<<
>>

Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса

В этом приложении мы приведем условия (в терминах свойств функции полезности), гарантирующие дифференцируемость функции спроса и связанных с ней функций, характеризующих поведение потребителя.

Теорема 37:

Пусть X = R+ и пусть, кроме того,

функция полезности u(-) дважды непрерывно дифференцируема на R++;

Vu(x) = 0 при всех x > 0;

матрица вторых частных производных функции полезности H(x) является отрицательно определенной при всех x > 0;

спрос потребителя положителен (x(p, R) > 0) при всех ценах при p ? R++ и доходах R > 0.

Тогда,

функция маршаллианского спроса x(p, R) и непрямая функция полезности v(p, R) непрерывно дифференцируемы по ценам и доходу при p ? R++, R > 0;

функция хиксианского спроса h(p, x) и функция расходов e(p, x) непрерывно дифференцируемы по ценам и x при p ? R++, x ? R++. J

Доказательство: Как было показано в пункте 3.1.2, приведенные предположения гарантируют, что условия Куна- Таккера являются необходимыми и достаточными условиями того, что внутренний потребительский набор является решением задачи потребителя.

Также было показано, что при выполнении этих условий множитель Лагранжа положителен. Таким образом, потребительский спрос при ценах p и доходе R определяется следующими уравнениями:

Vu(x) - Ap = 0; px - R = 0.

По теореме о неявной функции (см. Приложение ??) функция спроса x(p, R) и множитель Лагранжа как функция цен и дохода А = A(p, R) будут непрерывно дифференцируемыми, если матрица

является невырожденной. Невырожденность этой матрицы при ценах p и доходе R эквивалентна невырожденности матрицы Vu(x)

H(x) Vu(x)1"

7u(x) 0

при x = x(p, R) (см. задачу 177).

Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица H является невырожденной. Предположим противное. Тогда существует такой вектор y и число z, что Hy + zVu(x) = 0 и Vu(x)y = 0, где (y, z) = 0. Случай y = 0 и z = 0 невозможен, поскольку Vu(x) = 0.

Если же y = 0, то y т Hy + y т Vu(x)т z = y т Hy = 0, что противоречит тому, что матрица H отрицательно определенная.

Таким образом, доказано, что функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа A являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. Поскольку непрямая функция полезности определяется как v(p, R) = u(x(p, R)), а функция полезности и функция спроса непрерывно дифференцируемы, то непрямая функция полезности непрерывно дифференцируема по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p,e(p, x)) = u(x). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения x(p, e(p, x)) = h(p, x), непрерывной дифференцируе- мости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам.

В задаче 178 читателю предлагается доказать непрерывную дифференцируемость функции расходов и хиксианского спроса по x. ?

Отрицательная определенность матрицы Гессе функции полезности (и, являющаяся следствием строгая вогнутость функции полезности) в этой теореме является слишком ограничительным условием, не имеющим содержательной экономической интерпретации. Это условие несложно заменить на более слабое, некоторый вариант квазивогнутости функции полезности (см. задачу 180).

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса:

  1. Оглавление
  2. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  3. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  4. 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
  5. Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
  6. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
  7. 14.2.2 Равновесие Штакельберга и равновесие Курно
  8. Модель Курно и количество фирм в отрасли
  9. Равновесие Штакельберга и равновесие Курно
  10. 1.2. Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
  11. 1.5. Двойственность в модели потребителя
  12. 6.4. Приложения кооперативных игр
  13. ПРИМЕЧАНИЯ
  14. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ КНИГОЙ
  15. Комментарии к очерку II
  16. 1 Что же я попытался сделать?
  17. Речь по случаю вручения Золотой медали Национального центра научных исследований (13 марта 1978 года)
  18. 7.4. Математика. Введение в анализ; дифференциальное и интегральное исчисление; ряды; теория вероятностей