<<
>>

4.2 Задача производителя и ее свойства

Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль.

В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков y ? Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель, приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи на экстремум:

Задача 3.

py ^ max.

yeY

Отметим, что если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества. эффективная / * y2 граница ч Y P2/Pi^4

ч , yi Рис. 4.5. Иллюстрация решения задачи производителя

Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 3, через P. Определение 38:

Отображением предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору цен p ? P множество решений этой задачи. Если решения единственны, то говорят о функции предложения.

Определение 39:

Функция прибыли - это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен p ? P значение Задачи 3:

n(p) = py(p).

Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1) состоит в том, что множество ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено. Более того, для технологий с неубывающей отдачей существование допустимых технологий с положительной прибылью означает существование допустимых технологий, дающих сколь угодно большую прибыль.

Пример 28 ((Отсутствие решения задачи производителя)):

Пусть технологическое множество имеет вид

Y = { (yI,y2) | yI < 0,y2 + ayI < 0 } ,

цены благ равны pI, P2. Если выбрать y2 = - ayI, то прибыль будет равна -(ap2 - PI)yI.

Поэтому если ap2 > PI, то прибыль не ограничена сверху, и решение отсутствует.

Если ap2 < PI, то решение единственно - yI =0 и y2 =0. Если ap2 = PI, то решением этой задачи является любая технологически допустимая пара (yI, y2), такая что y2+ayI = 0. Д

Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных предположениях относительно вектора цен p и структуры множества Y. Ниже мы докажем существование решения для всех неотрицательных цен при следующем (сильном) предположении: существует компактное множество Y', такое что

Y' С Y и Y С Y' - R+. (р)

Рис. 4.6. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи максимизации прибыли

Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций Рис. 5), что множество Y', обладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Y не единственным образом.

Теорема 49:

Пусть выполнено соотношение (р). Тогда решение Задачи 3 существует при любом неотрицательном векторе цен благ. J

Доказательство: Докажем, что задача максимизации прибыли на Y в определенном смысле сводится к задаче максимизации прибыли на Y'. Пусть y е Y и y е Y'. Тогда по условию (р) найдется вектор y' е Y' такой, что y' - y 0. Тем самым, мы нашли допустимое решение, для которого прибыль не меньше, чем для y. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать только y е Y'.

Поскольку Y' - компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y' всегда существует. ?

Ясно, что предположения этой теоремы слишком ограничительны, что не позволяет устанавливать существование решения задачи производителя для многих популярных технологических множеств. Так, для производственной функции Кобба- Дугласа с убывающей отдачей (f (K, L) = KaLe, a + в < 1) мы можем гарантировать существование решения при положительных ценах, а условию теоремы она не удовлетворяет.

Существование решение задачи производителя в этом случае гарантируется тем фактом, что на всех "рецессивных направлениях" данного технологического множества прибыль принимает отрицательные значения.

Поясним сказанное и приведем утверждения, обобщающие доказанную выше теорему.

Введем соответствующие понятия.

Пусть Y удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Назовем вектор ф рецессивным направлением (направлением "удаления в бесконечность"), если A^ е Y VA ^ 0.

Обозначим через Ф множество всех рецессивных направлений. По построению Ф является конусом. Построим на основе Ф следующее множество (множество цен, которые на рецессивных направлениях дают отрицательную прибыль):

р = { p | pф < 0 Vф ? Ф: ф = 0 } .

Справедлива следующая теорема. Теорема 50:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p ? р Задача 3 имеет решение.J

Доказательство: Рассмотрим p ? р и предположим, что Задача 3 не имеет решения. Тогда существует неограниченная последовательность технологий {yj}, такая что

llyi+Ill > НУЛ

и

lim pyj = sup py.

Без ограничения общности можно считать, что yj = 0. Рассмотрим последовательность Уг/НУгН Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через {yj}, а ее предел через y. Покажем, что y ? Ф.

Пусть это не так, и найдется А, такое что Ay ? Y. Рассмотрим последовательность Ay j. Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность yj неограниченно возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y. Пределом этой последовательности будет вектор Ay. Поскольку технологическое множество замкнуто, то Ay ? Y. Полученное противоречие доказывает, что y ? Ф.

Поскольку p ? р и у ? Ф, то py < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i выполняется py j < 0, поэтому lim pyj = -то. C другой стороны, поскольку Y непусто, то supy€y py > -то. I

Из доказанной теоремы следует, что если множество рецессивных направлений Ф совпадает с , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производственной функцией Кобба- Дугласа с убывающей отдачей.

Докажем некоторые свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.

Теорема 51 ((Свойства функции п(р))):

Функция n(p) положительно однородна 1-й степени:

n(Ap) = An(p) Vp ? int P.

Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли n(p) выпукла на любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет решение).

Функция n(p) непрерывна на внутренности множества P, int P.

Если множество Y строго выпукло, то n(p) непрерывно дифференцируема на p ? int P. J

Доказательство: 1) Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.

2) Докажем выпуклость п(-). Пусть от некоторых двух цен p, p' взята выпуклая комбинация - цена

pa = ap + (1 - a)p' (0 < a < 1).

Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для ya = y(pa):

py" < n(p^ p'y" < n(p').

Складывая эти неравенства с множителями a и 1 - a соответственно, получим требуемое неравенство:

n(pa) < an(p) + (1 - a)n(p').

Выпуклость функции п(-) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный максимум семейства выпуклых функций - выпуклая функция, заметив, что п(-) является поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций py, y е Y.

Непрерывность функции п(-) на множестве int P следует, например, из того факта, что выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения.

Дифференцируемость функции п(-) следует из того, что решение задачи производителя y(p) единственно при любых при любых положительных ценах, градиент Vn(p) = y(p). Поскольку y(p) непрерывна на int P, n(p) непрерывно дифференцируема на int P. I

Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотеллинга, результат, который мы использовали при доказательстве предыдущей теоремы и который мы установим сейчас при более сильных, чем это необходимо, предположениях.

Теорема 52:

Пусть функция прибыли п(-) непрерывно дифференцируема в точке p е int P. Тогда

dn(p)

-лрт=yk (p). J

Доказательство: Пусть p е int P - некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от цены k-го блага Pk. Первая из них представляет собой прибыль как функцию pfc при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне p_k, т. е.

nfc(Pfc) = n(p-k,Pfc) = n(pI, . . . ,Pfc-I,Pfc, Pk+I, ... ,p). Обозначив y = y(p), определим вторую функцию как

Y (Pk) = Pk yk + J2 P^sy/s.

s=k

Она является линейной функцией P k .

По определению, n(p) = py, а это означает, что nk(j5k) = Y(Pk). При других ценах, вообще говоря, y = y(p) может не давать максимум прибыли, т. е. nk(Pk) ^ Y(Pk). Таким образом, прямая Y(Pk) является касательной графика функции nk(Pk) в точке Pk (точка A на Рис. 4.7). В точке касания производные совпадают, поэтому

^^Ppp = nk (Pk) = Y '(PPk) = yk, что и означает справедливость Леммы. I

Теорема 53 ((Свойства отображения предложения)):

Отображение (функция) предложения y(p) однородно нулевой степени.

Рис. 4.7. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга

Если множество Y строго выпукло, то y(p) - однозначная функция на p G P, причем y(p) непрерывна на p G int P.

Если функция прибыли п(-) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби M = |dys/dpfc} функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p G int P. J

Доказательство: Доказательство оставляем в качестве упражнения. ?

Если технологическое множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя сводится к следующей задаче максимизации прибыли:

pof (r) - wr ^ max,

где po - цена выпускаемой продукции, r - количество затрачиваемых факторов производства, w - вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой poyo и издержками wr.

Пусть r(w,po) - функция спроса на факторы производства при векторе цен (w,po), yo(w,po) - функция предложения продукции при векторе цен (w,po). Заметим, что если po > 0, то yo(w,po) = f (r(w,po)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде:

n(w,po) = pof (r(w,po)) - wr(w,po).

Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять трудно понять p = (w,po) и y(p) = (-r(w,po), yo(w,po)).

Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследствии, могут быть доказаны и в случае, когда первичным объектом рассмотрения является не технологическое множество, а производственная функция.

Если г - внутреннее решение задачи максимизации прибыли (r G int R) и производственная функция дифференцируема, то r удовлетворяет следующим условиям первого порядка:

po df(r) = wfc Vk G K.

т. е. предельная производительность каждого фактора производства равна его цене. В векторной записи

poVf (г) = w.

При Po > 0 получим следующую дифференциальную характеристику задачи производителя:

df (r) Wk

drk P

т. е. предельный продукт каждого фактора производства равен его относительной цене (пропорции обмена этого производственного фактора на продукт).

Предположим, что множество R задается неравенствами r ^ 0. Тогда любое решение удовлетворяет соотношению

o df (Г) Po f2 < Wk, drk

причем (условия дополняющей нежесткости)

o df (r)

P -Ti = Wk, если rk > 0,

drk

и

o df (Г)

rk = 0, если P - < Wk.

drk

Указанные необходимые условия оптимальности оказываются достаточными в случае, если производственная функция вогнута.

Соотношения леммы Хотеллинга в этом случае приобретают следующий вид:

= f (r(w,po)),

o

dpo dn(W,po)

= -rk (w,po).

dWk

Можно получить аналогичную дифференциальную характеристику решения задачи производителя и в случае, если технологическое множество задано неявной производственной функцией g(-), которая является дифференцируемой.

Заметим, что если технологическое множество задано неявной производственной функцией g(-), то задача производителя записывается как

py ^ max y

g(y) ^ 0.

При дифференцируемости функции g(-) решение этой задачи можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна- Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для задачи производителя равна

L(y к) = Е Pk yk + ^(y^

keK

где к - множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

По теореме Куна- Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что Vg(y) = 0) существует множитель Лагранжа к ^ 0, такой что решение задачи, y, удовлетворяет условиям

^LliK) =0 Vk е K, dyk

или

к^= pk Vk е K. dyk

В векторных обозначениях,

KVg(y) = P,

то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен.

Если не все цены равны нулю (p = 0), то к > 0. Исключая множитель Лагранжа к, для любых двух благ k, s G K, таких что p^ = 0, получаем, что

Ps = dg(y)/%s Pfc dg(y)/dyfc.

Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ.

Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной теореме Куна- Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополнительное условие, что функция g(-) вогнута.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 4.2 Задача производителя и ее свойства:

  1. 4.1 Технологическое множество и его свойства
  2. 4.2 Задача производителя и ее свойства
  3. 4.2.1 Задачи
  4. 4.3.1 Задачи
  5. 5.5.1 Задачи
  6. 10.2.1 Задачи
  7. 13.1.1 Свойства монопольного равновесия
  8. 14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  9. Свойства монопольного равновесия
  10. 1.1. Технологическое множество и его свойства
  11. 1.2. Задача производителя и ее свойства
  12. 1.4. Функция издержек и ее свойства
  13. 5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ