<<
>>

7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности

Как уже сказано выше, мы будем исходить из того, что у принимающего решение индивидуума имеются некоторые предпочтения У, на множестве случайных потребительских наборов. Как обычно, будем при этом предполагать, что предпочтения являются неоклассическими (в частности, отношение У отрицательно транзитивно и асимметрично):

(A1') На A х XX заданы неоклассические предпочтения У, .

Как известно, если предпочтения являются неоклассическими (рациональными) и непрерывными, они могут быть представлены функцией полезности.

В этом параграфе, опираясь на результаты последующего, мы покажем, что при выполнении некоторых дополнительных предположений относительно предпочтений, представляющая их функция полезности имеет некоторый специальный вид.

Итак, наша цель состоит в том, чтобы доказать, что представляющая рассматриваемые предпочтения функция полезности имеет вид:

U (x) = ? Psu(xs).

seS

Функция U(?) такого вида называется функцией Неймана - Моргенштерна (ожидаемой полезностью), а функция u(-), заданная на множестве исходов X, - элементарной функцией полезности (функцией Бернулли) .

Первое предположение, которое требуется сделать, состоит в том, что для потребителя не имеет значения само по себе состояние мира. Это предположение позволяет характеризовать предпочтения на случайных потребительских наборах x посредством предпочтений на лотереях - объектах более простой природы. Если для потребителя не имеет значения само по себе состояние мира, и потребление xs в нескольких различных состояниях мира совпадает, то можно "объединить" эти состояния и сложить вероятности. Получившийся объект и будет называться лотереей. Лотерея включает информацию только о результатах, которые непосредственно влияют на потребителя, и вероятностях получения этих результатов, но не содержит информации о том, как эти результаты получены, и каким состояниям мира они соответствуют.

Покажем, как построить такие лотереи и осуществить соответствующий переход к предпочтениям на них.

Пусть, например, имеется три равновероятных состояния мира: "желтое", "фиолетовое" и "голубое". В желтом состоянии мира потребитель потребит 1 кг картошки и 2 л пепси-колы, в фиолетовом также 1 кг картошки и 2 л пепси-колы, а в голубом - 3 кг картошки и 1 л пепси-колы. В результате получаем лотерею, в которой набор (1, 2) имеет вероятность 2/3, а набор (3,1) - вероятность 1/3.

В общем случае пусть x - случайный потребительский набор. Рассмотрим множество {xtj} всех различных между собой исходов xs из этого случайного набора, которым соответствуют положительные вероятности (другими словами, это носитель соответствующей случайной величины). Каждому исходу x^ сопоставляется вероятность Pj, равная сумме вероятностей состояний мира, в которых исход равен xj, то есть Pj

Е Ms s:x =x

Такие объекты (множества различных исходов и их вероятности) принято называть лотереями на множестве X. Построенную на основе исходного случайного потребительского набора x G XX лотерею будем обозначать ^(x). Множество построенных таким образом лотерей будем обозначать :

L = { ^(x) I x G X } .

Если потребовать, чтобы при сравнении разных x принимались во внимание только исходы и вероятности их получения, то предпочтения на множестве XX порождают предпочтения на множестве лотерей, порожденных этими величинами. В таком случае можно рассматривать непосредственно лотереи и предпочтения на множестве лотерей. Таким образом, мы предполагаем, что исходные предпочтения на XX удовлетворяют следующему свойству:

(A1") Если для x, y G XX выполнено ^(x) = ^(y), то x ~ y.

Несложно понять, что предпочтения на множестве L, построенные на основе исходных, будут неоклассическими.

Дальнейшее изложение не зависит от способа задания множества лотерей L и предпочтений на нем. Поскольку многие ситуации выбора изначально представляются как ситуации выбора на множестве лотерей, то приведенный ниже анализ имеет и самостоятельное значение.

Если множество состояний мира S достаточно "большое" и множество XX достаточно богато, то и множество лотерей L будет достаточно представительным.

Мы будем предполагать, что множество лотерей L содержит все так называемые простые лотереи, выделяемые следующим определением.

Princeton University Press, 1944 (рус. пер.: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970). Сама идея ожидаемой полезности появилась гораздо раньше (см. напр. работу Даниила Бернулли упоминаемую в сноске ?? на с. ??).

Определение 53:

Под простой лотереей мы будем понимать лотерею с конечным носителем, т. е. пару (Xp, p), где Xp - конечное подмножество множества исходов X, а p - вектор вероятностей получения исходов из Xp.

Если множество состояний мира конечно, то все лотереи из множества L будут простыми. Однако при этом L не может содержать все простые лотереи, поскольку количество исходов в носителе лотереи не может быть больше числа состояний мира.

Вначале мы охарактеризуем условия существования функции полезности Неймана- Мор- генштерна для предпочтений, заданных на множестве, состоящем только из простых лотерей. Позже мы поясним, как этот результат распространить на более общий случай.

Простую лотерею можно представить следующей таблицей (где, как говорилось выше, все xxj предполагаются различными): x 1 x 2 ? ? ? xk Pi P2 " ? Pk В дальнейшем удобно простую лотерею представлять в виде функции p(-), заданной на всем множестве X, считая, что p(x) = 0, если x ? Xp и p(xj) = pj. Тогда без потери общности простую лотерею (Xp, p) можно отождествлять с p, где p понимается как сокращенное обозначение функции p(-). В дальнейшем будем придерживаться этого упрощения. Будем обозначать соответствующее p множество Xp, т. е. носитель лотереи, через Supp(p).

Supp(p) = { x ? X | p(x) > 0 } . Понятно, что по определению вероятности

? p(x) = 1.

xeSupp(p)

Множество всех простых лотерей участника обозначим S. В дальнейшем мы будем предполагать, что предпочтения заданы на всех возможных парах элементов множества S.

Как уже говорилось из предположений (A1') и (A1") следует, что предпочтения на лотереях являются неоклассическими (рациональными). Поскольку в дальнейшем мы будем работать только с простыми лотереями, то переформулируем исходные предположения в терминах этих лотерей:

(A1) На множестве простых лотерей S заданы неоклассические предпочтения У, .

Кроме рациональности предпочтений на лотереях, нам потребуется также сделать два важных предположения о свойствах комбинаций лотерей.

Определение 54:

Для любой пары простых лотерей p, q ? S и числа a ? [0,1] определим выпуклую комбинацию (смесь) p о a о q как простую лотерею, носителем которой является объединение носителей лотерей p и q:

Supp(p о a о q) = Supp(p) U Supp(q), а вероятность исхода x рассчитывается по формуле

ap(x) + (1 - a)q(x), x ? Supp(p о a о q).

Построение выпуклой комбинации лотерей с различающимися множествами исходов иллюстрирует Рис. 7.1.

Одна из возможных интерпретаций операции выпуклой комбинации лотерей p о a о q состоит в том, что рассматривается двухэтапная лотерея: лотерея с двумя исходами, которые в

свою очередь являются обычными одноэтапными лотереями. В первоначальной лотерее вероятности равны а и 1 - а: с вероятностью а реализуется исход p, а с вероятностью 1 - а - исход q. При этом предполагается, что оценка лотереи потребителем не зависит от способа ее реализации: двухэтапная и соответствующая ей одноэтапная лотереи эквивалентны. То есть в оценке любой лотереи потребитель ориентируется лишь на исходы этой лотереи и вероятности, с которыми эти исходы реализуются, что и подразумевает предположение (A1"). Так, две показанные на Рис. 7.1 лотереи эквивалентны, поскольку приводят в конечном итоге к одним и тем же исходам с одинаковыми вероятностями этих исходов, и поэтому их можно рассматривать как одну и ту же альтернативу.

Рис. 7.1. (а) Две простые лотереи, p и q и (б) их выпуклая комбинация p о а о q

Легко понять, что множество всех простых лотерей S содержит все выпуклые комбинации своих элементов: если p, q ? S, тогда p о а о q ? S, Va ? [0,1]. Но ясно, что для произвольного подмножества множества S это свойство может не выполняться.

Мы будем исходить из того, что для выпуклых комбинаций лотерей выполнены следующие два предположения:

(A2) Аксиома независимости от посторонних альтернатив:

Пусть p У q и r - произвольная лотерея. Тогда для любого а, 0 < а ^ 1 выполняется соотношение p о а о r У q о а о r.

Эту аксиому можно интерпретировать через двухэтапные лотереи. Предположим, что индивидуум считает лотерею p более предпочтительной, чем q. Ему предлагают выбрать заранее, что он предпочтет - p или q, и проводят лотерею, исходами которой с вероятностями а и 1 - а соответственно являются та из лотерей p и q, которую он выбрал, и лотерея r. Ясно, что он выберет p. Но это, фактически, то же, что выбирать между двумя двухэтапными лотереями: лотереей, где исходами являются p и r с вероятностями а и 1 - а соответственно, и лотерей, где исходами являются q и r с вероятностями а и 1-а. Следовательно, индивидууму следует выбрать первую из этих двухэтапных лотерей, что и означает, что p о а о r У q о а о r.

(A3) Аксиома исчерпания Архимеда:

Если p У q У r, то существуют числа а, в ? (0,1), такие что

p о а о r У q У p о в о r.

Эта аксиома утверждает, что если лотерея q лучше r, но хуже p, то не может быть так, чтобы все нетривиальные смеси лотерей p и r были либо лучше, либо хуже q: найдется хотя бы одна смесь, которая хуже q, и хотя бы одна смесь, которая лучше q.

При этих предположениях предпочтения на простых лотереях задаются функцией, которая линейна по вероятностям (имеет вид Неймана- Моргенштерна).

Определение 55:

Функция полезности U(?), представляющая предпочтения на простых лотереях, называется функцией полезности Неймана - Моргенштерна, если существует определенная на множестве

исходов X функция u(-), такая что

U (p) = Е P(x)u(x).

x€Supp(p)

Мы хотим доказать следующий результат . Теорема 84:

Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям (A1)-(A3), то существует представляющая их функция полезности U(?), имеющая вид Неймана- Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преобразования. J

Теорема 84 указывает предположения о предпочтениях на простых лотереях (на множестве S), гарантирующие существование функции полезности U(p), имеющей вид Неймана - Моргенштерна. Этих предположений, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы гарантировать существование подобной функции полезности на более сложных лотереях. Однако, если в дополнение к свойствам (A1)-(A3) предположить, что предпочтения определены на множестве всех лотерей, заданных на X, (т. е. борелевских вероятностных мер на множестве X) и непрерывно (в слабой топологии) на этом множестве, то построенную функцию U(p) можно определить на любой вероятностной борелевской мере стандартным способом, поскольку множество простых мер является плотным во множестве всех борелевских мер. Читатель может попробовать доказать соответствующие утверждения самостоятельно, обращаясь, в случае необходимости, к учебникам по математическому анализу и топологии.

Таким образом, мы можем определить полезность U как функцию от лотереи p G L. Покажем, что эта же функция задает предпочтения на множестве исходных случайных величин x G X.

Действительно эта функция (рассматриваемая как функция U (x)), обладает тем свойством, что если случайным величинам x и y соответствует одна и та же лотерея, то по предположению (A1") x и y эквивалентны, и, следовательно, U(x) = U(y). При этом функция U(x) оказывается линейной по исходным вероятностям Ms. Для того, чтобы это показать, следует вспомнить, как мы построили вероятности p(x), x G Supp(p), на основе исходных вероятностей Ms:

kk

U = Е p(x)u(x) = Е pju(x?) = ЕЕ Ms u(xj) = е Msu(xs).

xeSupp(p) j=1 j=1 s:xa=Xt j seS

Окончательно получаем следующий вид для функции полезности, представляющей исходные предпочтения на XX:

U (x) = E Msu(xs).

ses

Заметим, что, в соответствии с определением функции Неймана - Моргенштерна, ее можно записать в следующем виде

U (x) = E u(x). где E - оператор математического ожидания. Заметим также, что этот вид не зависит от предположений о конечности множества состояний мира. Если это множество не является конечным, то соответствующие суммы по s G S заменяются интегралами. В дальнейшем

мы чаще всего будем пользоваться оператором E, а не соответствующей суммой, поскольку это упрощает обозначения и позволяет формулировать и доказывать утверждения в более общей форме. Что именно спрятано за оператором E имеет значение в основном тогда, когда требуется брать производные от U(?).

В заключение этого параграфа укажем на на то, что предположение (A1") содержательно далеко не всегда оправдано. Во многих реальных ситуациях польза от блага зависит от того, в каком состоянии мира происходит потребление этого блага. Можно, например, рассмотреть два состояния - "солнечная погода" и "дождливая погода" и два блага - солнцезащитные очки и зонтик. Ясно, что наличие очков в дождливую погоду не приносит никакой пользы потребителю. То же верно и для зонтика в ясную погоду. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы рассматривать лотереи не на самих по себе потребительских благах, а на тех "услугах", которые они оказывают потребителю. В рассматриваемом примере следует перейти от набора благ (количество солнцезащитных очков, количество зонтиков) к набору услуг, которые они оказывают: (услуга защиты глаз от солнца, услуга защиты от дождя).

В общем случае, пусть есть функция zs(x), ставящая в соответствие потребительскому набору x в состоянии мира s оказываемые этим набором потребителю услуги z. Предполагается, что польза от услуг уже не связана с состоянием мира. В этом случае можно применить рассматриваемую теорию к лотереям, заданным на z, а потом построить на этой основе функцию полезности, заданную на наборах благ x. Если uo(z) - элементарная функция полезности, заданная на "услугах" благ, то us(x) = Uo(zs(x)) - соответствующая элементарная функция полезности, заданная на благах. Заметьте, что она зависит от состояния мира. При этом функция полезности Неймана- Моргенштерна принимает следующий более общий вид:

U = ? PsWs(xs).

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности:

  1. Оглавление
  2. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  3. 5.2 Задачи к главе
  4. 6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  5. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  6. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  7. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
  8. 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
  9. 13.2.1 Дискриминация первого типа. Идеальная дискриминация
  10. Предметный указатель
  11. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  12. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  13. Предпочтения на лотереях и их представимость линейной функцией полезности
  14. 1.4.2. Правила взаимодействия лиц, принимающих решения по выработке и осуществлению эффективной государственной экономической политики на базе информационной системы поддержки принятия решений.
  15. 5.1.2. Целенаправленное поведение и описание цели
  16. 5.1.4. Эволюция теории полезности
  17. 5.2.3. Двойственные оценки и функции цен
  18. Лотерея как средство измерения полезности