<<
>>

4.3 Восстановление технологического множества

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя имеет довольно простой вид. Пусть (p*, y*), i = 1, ...,n - последовательность наблюдений: при ценах p* наблюдался вектор чистого выпуска у*.

Если при каком-то векторе цен p* выполнено p*yj > piyi, то y* не максимизирует прибыль при ценах p*. А это противоречит рациональности производителя.

Если же p*yj ^ ptyt Vi, j, то последовательность наблюдений (p*, y*), i = 1, ...,n не противоречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порождает такие выборы производителя, может быть построено разными способами. Рассмотрим некоторые из них. \ (5) Y5 У2 \ X"-- ill 1 -У3 э 1 I Рис. 4.8. Возможные способы восстановления множества Y по наблюдаемым точкам

Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при максимизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек y*, т. е.

YI = {y1, y2,..., yn}.

Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку Y2 точек y1, y2,..., yn (если мы предполагаем, что технологическое множество выпукло). Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять разность между YI и R+:

Y3 = YI - R+,
и между Y2 и R+:

Y4 = Y2 - R+.
Еще один вариант - пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями:

Y5 = { y | PV < piyi,i = 1,...,n }.

Все эти варианты для случая n = 2 изображены на приведенных выше рисунках. Прямые, нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что

Yi С Y2 С Y4 С Y5

и

YI С Y3 С Y4 С Y5.

Таким образом, существует несколько множеств, порождающий указанный спрос, причем Y5 является "максимальным" из этих множеств (т. е. содержит любое другое множество). Покажем, что аналогичная процедура позволяет построить подходящее технологическое множество и в случае, когда количество наблюдений может быть бесконечно.

Предположим, что функция y(p), определенная на множестве цен P, такова, что y(p) является решением задачи максимизации прибыли при ценах p.

Требуется на основе y(p) и соответствующей функции прибыли n(p) восстановить соответствующее технологическое множество Y.

Заметим, что существование вектора y G Y, такого что py > n(p) при некоторых ценах p, противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Y. Объединим все векторы y не противоречащие этому условию при всех неотрицательных??

Yn = П { y I py < n(p) } = { y | py < n(p) Vp G P } .

peP

Очевидно, что по построению выполнено Y С Y^ (т. е. построенное технологическое множество будет в общем случае шире, чем исходное), и y(p) является решением задачи производителя с технологическим множеством Y^ при ценах p G P. Как следствие, функция прибыли для технологического множества Y^ определена при всех p G P и совпадает с n(p).

Таким образом, мы нашли (максимальное) технологическое множество, которое порождает данные наблюдения.

Уместен вопрос: совпадет ли множество Y^ с технологическим множеством Y, на основе которого оно построено? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы нам восстанавливать технологические множества по наблюдаемому поведению.

Ответ на вопрос зависит от свойств технологического множества Y и от множества цен P , при которых наблюдается предложение.

В общем случае Y и Y^ могут не совпадать, поскольку описанный метод построения Y^ порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), а технологическое множество

Y может быть невыпуклым (как на Рис. 4.8.1 и 4.8.3). Кроме того, ясно, что множество цен P может быть недостаточно "богатым" для того, чтобы технологическое множество было адекватно представлено наблюдаемыми выборами при этих ценах.

Рассмотрим частный случай, когда P = R++. В этом случае Y и Yn могут не совпадать, поскольку наш метод построения Yn порождает множества, удовлетворяющее свойству свободы расходования, а технологическое множество Y может не удовлетворять свойству свободы расходования (как на Рис. 4.8.1 и 4.8.2).

Теорема 54:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто, выпукло и удовлетворяет свойству свободы расходования.

Тогда при P = R++ оно совпадает с порождаемым им множеством Yn. J

Доказательство: Поскольку Y С Yn, то остается показать только, что Yn С Y.

Рассмотрим точку y, не принадлежащую технологическому множеству Y. По теореме отделимости для непустого выпуклого замкнутого множества Y и точки y, не принадлежащей этому множеству, существует вектор коэффициентов p, не равный нулю, и число q, такие что

Р У > q ^ Р У Vy e Y.

Покажем, что p может быть вектором цен. Для этого нужно, чтобы он не имел нулевых или отрицательных компонент.

Предположим, что pi < 0. Рассмотрим некоторую точку y' e Y и луч у' - Лei при Л ^ 0, где ei - орт (i-я компонента равна 1, а остальные - нули). Этот луч целиком лежит во множестве Y, так как Y удовлетворяет свойству свободы расходования. Величина py' - Лp^ не ограничена сверху. Это противоречит тому, что py > py Vy e Y. Мы пришли к противоречию, поэтому p ^ 0.

Более того, можно выбрать вектор коэффициентов так, что в нем не будет нулевых компонент. Действительно, рассмотрим вектор p + ep', где p' - произвольный вектор цен из R++. Величины p'y при y e Y ограничены сверху значением n(p'), поэтому, если e достаточно мало, то все еще будут выполняться неравенства

(p + ep')y > (p + ep')y Vy e Y.

Следовательно, существует вектор p > 0, такой что py > py Vy e Y. Отсюда следует, что py > n(p), и, значит, y e Yn.

Мы показали, что любая точка, которая не принадлежит Y, не принадлежит и Yn .А это значит, что Yn С Y. ?

Рис. 4.9. Иллюстрация отделимости

У i

Ниже Рис. 4.10 приведены примеры ситуаций, когда при нарушении предположений теоремы ее утверждение (Yn С Y) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Y на основе функции прибыли.

П У 2

Эти точки нельзя отделить гиперплоскостью с неотрицательным наклоном

yi

Не выполнено условие выпуклости

Не выполнено условие свободы расходования

Рис. 4.10. Ситуации, когда невозможно восстановить Y.

Обсудим теперь следующую проблему: как для данной функции п(р) и функции y(p), заданных на множестве цен P, определить, могут ли они являться соответственно функцией прибыли и функцией предложения рационального производителя?

Понятно, что необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость, однородность первой степени и непрерывность. Оказывается, что эти условия являются и достаточными для того, чтобы произвольная функция п(р) была функцией прибыли для некоторого технологического множества. В качестве такого множества можно взять рассмотренное выше множество

Yn = {у | ру < п(р) Ур е P}.

Следующий набор утверждений формализует сказанное выше:

Если функция п(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то построенная на ее основе функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя.

Если функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя, то построенная на ее основе функция п(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли.

Если функция п(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то существует технологическое множество, порождающее п(р) как функцию прибыли.

Перечислим упомянутые необходимые условия. Для удобства доказательства потребуем дополнительно, что п(р) является дважды непрерывно дифференцируемой, а у(р) - непрерывно дифференцируемой.

Условия на функцию п(р):

(A1) положительная однородность первой степени;

(A2) выпуклость;

(A3) п(-) дважды непрерывно дифференцируема (более сильное условие, чем требуется).

Условия на функцию у(р):

(B1) положительно однородна нулевой степени,

(B2) матрица производных M = {dys/dpk} существует и непрерывна, положительно полуопределена и симметрична.

Сформулируем приведенный выше набор неформальных утверждений как теорему.

Теорема 55:

(1) Пусть

Ук(p) =

dn(p)

dpk '

где функция n(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Тогда y(p) = (yI(p),..., yi(p)) удовлетворяет условиям (B1), (B2) налагаемым на функцию спроса-предложения производителя.

Пусть функция y(p) удовлетворяет условиям (B1), (B2).

Тогда функция n(p) = py(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Пусть функция n(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3). Тогда множество Yn = { y | py ^ n(p) Vp ^ 0 } является технологическим множеством порождающим функцию прибыли n(p). J

Доказательство: (1) (A1)-(A3) ^ (B1)-(B2).

Поскольку функция n(p) однородна первой степени, то ее производная y(p) однородна нулевой степени.

Непрерывная дифференцируемость y(p) следует из дважды непрерывной дифференциру- емости функции n(p).

Матрица вторых производных любой дважды непрерывно дифференцируемой функции симметрична. Применяя это свойство к функции n(p) имеем,

d2n(p) d2n(p)

dpsdpk d'pkdps.

Матрица вторых производных функции n(p) есть матрица первых производных функции y(p). Поэтому

dys = dyk

dp к dps.

Положительная полуопределенность матрицы вторых производных (то есть rMr ^ 0 Vr e Rn) - необходимый (и достаточный) признак выпуклости любой дважды дифференцируемой функции.

(B1)-(B2) ^ (A1)-(A3).

Продифференцируем n(p) = py(p) = Е Pkyk(p) по pk:

dn(p) Л dys(p) Л dyk(p)

dapr =yk (p) + ^p iSkT =yk (p) + ^p ""pr ?

Второе равенство - следствие симметричности производных функции y(p). Так как y(p) - положительно однородна нулевой степени, то по закону Эйлера

t" "У^ = 0-

Таким образом,

dn(p) . Л

- = yk (p).

dpk k

Далее воспроизводим доказательство пункта (1) в обратном порядке.

Обозначим

y(p) = Vn(p).

Так как п(р) - однородная первой степени функция и у(р) - ее градиент, то по закону Эйлера

п(р) = ру(р).

Поскольку ру(р) = п(р), то в точке у(р) при данных ценах р величина ру(р) всегда не меньше, чем ру в любой точке у е Y^. Если мы докажем, что при любых ценах р ^ 0 точка у(р) принадлежит множеству Y^ = { у | р'у ^ п(р') Ур' ^ 0 }, то тем самым мы докажем, что п(р) есть функция прибыли, соответствующая технологическому множеству Y^-. То есть нам требуется показать, что р'у(р) ^ п(р') Ур, р' ^ 0.

График всякой выпуклой непрерывно дифференцируемой функция ф(г) лежит выше своей касательной, т. е. выполняется соотношение:

?0(r') ^ ^(r) + V^(r)(r' - r).

Так как п(р) - выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то

п(р') ^ п(р) + Vn(p)(p' - р).

Поскольку Vn(p) = у(р) и ру(р) = п(р), получаем требуемое для доказательства утверждения соотношение

п(р') ^ п(р) + у(р)(р' - р)= у(р)р'. ?

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 4.3 Восстановление технологического множества:

  1. Оглавление
  2. 3.C.5 Задачи
  3. 4.3 Восстановление технологического множества
  4. Предметный указатель
  5. 1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
  6. 1.3. Восстановление технологического множества по функции прибыли
  7. 1.2. Состояние и тенденции развития мирового рынка высоких технологий.
  8. Глава Ю СОВЕТСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
  9. Структура корпоративных отношений в банковском секторе экономики
  10. Глава 2. Свободный рынок и его последствия
  11. Глава 8. От глобального восстановления к глобальному процветанию
  12. Послесловие
  13. § 2. Обновление производственного аппарата кризисной фирмы