациональное число r(®1), такое что uL(®1, 2) > r(x1) > UL(x1, 1). Такое r(x1) найдется, поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в множестве действительных чисел.

Если ж1,ж! Z 0 - два числа, таких что Ж1 > ж1, то по определению лексикографического упорядочения имеем uL(x1, 1) > uL(®1, 2). Кроме того, uL(x1, 2) > r(x1) > uL(x1, 1) и uL(x1, 2) > г(ж1) > uL(x1, 1). В силу этих соотношений имеем

г(ж1) > uL(x1,1) > uL(x1, 2) > г(ж1).

Тем самым, из того, что Ж1 > ж1 имеем, что г(ж1) > г(ж1). В силу этого r(-) является взаимнооднозначной функцией. Область определения этой функции - неотрицательные действительные числа (это множество является континуумом), а область значения - некоторое подмножество множества рациональных чисел (т. е. счетное множество). Подобное невозможно, так как невозможно построить взаимнооднозначное соответствие между счетным множеством и континуумом. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем самым, доказали, что не существует функции полезности, соответствующей лексикографическому упорядочению. Д

Отметим, что, однако, существует ряд случаев, для которых можно гарантировать существование функции полезности, даже если множество альтернатив не является конечным или счетным. Так, например, Жерар Дебре доказал, что функция полезности существует, если

предпочтения непрерывны. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности. Мы дадим одно из таких определений, а затем укажем другие возможные определения.

Определение 8:

Неоклассические предпочтения (У, У, на X С R1, называются непрерывными, если для любых сходящихся последовательностей допустимых наборов {xn}, {yn} (xn, yn ? X), таких что xn У yn при всех n, пределы которых x = xn и y = yn являются

допустимыми наборами (x, y ? X), выполнено x У y.

Следующая теорема указывает некоторые альтернативные определения непрерывности Теорема 8:

Пусть (У, У, - неоклассические предпочтения на X С R1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

предпочтения непрерывны в смысле Определения 8;

для любого x ? X как множество L+(x) = { y ? X | x У y }, так и множество L-(x) = { y ? X | x ^ y } замкнуто (в R1).

если x У y (x,y ? X), то существуют e-окрестности Vx и Vy точек x и y соответственно, такие что для любых x' ? Vx П X и y' ? Vy П X выполнено x' У y'. J

Доказательство: Доказательство проведем по схеме 1 ^ 2 ^ 3 ^ 1.

^ (2) Возьмем произвольный набор x ? X и любую сходящуюся последовательность {yn}, целиком лежащую в L+ (x). Пусть y - предел этой последовательности . По определению L+(x) для любого n выполнено x У yn. Поскольку предпочтения непрерывны, отсюда следует, что x У y, т. е. y ? L+(x). Замкнутость второго множества доказывается аналогично.

^ (3) Прежде всего, заметим, что множество L+(x) замкнуто тогда, и только тогда, когда его дополнение в R1, множество R'\L+(x), открыто. Аналогично, L-(x) замкнуто тогда, и только тогда, когда R1 \L-(x) открыто.

Пусть x У y. Рассмотрим два возможных случая.

Существует набор z ? X, такой что x У z У y. Тогда x лежит в открытом множестве R1 \L-(z) и поэтому существует e-окрестность этого набора, Vx, целиком лежащая в R'\L-(z). Аналогично, y лежит в R1 \L+(z) вместе с некоторой окрестностью Vy.

Не существует набора z ? X такого, что x У z У y. Набор x лежит в R1 \L-(y) вместе с некоторой окрестностью Vx, а y лежит в R1 \L+(x) вместе с некоторой окрестностью Vy.

Читателю предлагается самостоятельно проверить, что в каждом из случаев (a), (b) для любых x' ? Vx П X и y' ? Vy П X выполнено x' У y' (см. задачу 41).

(3) ^ (1) Возьмем некоторые сходящиеся последовательности допустимых наборов {xn}, {УП} , такие что x" ^ yra Vn. Если бы y У x, где x = x", y = yra, тогда

для точек x, y нашлись бы окрестности Vx и Vy, такие что для любых допустимых наборов x' G Vx и y' G Vy выполнено y' У x'. Это означает, что при достаточно больших значениях n имеем yn У xn, что противоречит xn ^ yn. Таким образом, получили, что x ^ y. ?

Приведенные эквивалентные определения непрерывности позволяют выявить содержательный смысл понятия непрерывности: если мы явно предпочитаем один из наборов другому, то при рассмотрении достаточно близких наборов наша ранжировка сохранится. Кроме того, согласно этой теореме непрерывность предпочтений можно переформулировать как требование замкнутости верхнего и нижнего лебеговских множеств .

Пример 5 (продолжение Примера 4):

В случае лексикографических предпочтений на R+ для любого x G R+ множества L+(x) и L-(x) не являются ни замкнутыми, ни открытыми. Здесь задается на основе yL обычным образом. Несложно увидеть, что

x y ^ ((x1 > y1) или (x1 = y1 и x2 Z y2)).

x2 М

x

xi

Рис. 2.2. Верхнее лебеговское множество для лексикографического упорядочения

Рис. 2.2 показывает одно из верхних лебеговских множеств для лексикографических предпочтений. Очевидно, что изображенное на рисунке множество L+(x) не является ни замкнутым, ни открытым, и, таким образом, лексикографические предпочтения не являются непрерывными. (То же самое имеет место и для L-(x).) Д

Теперь сформулируем и частично докажем анонсированную выше теорему Ж. Дебре о существовании функции полезности, представляющей неоклассические предпочтения.

Теорема 9:

Для любых непрерывных неоклассических предпочтений на X С R1 существует представляющая их непрерывная функция полезности. J

Доказательство: Как уже говорилось, мы не будем полностью доказывать этот результат. Докажем только часть его, а именно, существование функции полезности. За доказательством непрерывности заинтересованный читатель отсылается к оригинальной работе Траута Раде- ра , чей вариант доказательства теоремы Дебре мы здесь приводим.

Рассмотрим систему шаров в R1 с рациональными центрами и радиусами. Очевидно, что таких шаров счетное число. На основании этих шаров построим систему множеств {On}+=1

по следующему принципу: в эту систему попадают непустые пересечения исходной системы шаров с множеством X. Обозначим через L--(x) множество потребительских наборов из X, которые строго хуже x, т. е. L--(x) = { y ? X | x У y }. Введем в рассмотрение множество индексов тех множеств On, все точки которых хуже x: N(x) = { n | On С L--(x) }.

Покажем, что UneN(х) On = L--(x). Включение UneN(х) On С L--(x) очевидно, так как для каждого n ? N (x) выполнено On С L--(x).

Докажем обратное включение L"(x) Си n?N (х) On. Возьмем некоторую точку y ? L--(x). Множество Rz\L+(x) открыто (так как L+ (x) замкнуто), и ему принадлежит точка y (так как L--(x) С R'\L+(x)). В это множество можно вписать шар с рациональными центром и радиусом, содержащий точку y. Другими словами, существует множество On, которое содержит y. Следовательно, y ? |Jn€N(х) On.

Далее, каждой точке x ? X сопоставим величину

В случае, когда N(x) = 0, положим u(x) = 0.

Покажем, что определенная таким образом функция u(-) представляет рассматриваемые предпочтения.

Пусть x У y. Тогда L--(y) С L--(x), откуда N(y) С N(x) и, следовательно, u(x) ^ u(y).

Пусть теперь u(x) ^ u(y). Предположим, что x У y не выполняется, т. е. y У x .В этом случае L--(x) С L--(y), и при этом L--(x) = L--(y). Отсюда заключаем, что N(x) С N(y) и N(x) = N(y), а значит, по определению u(-), имеем u(x) < u(y). Получили противоречие с u(x) ^ u(y). Таким образом, доказано, что u(x) ^ u(y) влечет x У y. Тем самым, построенная функция u(-), является функцией полезности для исходных предпочтений. ?

Рис. 2.3. Построение функции полезности по схеме Радера.

xi

Данный вариант доказательства имеет достаточно ясную графическую интерпретацию (см. Рис. 2.3). Мы заполняем нижнее лебеговское множество "шариками" с рациональными радиусами и центрами, и берем в качестве функции полезности основанный на этих "шариках" измеритель размера нижнего лебеговского множества.

Еще одно элегантное доказательство теоремы Дебре с выразительной графической интерпретацией можно построить при довольно естественном предположении о монотонности предпочтений.

Достаточно разумно потребовать, чтобы полезность индивидуума возрастала при росте количества потребляемых благ, т. е. потребитель предпочитал большее количество блага меньшему.

Ж2 П

Определение 9:

Предпочтения на X называются монотонными, если Vx, y ? X из x Z У следует x ^ y. Определение 10:

Предпочтения называются строго монотонными, если из x Z У и x = y следует x У y.

Докажем ослабленный вариант теоремы Дебре, предполагая строгую монотонность. Теорема 10:

Для любых непрерывных, строго монотонных предпочтений на X = R+ существует представляющая их непрерывная, строго монотонная функция полезности. J

Доказательство: Требуемую функцию полезности найдем, сопоставив каждому x ? R+ такое число u(x), что x ~ u(x)1, где 1 - l-мерный вектор, состоящий из единиц. (Рис. 2.4 иллюстрирует идею доказательства.)

Рис. 2.4. Построение функции полезности при предположении монотонности предпочтений

Покажем, что такое число u(x) всегда существует и единственно. Для этого мы должны найти для каждого набора x эквивалентный ему набор из множества U = { u1 | u ? R+ }, которое является лучом, выходящим из начала координат. Сопоставим рассматриваемому набору x множество чисел, соответствующих не худшим наборам из U:

U+(x) = { u ? R+ I u1 ^ x } ,

и множество чисел, соответствующих не лучшим наборам из U:

U-(x) = { u ? R+ | x ^ u1 } .

Эти множества не пусты, так как из свойства строгой монотонности следует, что 0 ? U-(x) и maxfc {xfc} ? U +(x).

Множество U +(x) лежит выше U-(x), поскольку из строгой монотонности следует, что Vui ? U-(x) и Vu2 ? U + (x) выполнено ui ^ u2.

Обозначим u+ = inf U +(x) и u- = supU-(x). Эти величины конечны, так как множества U-(x) и U +(x) ограничены сверху и снизу соответственно. По непрерывности предпочтений u+ ? U +(x) и u- ? U-(x). При этом u+ Z u-. Покажем, что u+ = u-. Пусть это не так. Тогда существует число u' такое, что u- < u' < u+. При этом u' ? U-(x) и u' ? U +(x). Это невозможно, так как по свойству полноты нестрогого отношения предпочтения мы должны иметь либо u'1 x, либо u'1 ^ x.

Полученная точка u = u+ = u- удовлетворяет требуемому условию x ~ u1 и единственна.

Заданная таким образом функция u(x) является функцией полезности. Пусть xi x2. По построению xi ~ u(xi)1 и x2 ~ u(x2)1l. Значит, xi x2 тогда и только тогда, когда

u(xi)H У u(x2)1l. Но по строгой монотонности предпочтений u(xi)1l У u(x2)1 тогда и только тогда, когда u(x1) ^ u(x2).

Функция полезности u(x) является строго монотонной. Пусть xi ^ x2 и xi = x2. Тогда из строгой монотонности предпочтений xi У x2. Отсюда следует, что u(xi)1l У u(x2)1. Поэтому u(xi) > u(x2).

Докажем теперь непрерывность функции полезности u(-). Для этого рассмотрим последовательность допустимых наборов {xnтакую, что limn^^ xn = x. Нам надо показать, что limn^^ u(xn) = u(x).

Зафиксируем некоторое число e > 0. Выберем u и u такие, что для любого вектора y, такого что ||y - x|| ^ e, выполнено

uil < y < U1.

(Например, можно взять u = min^ - e и U = maxk +e.) При этом для любого допустимого набора y, удовлетворяющего условию ||y - x|| ^ e, имеем u ^ u(y) ^ U, поскольку по строгой монотонности предпочтений max{u, 0} И ^ y ^ ui, и u(ail) = а для всех a ^ 0. Найдется достаточно большое число N, такое что для последовательности {xn} при n ^ N выполнено ||xn - x|| ^ e. При этом u(xn) начиная с номера N попадает в интервал [u, u].

Так как бесконечная последовательность {u(xn)} начиная с номера N находится в пределах компакта [u, u], то она должна иметь точки сгущения. Мы хотим показать, что существует всего одна точка сгущения, и это u(x).

Покажем, что любая сходящаяся подпоследовательность {u(xnfc)}^=i из последовательности {u(xn)} сходится к одному и тому же числу u(x). Предположим, что это не так, и данная подпоследовательность сходится к u* = u(x). Пусть, без потери общности, u* > u(x). Возьмем некоторое число u, такое что u* > u > u(x). По свойству строгой монотонности имеем, что ui У u(x)H. Поскольку {u(xnfc)}^=i сходится к u*, то существует M такое, что при k ^ M выполнено u(xnfc) > u. По определению функции полезности xnfc ~ u(xnfc)И и, кроме того, по строгой монотонности u(xnfc)И У ui (для всех k ^ M), т. е. xnfc ~ u(xnfc)И У uil. Так как предпочтения непрерывны, то x У uil, но x ~ u(x)1, поэтому u(x)1l У uil. Однако выше было показано, что uil У u(x)1l. Получили противоречие и, тем самым, доказали непрерывность построенной функции полезности. ?

Как видно из приведенных выше вариантов теоремы существования функции полезности, требование непрерывности предпочтений достаточно сильно, так как помимо существования функции полезности мы получаем еще и дополнительное свойство - ее непрерывность. Но, с другой стороны, непрерывность функции полезности - это свойство, значение которого трудно переоценить. Его наличие автоматически дает нам существование функции спроса потребителя в большинстве задач, которые будут нас интересовать.

Замечание: Теоремы 9 и 10 доказывают, что если предпочтения непрерывны, то существует представляющая их непрерывная функция полезности. Несложно доказать и обратное: если функция полезности, представляющая предпочтения, непрерывна, то предпочтения являются непрерывными (см. задачу 40)

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 2.4 Представление предпочтений функцией полезности:

  1. Оглавление
  2. 2.3 Неоклассические предпочтения
  3. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  4. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  5. 6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  6. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  7. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  8. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
  9. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  10. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  11. Предпочтения на лотереях и их представимость линейной функцией полезности
  12. 5.1.7. Методы построения функции полезности
  13. 5.2.3. Двойственные оценки и функции цен
  14. "Новое слово" австрийской школы предельной полезности
  15. 1. Полезность. Закон убывающей полезности. Рациональный потребительский набор.
  16. РАЗДЕЛ 1. Производственная функция
  17. РАЗДЕЛ 2. Функции общественного благосостояния
  18. ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  19. §1. Отношение предпочтения и его свойства.
  20. Функции полезности, кривые безразличия