<<
>>

5.2 Задачи к главе

^ 339. Покажите, что в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, если предпочтения гомотетичны и одинаковы, то граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта.

Как найти равновесие в такой экономике, используя свойства границы Парето? ^ 340. В моделях общего равновесия часто рассматривают альтернативную концепцию допустимого состояния экономики, заменяя балансы благ

m m n

Е xik = Е wik + Е yjk, vk G K

i=1 i=1 j=l

на полубалансы

m m n

E Xik ^ E wik + E yjk, Vk G K.

i=1 i=1 j=1

Обозначим такую экономику EA .

Равновесием в этом случае называют набор (р, x, у), удовлетворяющий следующим условиям:

^ цены p неотрицательны;

^ каждый вектор X. является решением задачи потребителя при ценах p и доходе в =

EfcEK Pfc + EjE J Yj nj;

^ каждый вектор yj является решением задачи производителя при ценах p; ^ состояние (X, y) является допустимым; ^ выполнен закон Вальраса, т. е.

m

РЕ X. = РЕ + РЕ У j o
j=1 j=1 j=1
Рассмотрите экономику с одним дополнительным производителем, технологическое множество которого имеет вид YN+1 = -R+ (технология утилизации благ без издержек), и балансами в виде равенств. Обозначим такую экономику Eu . Рассмотрите равновесие в этой экономике и продемонстрируйте его эквивалентность равновесию в экономике Ea , а именно:

Покажите, что в любом равновесии экономики Eu цены благ неотрицательны.

Покажите, что если (p, X, y) - равновесие в экономике Ea , то (p, X, (y, yN+1)) - равновесие в экономике Eu , где

m m n

yn+1 = Е x - Е ^ - Е yj o

j=1 j=1 j=1
Покажите, что если (p, X, (y, yN+1)) - равновесие в экономике Eu , тогда (p, X, y) - равновесие в экономике Ea .

^ 341. Рассмотрим модель обмена с m потребителями. Коалицией называется любое подмножество множества потребителей. Говорят, что коалиция S блокирует данное состояние экономики X = (X1, o o o, Xm), если существует состояние экономики y = (yb o o o, ym), такое что ys >-s xs и EseS ys ^ EseS ws, где Wj - начальные запасы потребителя i, а У.

- его предпочтения (другими словами, участники коалиции могут, обмениваясь только друг с другом, улучшить свое положение, по сравнению с рассматриваемым состоянием x). Наконец, ядро данной экономики состоит из распределений x, которые не блокируются ни одной из коалиций.

Предположим, что допустимые потребительские наборы задаются неравенствами x. ^ 0.

Докажите, что если предпочтения потребителей строго монотонны и непрерывны, то каждое распределение из ядра Парето-оптимально.

Покажите, приведя соответствующий контрпример, что отказ от условия строгой монотонности делает утверждение, вообще говоря, неверным.

Докажите следующий аналог первой теоремы благосостояния: если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то равновесное распределение принадлежит ядру экономики. ^ 342. Найдите ядро в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпочтения которых описываются функциями Кобба- Дугласа, а начальные запасы равны (1,а) и (b, 1) соответственно при разных значениях a, b ^ 0.

^ 343. Приведите пример экономики обмена, ядро которой...

совпадает с границей Парето;

содержит границу Парето как собственное подмножество;

содержит только одно состояние экономики.

^ 344. Найти в соответствующей модели обмена с двумя потребителями и двумя благами (и потребительским множеством, удовлетворяющим ограничениям x. ^ 0) и с начальными запасами = (1,1), = (1,1)

равновесие,

границу Парето,

- ядро.

Функции полезностей обоих потребителей одинаковы и имеют вид

и(ж1,ж2) = ж?1 ж^2;

u(xI, Ж2) = aI^XT + a2-ж2;

u(xI,Ж2) = aI^XT + а2Ж2;

и(жт,ж2) = ж?1 exp(a2x2).

^ 345. Предположим, что предпочтения потребителей в модели обмена допускают представление линейными функциями полезности. Какие свойства этих функций гарантируют, что каждое равновесие этой модели. . .

принадлежит слабой границе Парето;

принадлежит сильной границе Парето.

^ 346. Покажите, что выпуклость предпочтений потребителей и Парето-эффективность состояния экономики с начальными запасами в качестве потребительских наборов не гарантирует, что начальное распределение является равновесным.

Приведите соответствующий контрпример.

^ 347. Покажите, что в экономике обмена прирост начальных запасов потребителя может привести к падению его полезности в точке равновесия.

Указание. Рассмотрите экономику с двумя товарами и двумя потребителями с одинаковыми предпочтениями, описываемыми следующей квазилинейной функцией полезности

u(x) = -ж1 + ж2,

рассмотрите сравнительную статику потребителя 1 в зависимости от изменения начальных запасов WI и W2.

^ 348. (1) Предположим, что в экономике обмена с непрерывными, строго выпуклыми и строго монотонными квазилинейными сепарабельными предпочтениями происходит перераспределение начальных запасов. Покажите, что если начальные запасы потребителя возрастают, то его полезность не может упасть.

Рассмотрим передачу ресурсов от первого потребителя ко второму, как и выше, но на этот раз предпочтения не квазилинейные. Предположите, что передаваемое количество мало и что изменение (относительное) равновесной цены мало. Покажите, что полезность потребителя 1 может упасть. Проинтерпретируйте с точки зрения соотношения между эффектом замены и эффектом дохода.

Покажите, что в экономике с двумя товарами и двумя потребителями этот парадокс может произойти только в случае единственности равновесия. (Подсказка: Покажите, что если передача начальных запасов потребителя 1 ведет к уменьшению его полезности тогда в первоначальной ситуации должно существовать еще одно равновесие с еще более низким уровнем полезности у потребителя 1.)

^ 349. Рассмотрим экономику обмена с двумя благами и тремя потребителями, которые имеют следующие функции полезности и положительные начальные запасы.

^(жшж^) = ex11 ж!2

"2(ж2Ъж22) = + ^ж22 "З(жЗЪжЗ2) = шт{жЗЬжЗ2}

Найдите функции спроса потребителей, опишите их свойства.

Найдите функции избыточного спроса и проверьте, что они являются положительно однородными нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса.

При каких начальных запасах известные вам утверждения гарантируют существование равновесия в этой экономике?

(4) Вычислите равновесие при следующих начальных запасах:

W1 = (2, 3), ^2 = (1, 4), ^э = (2,1)

^ 350. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно существует)? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство единственности равновесия, либо приведя пример неединственности.

^ 351. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно существует)? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство единственности равновесия, либо приведя пример неединственности.

^ 352. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпуклыми предпочтениями потребителей, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, и совпадающими начальными запасами, равновесие, если существует, единственно.

Какими будут при этом равновесные цены и равновесное распределение? Какие дополнительные предположения относительно модели гарантируют существование равновесия? Аргументируйте свой ответ.

<< | >>
Источник: Бусыгин, Желободько, Цыплаков. Микроэкономика - Третий уровень 2005 702 с.. 2005

Еще по теме 5.2 Задачи к главе:

  1. Задачи
  2. Глава VIII. Экономический расчет при социализме (II): состояние дискуссии
  3. Глава Ю СОВЕТСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
  4. Глава III. Перестройка механизмов управления военнопромышленных корпораций
  5. Глава 2. Свободный рынок и его последствия
  6. Глава 5. Большое ограбление по- американски
  7. Глава 7. Новый капиталистический порядок
  8. Глава 10. На пути к новому обществу
  9. В предыдущей главе мы вывели функции некомпенсированного (маршаллианского) спроса потребителя:
  10. Глава 2 Утраченное процветание
  11. Глава 3. Заблуждения идеологии свободного рынка
  12. Глава 11 Плата за цивилизацию
  13. Глава 12. Семь черт высокоэффективного правительства
  14. Глава 3. Создание окружающей среды, всецело ориентированной на продажу
  15. Глава 4.Опыт поражений и неудач
  16. ГЛАВА 12БИТВА ТИТАНОВ
  17. Глава XII. Основные принципы государственного регулирования ВЭД в России
  18. Глава 8. ЭКОНОМИКА РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX – НАЧАЛЕ XX В.
  19. ГЛАВА ВОСЬМАЯ
  20. Система показателей для оценки региональной эффективности реальных инвестиций для задач различной степени структуризации